第3章 方法技巧专题 证明比例式或等积式的常用技巧-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（湘教版）

6.证明：如题图①，，△ADE绕点A旋转前，DE∥BC, △MDB△ABC,铝怎是-能 如题图②，△ADE绕点A项时针旋转a“过程中， ∠DAE=∠BAC=90°， ∠DAB+∠BAE=,∠EAC十，∠BAE=90°， ∴.∠DAB=∠EAC. 又是-是△ADB∽AABC 3.4.2相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应 高、角平分线、中线的性质 1.A 2.解：△ABC△ABC,AC=12,A1C1=8, ∴△ABC与△ABC的湘似比为号-是 '△ABC的高AD为6， △A8G的商AD=6寺是=4 3.C 4.解：∠A=∠D,∠B=∠E,△ABC∽△DEF CM,FN分别平分∠ACB和，∠DFE, 提-器即品-子D服= 5.C 6.解：'AE=EC,BF=FC,.DE是AC边上的中线，AF员 BC边上的中线.，△ABC∽△DAC,∴，AF:DE=BCA =6+4=3；2. 7.15cm或9.6cm8.C9.B10.1011.6 12解，铝与票相等理由如下： △ABCP△AB'C', 滑器 EF,EF分别是这两个三角形的中位线， 既-器=器部…器 .BC EF AD,AD分别是这两个三角形的高， 福-品铝器 1.解：品-成立，证明如下： ,△ABC△AB'C,且△ABC与△AB'C'的相似比为点 ∴∠BAC=∠BA'C,∠C=∠C,AB'AB'=k, ∴∠EAB=∠EA'B', ∠ABD=∠BAC+∠C,∠A'B'D'-∠BA'C+∠C, .∠ABD=∠A'BD :AD,AD分别是△ABC和△A'BC的外角平分线， ∠BAD=t∠BAE,∠EAD'=Z∠BA'E .∠BAD=∠BAD',.△BADx∽△BA'D', AD:AD'=AB:AB=k,即品=克 第2课时相似三角形面积和周长的性质 1.B变式题 2.1632 4解：∠A=∠A铝-=是 ÷△ADPO△ABC,且相似比为号 设△ABC的周长为5x,则△ADE的周长为3z 由题意，得5x一3x=16,解得x=8. 故△ABC的周长为40，△ADE的周长为24. 5.D变式题2：36.507.3 8.解：：△ABC的三边长分别是3,4,5，且32+4=5， △ABC是直角三角形， 5Ax-X3X4=6 由题意可知，△4BC与△ABC的相似比为5：15=1：3， ,它们的面积比为1：9， ∴△A'B'C/的面积S=6×9=54。 9D10.C11.21122攻号 13.解：(1)由题意，得DE∥BC, ∴△ADBO△AC,一铝-器- ,AB=8,AD=2 (2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的 面积为S 5=1,8=16. 由题意，得DE∥BC,EF∥AB,易证得△ADE∽△EFC. .AE_AD1 ACAE不 器-…音-(》-是…5=， .口BFED的面积=S-S:一S2=6 14.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB十AC √/3+4F-5(cm),则PC-BC-BP-5-3-2(cm) 由旋转的性质，得△CPS②△FPQ, ∴.PS=PQ 易证得△CPSn△CAB△CRQ 器照- .AB=3 cm, .PS=1.5 cm, ∴.PQ=1.5cm .CQ=PQ+PC=1.5+2=3.5(cm). S4= S△cB 器--（惯》= Sou-AB ACcm) a0a=1 3 50 cm2,Sacs=交cm', 方法技巧专题 证明比例式或等 积式的常用技巧 1,证明：：AB=AC,D是边BC的中点， AD⊥BC,∴∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠CDE=9O°. ,DE⊥AC,∴.∠CED=90°，∠CDE十∠C=90, ∴.∠ADE=∠C 又：∠AED=∠DEC=90°，.△AED△DEC, 器提 上册参考答案 175 2.证明：(1)，AB=AC,.∠B=∠C '∠EDF=∠B,∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF 十∠CDF, .∠BED=∠CDF,.△BDEP△CFD (2),D是BC的中点，BD=CD. 由(1)可知，△BDE⊙△CFD, 品器器器 又'∠EDF=∠B=∠C .△CDFP△DEF, 小8乐器DF-EF,CR 3.证明：△ABC是等边三角形 ∴.∠ABC=,∠ACB=∠BAC=60°， .∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60 ∠DAE-120',·∠DAB+∠CAE=60°， ,∠D=∠CAE,∠DAB=,∠E, ÷△DaAn△ACE,光-能 △ABC是等边三角形，·AB=AC=BC,.BC=CE ·DB. 4.证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC :BF⊥DE,∠GFD=90,,∠BCD=∠GFD. ∠B0C-∠DoP,i△B0Cn△DoF,器-8器 又AB-C,瓷-品 5.证明：，∠BAC=90°，AD⊥BC: ∴.∠CAB=∠ADB :∠CBA=∠ABD, .△CBAO△ABD 品-品∠C-∠BAD, .DB:DA=AB:AC.① :E为AC的中点，AD⊥BC ..ED=AE=EC ∴.∠C=∠EDC=∠FAD=∠FDB 又∠F=∠F, △ADF∽△DBF, 品品 ,DB:AD=DF:AF,② 由①②，得AB:AC=DF·AF, ,AB·AF=AC·DF, 6.证明：如图，过点D作DG∥BC交 AC于点G,则△ADGn△ABC △DGF∽△ECF, 器瓷瓷器 EF' 提提 a0=c器器提-票. 即AB·DF=BC·EF 7.证明：如图，连接AC :在菱形ABCD中，∠ABC=60',AB =CB, 176 九年级数学XJ版 ,∠D=60°，△ACB是等边三角形，∠BAD=120, ∴.∠BAC=60,AB=AC. ∠EAF=120°，∠EAF=∠BAD,∠EAB=∠DAF ∠EAC=60°十∠EAB,∠AFC=60°十∠DAF, ·∠EAC=∠AFC 易知∠ACE=∠FCA=6O°， △ACEAPCA,；-能 AB=AC票-二 8.证明：(1)，四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB,DC=AB,∴DC∥BE, ·△DCFO△BEF, 跪器能器 (2)如图，连接AC交BD于点H, 则AC⊥BD,∴∠DHC=90 'CF⊥AB,CD∥AB, ,∠DCF=∠BEC=90°，∴.∠DHC=∠DCF :∠HDC=∠CDF,∴.△HDC∽△CDF, 装-条Dr,DH=Dc DH-BH-DB,DC-BC, &DF·号DB=ECe,DF·DB =2BC、 3.5相似三角形的应用 1.B2.2.73.B4.20 5.解：如图，过G作GM⊥ED于点M, ∴+∠EMG=90 由题激可知，器-器品忌 易知四边形DFGM为矩形， ∴.MD=GF=3,MG=DF=8 ÷荒-号，EM-6,DE=BM+MD=6+3=9, 故这棵大树DE的高是9m 一题多解法 解：如图，延长EC与DF的延长线交E 于点H :∠0H=0,8祭， 品解得FH=4 2 .DH=DF+FH=8+4=12, 提品品意， 解得DE=9, 故这棵大树DE的高是9m 8c7器 8.解：如图所示，过点E作EG⊥BC于点G. DE∥BC, ∴.△ADE∽△ABC, 能器器是方法技巧专题 证明比例式或等积式的常用技巧 题型①利用三点定形法 题型② 等量替换法 1.如下图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC 3.如下图，△ABC是等边三角形，点D,B,C,E 的中点，DE⊥AC,垂足为E,连接AD.求 在同一条直线上，且∠DAE=120°.求证： 证器 BC=CE·DB. 2.(2024一2025邵阳新宁月考)如下图，在4.(2024一2025娄底双峰期中)如下图，四边形 △ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一 在BA延长线上，点F在AC边上，连接 点，过点B作BF⊥DE于点F,交AC于点 DE,DF,EF,∠EDF=∠B.求证： H,交CD于点G.求证： BG AB (1)△BDE∽△CFD (2)DF=EF·CF. 上册第3章 5△ 5.如下图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD7.转化思想如右图，在菱形 ⊥BC于点D,E为直角边AC的中点，连接 ABCD中，∠ABC=60°，E ED并延长，交AB的延长线于点F,求证： 是射线CB上一点，F是CDEB AB·AF=AC·DF. 上一点，且∠EAP=120.求证：能-祭 题型③利用作辅助线法 6.如右图，已知△ABC的 8.(2024一2025上海浦东新区期中)如下图，在 边AB上有一点D,边 菱形ABCD中，CF⊥AB,垂足为E,CE与 BC的延长线上有一点 BD相交于点F, E,且AD=CE,DE交B ①求证能-。 AC于点F.求证：AB·DF=BC·EF. (2)求证：DF·DB=2BC 九年级数学划版