专题01 空间向量及其运算（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算 目录 典例详解 类型一、空间向量的线性运算 类型二、空间向量的共线、共面问题 类型三、空间向量的数量积及其应用 压轴专练 类型一、空间向量的线性运算 1.空间向量的线性运算方法总结 （1） 向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接； （2） 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果； （3） 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量. 2.（拓展）空间向量的线性运算与平面向量本质上相同，因此熟记一些常见的结论，对解题有很大帮助 （1）向量与三角形重心：设是的重心（中线的交点，重心将中线长度分成2：1），为平面内任意一点，则有以下结论： ①； ②； ③若或，，则一定经过三角形的重心； ④若或，，则一定经过三角形的重心． （2）向量与三角形内心：是的内心（角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等），则有以下结论： ①（或）其中，，分别是的三边、、的长； ②，，则一定经过三角形的内心． （3）向量与三角形外心：是的外心（中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等），则有以下结论： ①； ②； ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； ④若，则是的外心． （4）向量与三角形垂心：是的垂心（高线的交点，高线与对应边垂直），则有以下结论： ①； ②； ③动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心． 例1．（多选）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】利用空间向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的运算性质求解判断B，C；根据投影的定义求解判断D； 【详解】对A：由题意，所以， ，故A正确； 对B：因为 ， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：向量在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 变式1-1．（多选）在四面体中，以下说法正确的有（    ） A．若，则可知 B．若Q为△的重心，则 C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求的线性关系；C：由正四面体性质求的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论. 【详解】A：由，则在线段上，又，若，则，又，故，所以，即，正确； B：若为的中点，，又，而，所以，又，则，整理得，正确； C：由题设知：，即，且，故，错误； D：若，，则，又，所以，整理得，故，正确. 故选：ABD. 变式1-2．（多选）三棱锥中，已知平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（    ） A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则O为△ABC的内心 C．若三侧棱与底面所成夹角相等，则O为△ABC的外心 D．若三侧面与底面所成夹角相等，则O为△ABC的垂心 【答案】AC 【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的相关运算判断A，B选项.由线面角的定义和三角形的外心的定义，可判断C；由二面角平面角的定义和三角形的内心的定义，可判断D. 【详解】对于A：若，即， 所以， 即，所以为△ABC的重心，故A正确； 对于选项B：由得，即， 所以， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又平面， 所以平面，又平面，从而； 同理可得，所以为△ABC的垂心，故B不正确； 对于C：因为底面， 又底面，底面，底面， 所以， 又因为三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等， 所以，所以， 所以，所以点是△ABC的外心，故C正确； 对于D，过点在平面内作，垂足为，连接， 过点在平面内作，垂足为，连接， 过点在平面内作，垂足为，连接，如下图所示. 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，故， 可得为侧面与底面所成角的平面角， 同理可知，为侧面与底面所成角的平面角， 为侧面与底面所成角的平面角，且， 因为，，， 所以，即为△ABC的内心，故D错误. 故选：AC. 变式1-3．如图，在三棱锥中，点为△ABC的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为△ABC的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 【答案】D 【分析】对于A，利用空间向量的线性运算即可判断；对于B，利用空间向量共面的充要条件证明四点共面即可判断，对于C，将三棱锥放到正方体中，由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为，即可判断，对于D，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】 对于A，连接并延长，交于点， 由题意，可令作为空间向量的一组基底， 由，故A错误； 对于B，由， 则， 故，因此可得四点共面，故B错误； 对于C，若三棱锥各条棱长均等于，如图，将三棱锥放到正方体中， 由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为， 所以相对棱之间的距离即为正方体的棱长，等于，故C错误； 对于D，由， 连接．因为点共面，所以存在唯一的实数对， 使，即， 所以． 由空间向量基本定理，知，，， 所以，则为定值，故D正确． 故选：D. 类型二、空间向量的共线、共面问题 1.共线向量基本定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb. 2.共线向量基本定理的应用：对空间任意三点P，A，B，可通过下列结论来证明三点共线： （1）＝λ；（2）对空间任意一点O，（3）. 3.共面向量基本定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使b. 4.共面向量基本定理的推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是： （1）存在唯一的有序实数对，使； （2）对空间任意一点O，有； （3）对空间任意一点O，有. 5.空间向量的共线、共面问题解题策略 （1）转化为向量关系，如a＝λb或b，通过建立方程（组）求解参数（λ、）来判断. （2）利用基底向量简化，选择不共面的向量作为基底向量（或建立空间直角坐标系），将其它向量用基底（或坐标）表示，再通过系数关系分析. （3）结合几何意义. 例2．已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】2 【分析】由可得存在一点，使得，即可得，再利用相应比例关系可得对应体积. 【详解】如下图所示： 由可得； 即, 可得，即； 又，由空间向量基本定理可得在平面内存在一点，使得； 所以，，可得， 由三棱锥的体积为3，可得三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积. 故答案为：2. 变式2-1．如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 . 【答案】 【分析】设，结合题目条件，得到，由四点共面得到方程，求出答案. 【详解】设， 其中，为的中点，， 故, 所以，， 因为四点共面，所以，解得. 故答案为：. 变式2-2．正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M、P、Q三点共线，得到等量关系，从而确定的位置，进而得到线段的长度. 【详解】结合题意：连接交于点,交于点,连接 由正四棱台的结构特征,易知两两垂直， 故以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为在正四棱台， 所以易计算得到： ，， 所以，, 因为是的中点,所以， 所以. 要使M、P、Q三点共线，则，共线， 则，解得：， 所以，, 所以， 所以. 故答案为:    变式2-3．（多选）已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（    ） A．当时，则直线与所成角的正切值范围是 B．当，时，则的最小值为 C．当时，线段AP的长度最小值为 D．当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，当时，点在线段上动，即为直线与所成角；对于选项B，当，时，点在线段上动，故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上即可求解；对于选项C，当时，点在内部及边界上动，线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由等体积法即可求解；对于选项D，当时，记点的轨迹为平面，故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积. 【详解】对A，当时，点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，设， 则在中，， ，故A正确； 对于B，当，时，点在线段上动， 故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上， 由图可知，线段的长度即为的最小值， 在中，，故B错误； 对于C，当时，点在内部及边界上动， 则线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由得线段AP的长度最小值为，故C正确； 对于D，当时，记点的轨迹为平面， 故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积，如图所示： 当点分别为对应棱的中点时，连结， 可得平面平行于平面，且为正六边形，此时该截面是最大截面， 由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确. 故选：ACD. 类型三、空间向量数量积及其应用 1.求空间向量的数量积 （1）定义法；（2）运算律法（基底法）；（3）坐标法；（4）利用垂直或共线的性质. 2.空间向量数量积在应用中的主要题型 (1)求夹角：设向量a，b所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 例3．如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】D 【分析】以向量为基底，通过空间向量的加减及数乘运算，分别写出，结合数量积运算公式、空间向量的模长计算公式、异面直线所成角的向量计算公式，分别计算求解，进而判断各选项. 【详解】对于A，由题意， ，故A错误； 对于B，记， 所以，， 所以，，故B错误； 对于C，， 所以 ，故C错误； 对于D，因为，, 所以，， ， 又因为 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故D正确. 故选：D. 变式3-1．在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 变式3-2．已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 变式3-3．（多选）如图，平行六面体中，，，则下列说法中正确的是（   ） A． B．异面直线与所成角的正弦值为 C．平面 D．直线与平面所成角的正切值为 【答案】ACD 【分析】全部通过向量基底法来转化为向量模长，向量夹角，向量垂直即可，通过计算判断各个说法的正确性即可. 【详解】对于A,首先，. . 展开. 已知，. 可得， ， . 则，所以，A正确. 对于B,因为，所以异面直线与所成角等于或其补角. 由， . ，，，所以. 又，. 可得，则，B错误. 对于C,因为平行六面体，所以，. .则. . 因为且，即垂直于平面内相交直线和，所以平面.C正确. 对于D, ，,则由对称性知道在平面的投影一定在上，则即为直线与平面所成角. 由于.两边平方则. 则. 又.则 所以，则. 且 得 . 又. 则. 则.D选项正确. 故选：ACD. 一、单选题 1．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 2．在正方体中，分别是棱上的动点，且，当、共面时，直线和平面夹角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意建立空间直角坐标系，先由 、四点共面推得的坐标，再分别求得平面的法向量和直线的方向向量，结合线面角的正弦公式，从而求解. 【详解】以D为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    不妨设正方体的棱长为6，， 则可得， 当、四点共面时，设平面为， 且平面，平面，平面平面， 所以， 所以不妨设， 又因为， 所以，解得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与直线所成的角为， 则. 故选：A. 3．已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由及已知得，，，四点共面，当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，应用点面距的向量求法求的最小值. 【详解】设，， 因为，则，则， 所以，，，四点共面，当平面时，有最小值. 由，，若平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离. 故选：B 4．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】C 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断. 【详解】因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且平面，可得， 又因为N在侧面上（包含边界），设，且， 可得 ， 又因为，可得，且. 对于选项A：若，则，可得点即为点， 显然平面，故A错误； 对于选项B：若，则则，，可得点在线段上（包括端点）， 由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误； 过作，垂足为，可得，，        因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， 可得，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时， 可得，故D错误； 故选：C. 二、多选题 5．在平行六面体中，各棱长均为6．，则下列结论正确的有（    ） A． B．四边形为正方形 C．与平面所成角的余弦值为 D．四边形内存在点P，使得直线与所成角为 【答案】BC 【分析】对于选项A，用向量的线性定理将向量表示出来，然后求向量的模即可；对于选项B，可计算是否为0来验证四边形是否为矩形，然后结合线段长度验证其是否为正方形；对于选项C，求出平面的法向量后可求与平面所成角的正弦值，故可求其余弦值，对于D，设，根据线线角可得的方程，结合判别式可判断其正误. 【详解】对于选项A： 因为， 所以 , 因为， 而， 同理，， 所以， 所以，A错误；    对于选项B： 因为，所以， 又，故为等边三角形，故. 因为， 所以平行四边形为正方形，B正确； 对于选项C：设平面的法向量为且， 则，故， 取，故， 结合A中计算可得： ， 设与平面所成角的为， 故， 故，故C正确； 对于选项D：因为在四边形内的动点，故可设， 其中，故， 故， ， 而 ， 故， 整理得， 整理得， 此时，故方程无解， 故四边形内不存在点P，使得直线与所成角为，故D错误， 故选：BC. 6．在正方体中，分别为棱上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（　　） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当时，存在点，使四点共面 D．当时，存在点，使三条直线交于同一点 【答案】BCD 【分析】选项ABC，用向量法研究四点共面问题即可；选项D，先证明与相交，设交点，再证明即可. 【详解】已知正方体，则可分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 对选项A，当时， . 设正方体棱长为， 则 假设平面，则存在使得， 则，无解.所以平面， 故选项A错误；    对选项B，当时，设正方体棱长为2， 则， ， 假设平面，则存在使得， 则，解得，则四点共面， 即当时，平面. 故选项B正确；    对选项C，当时，设正方体棱长为1， 由，得， 由是棱上的动点，设， 则， 假设存在点，使四点共面，则存在使得， 则得，其中， 设， 则在单调递减，则，又 所以任意，都存在，使，其中， 即存在点，使四点共面， 故选项C正确；    对选项D，当时，， 连接，取的中点，连接， 因为是的中点，则，且， 又，且， 则，故四边形是平行四边形， 所以，由平行传递性知，，且， 故四边形是梯形，则与相交， 延长交于点.平面，平面， 故平面，且平面，又平面平面， 则.所以相交于一点. 即当时，存在点，为中点，使三条直线交于同一点. 故选项D正确.    故选：BCD. 【点睛】方法点睛：1.向量法探究空间四点共面问题，基本解答策略是：探究空间四个点A、B、C、D是否共面，可以把它们组成3个向量、、，然后求解有序实数对，使等式成立，可利用基底法，也可以建立空间直角坐标系，假设等式成立，建立方程组求解； 2.证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 7．如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（   ） A．若，则平面 B． C．若且平面过点，则的最小值为4 D．若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】运用线面平行性质和判定判定A；运用重心性质，结合向量线性运算法则判定B；根据点共面得向量定理，结合基本不等式计算判定C；画出草图，结合外接球球心性质，结合三点共线性质，将距离转化计算即可判定D. 【详解】对于选项 A，因为，即，所以，从而平面， 又因为平面平面，所以，从而平面，故A正确； 对于选项B， 连接并延长交于点H ，连接，则，因为O是重心，所以 ，故B错误； 对于选项C，因为，且，所以，又因为平面过点O，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项 D，延长交于Q，连接，并延长交于F ， 设，在如图②所示的图形中，由G为正四面体的外接球球心， 得 ， 因为三点共线，所以，所以 ，即， 所以点F到平面的距离为点C到平面的距离的， 又因为正四面体的棱长为1，所以其高为，即点C到平面的距离为，故点F到平面得距离为.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中、，利用空间向量共面可得出，然后二次函数的基本性质结合空间向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点、，其中、， 易知、，则，，， 因为、、共面，则存在、，使得， 即，解得，所以，，即， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 9．在棱长为的正方体中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论： ①的最小值为； ②的最小值为； ③的最大值为； ④的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】设点、、、关于平面的对称点分别为、、、，设底面、的中心分别为点、，作出图形，推导出，，求出的最小值，可判断①④；由对称性得出，进而可判断②；取点和点重合，可判断③. 【详解】设点、、、关于平面的对称点分别为、、、， 设底面、的中心分别为点、，如下图所示： 对于①，易知为的中点，则，可得， 所以，， 当点与点重合时，底面，此时，取最小值， 即的最小值为，①对； 对于④， ， 当点与点重合时，底面，此时，取最小值， 则的最小值为，④对； 对于②，由对称性可知，， 则， 当且仅当点为线段与平面的交点时，取最小值，②对； 对于③，当点与点重合时，， 所以，的最大值不是，③错. 故答案为：①②④. 10．如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. （1）若三点共线，求的值； （2）若对角线，求的最大值； （3）若，直线和的所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设基向量，根据空间向量的线性运算可得，又因三点共线可得，即可求得； （2）利用空间向量的数量积运算可得，从而得到不等式，求解得到的最大值； （3）利用空间向量的基本定理与线性运算得到，，再利用向量法求异面直线的夹角的余弦值得到，从而求得的取值范围. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，即， 所以 （2）因为，且， 所以， 配方得：， 即， 故，即， 所以的最大值为. （3）解法一：， ， 则，即， ， 即 ， ， 令 ， . 解法二：因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以直线和的所成角为， 当点和点重合时，最小为，即最大为1； 当点和点重合时，最大，即最小， ， 此时. 所以. 解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系. 则， 由点，得，则， 又，则， ， ， 令 ， . 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 12．向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； （1）证明：； （2）如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． （3）有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 【答案】（1）证明见解析；（2），几何意义为以向量构成的平行六面体的体积；（3）. 【分析】（1）利用数量积的定义式以及同角三角函数的平方式，结合题意，可得答案； （2）根据叉乘积的定义以及点面距的向量公式，结合平行六面体的体积公式，可得答案； （3）由（2）可得向量运算的几何意义，求得三棱锥的体积，根据图象以及（1）的等式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）左边由定义可得：， 右边左边． 故等式得证. （2）设，由定义可得底面的面积为：， 又因为同时与垂直的向量，故为底面的法向量， 则平行六面体的体高为：， 所以平行六面体的体积为：， 又因，故点在底面的投影为的重心，易得， 所以． 所以，，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积． （3）如图，设正四面体的棱长为，其中 设，且平面与交于，与交于， 故有，又由（2）可得： ， ， 同理， 由（1）可得：， 所以， ， 所以，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算 目录 典例详解 类型一、空间向量的线性运算 类型二、空间向量的共线、共面问题 类型三、空间向量的数量积及其应用 压轴专练 类型一、空间向量的线性运算 1.空间向量的线性运算方法总结 （1） 向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接； （2） 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果； （3） 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量. 2.（拓展）空间向量的线性运算与平面向量本质上相同，因此熟记一些常见的结论，对解题有很大帮助 （1）向量与三角形重心：设是的重心（中线的交点，重心将中线长度分成2：1），为平面内任意一点，则有以下结论： ①； ②； ③若或，，则一定经过三角形的重心； ④若或，，则一定经过三角形的重心． （2）向量与三角形内心：是的内心（角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等），则有以下结论： ①（或）其中，，分别是的三边、、的长； ②，，则一定经过三角形的内心． （3）向量与三角形外心：是的外心（中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等），则有以下结论： ①； ②； ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； ④若，则是的外心． （4）向量与三角形垂心：是的垂心（高线的交点，高线与对应边垂直），则有以下结论： ①； ②； ③动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心． 例1．（多选）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 变式1-1．（多选）在四面体中，以下说法正确的有（    ） A．若，则可知 B．若Q为△的重心，则 C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 D．若，，则 变式1-2．（多选）三棱锥中，已知平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（    ） A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则O为△ABC的内心 C．若三侧棱与底面所成夹角相等，则O为△ABC的外心 D．若三侧面与底面所成夹角相等，则O为△ABC的垂心 变式1-3．如图，在三棱锥中，点为△ABC的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为△ABC的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 类型二、空间向量的共线、共面问题 1.共线向量基本定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb. 2.共线向量基本定理的应用：对空间任意三点P，A，B，可通过下列结论来证明三点共线： （1）＝λ；（2）对空间任意一点O，（3）. 3.共面向量基本定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使b. 4.共面向量基本定理的推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是： （1）存在唯一的有序实数对，使； （2）对空间任意一点O，有； （3）对空间任意一点O，有. 5.空间向量的共线、共面问题解题策略 （1）转化为向量关系，如a＝λb或b，通过建立方程（组）求解参数（λ、）来判断. （2）利用基底向量简化，选择不共面的向量作为基底向量（或建立空间直角坐标系），将其它向量用基底（或坐标）表示，再通过系数关系分析. （3）结合几何意义. 例2．已知三棱锥的体积为3，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 变式2-1．如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 . 变式2-2．正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为 ． 变式2-3．（多选）已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（    ） A．当时，则直线与所成角的正切值范围是 B．当，时，则的最小值为 C．当时，线段AP的长度最小值为 D．当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 类型三、空间向量数量积及其应用 1.求空间向量的数量积 （1）定义法；（2）运算律法（基底法）；（3）坐标法；（4）利用垂直或共线的性质. 2.空间向量数量积在应用中的主要题型 (1)求夹角：设向量a，b所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 例3．如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 变式3-1．在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 变式3-2．已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 变式3-3．（多选）如图，平行六面体中，，，则下列说法中正确的是（   ） A． B．异面直线与所成角的正弦值为 C．平面 D．直线与平面所成角的正切值为 一、单选题 1．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，分别是棱上的动点，且，当、共面时，直线和平面夹角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 二、多选题 5．在平行六面体中，各棱长均为6．，则下列结论正确的有（    ） A． B．四边形为正方形 C．与平面所成角的余弦值为 D．四边形内存在点P，使得直线与所成角为 6．在正方体中，分别为棱上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（　　） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当时，存在点，使四点共面 D．当时，存在点，使三条直线交于同一点 7．如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（   ） A．若，则平面 B． C．若且平面过点，则的最小值为4 D．若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 三、填空题 8．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 9．在棱长为的正方体中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论： ①的最小值为； ②的最小值为； ③的最大值为； ④的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 10．如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为 . 四、解答题 11．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. （1）若三点共线，求的值； （2）若对角线，求的最大值； （3）若，直线和的所成角为，求的取值范围. 12．向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； （1）证明：； （2）如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． （3）有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$