第3章 单元整合训练 相似与全等的综合运用-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（湘教版）

单元整合训练 相似与全等的综合运用（跨单元） 题型①求证 3.(2024上海)如下图所示，在矩形ABCD中， 1.如下图，四边形ABCD是正方形，G为边CD E为边CD上一点，且AE⊥BD. 上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于 (1)求证：AD=DE·DC 点F,连接BD交AF于点E,连接EC (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF 求证： =CF=号BD.求证：CE=AD, (1)△ADE≌△CDE. (2)△EGCp△ECF, 2.如下图，将△ABC旋转一定角度后得到 △AED,点D落在BC上，DE交AB于点 F,且AD=AF.求证： (1)△ABD≌△AEF (2)EF=BF·AB. 九年级数学划版 题型②求长度 题型③ 求面积 4.如下图，AB∥FC,E是AC的中点，延长FE 6.（2024一2025邵东期中）如下图，在四边形 交AB于点D,与CB的延长线交于点G. ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB= (1)求证：△ADE≌△CFE. 2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O, (2)若BG=2,BC=4,BD=1,求AD的长 线段OA,OB的中点分别为E,F. (1)求证：△FOE≌△DOC. (2)若直线EF与线段AD,BC分别相交于 点G,H,△AEG的面积为2，求四边形AB CD的面积. 5.(2024一2025重庆江北区月考)如下图，D,E 是△ABC的边AB,AC的中点，连接BE,G 是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED 的延长线于点F,交AB于点H. (1)求证：△FHD∽△CHB. (2)CF=18,求HG的长. 上册第3章“瓷-是 ,AF⊥BC,EG⊥BC,·AF∥EG, ∴△ACF∽△ECG, 瓷瓷-品 得AF=90. 故桥AF的长度为90m 9.解：山蜂AB的高度为225.5m,它和标杆CD的水平臣离 BD为440m. 3.6位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.B2.C3.B4.D5.66.4 7.解：如图，△ABC即为所求（答案不唯一）， 8.C9.A10.1:400 11.解：(1)如图所示，点0即为所求. (2),:图中的小方格都是边长为1的小正方形 “.根据勾殷定理，得AB=3,AB=25, “AB:AB'=112,即位似比是号 (3)如图所示，△A1BC1即为所求 12.证明：：EC∥EC, .∠CE'O=∠CEO 又：∠COE=∠COE, △0cEnA0CE,器-8器 同莲可得∠DE0-∠DB0,爱-3. 器器 又'∠CEO=∠CE'O,∠DEO=∠DE'O, ∠CED=∠C'E'D',·△CDE∽△CD'E' △CDE是等边三角形， .△CD'E是等边三角形 第2课时平面直角坐标系中的位似图形 1.D变式题(1，号) 2.解：如图，△A'B'C和△ABC即为所求， 3.A 4.解：设点B的横坐标为x 由题意，得点B,C间的水平距离为a一1，点B,C间的水平 距离为一x十1， ,把△ABC放大到原来的2倍得到△ABC, 2(a-1)=-x十1，解得x=-2a十3， 即点B的对应点B的横坐标为一2a十3. 单元整合训练 相似与全等的 综合运用（跨单元） 1.证明：(1)，四边形ABCD是正方形， AD=CD,∠ADE=∠CDE=45 又DE=DE,∴△ADE△CDE(SAS (2):△ADE2△CDE, ∠DAE-∠DCE AD∥BC, .∠DAE=∠F,∴，∠DAE=∠F=∠DCE 又，'∠CEG=∠FEC,.△EGCo△ECF 2.证明：(1)AD=AF,.∠ADF=∠AFD, ∴.∠DAF=180°-2∠ADF 由旋转的性质，得AD=AC ·∠ACD=∠ADC, .∠CAD=180°-2∠ACD 由旋转的性质，得∠ACD=∠ADF, ∠CAD=∠DAF 由旋转的性质，得∠BAE=,∠CAD, ∠DAF=∠BAE 由旋转的性质，得AB=AE 又AD=AF,∴△ABD2△AEF(SAS). (2),△ABD2△AEF,.BD=EF. 片∠ACD=∠ADC,∠ACD=∠ADF, ∠ADC=∠ADF,∠BDF=180°-2∠ADF, ∠BDF-∠BAD :∠B=∠B,∴△BDFU△BAD, 小器器BD=BF·ABEe=BF·AB 3.证明：(1)，四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ADE=90',AB-DC, ∴.∠ABD+∠ADB=90 AE⊥BD, .∠DAE+∠ADB=90°，.∠ABD=∠DAE. :∠BAD=∠ADE=90',△ADED△BAD, ÷织器AD-DE:BA AB=DC,∴AD-DE·DC (2)如图，莲接AC,交BD于点O 四边形ABCD为矩形，.∠ADE= 90',0A=0D=2BD, ∴∠DAE+∠AED=90 AE⊥BD, .∠DAE+∠ADB=90°， .∠ADB=∠AED. '∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC. 0A=OD=7BD,EF=CF=BD, .OA=OD=EF=CF, 上册参考答案 177 ∴∠ADO=∠OAD,∠FEC-∠FCE, ∴∠ADO-=∠OAD=∠FEC=∠FCE. 在△ODA和△FEC中， "∠ODA=∠FEC, ∠OAD=∠FCE OD-FE, ∴.△ODA2△FEC(AAS),∴.CE=AD 4.解：(1)证明：：AB∥FC, ∠A=∠ECF,∠ADE=∠F E是AC的中点， AE=CE,,△ADE2△CFE(AAS). (2)△ADE2△CFE,.CFAD ,AB//FC,.△BDGC∽△CFG, 器-器异 1 解得CF=3,,AD=3. 5.解：(1)证明：，D,E是△ABC的边AB,AC的中点， DE是△ABC的中位线， .DE∥BC,BC=2DE, .DF∥BC,∴.△FHD∽△CHB (2),G是线段BE的中点，.BG■EG :EF∥BC,,∠BCG=∠F,∠CBG=∠FEG, △BCG≌△EFG(AAS,EC=EF,CG=FG BC-2DE,..BC-EF-DF+DE-2DE, ..DF=DE,..BC=2DF. CF-18,CG-FG-CF-9,CH-CF-FH -FH. ,△FHD∽△CHB,,FH CH=DF:BC ∴，FHt(18-FH)=112,解得FH=6, ∴.HG=FG-FH=9-6=3. 6.解：(1)证明：E,F分别为QA,OB的中点， ,EF是△OAB的中位线，OE=AE,OF=BF, .EF//AB,EF-7AB. .AB∥CD,AB=2CD, ∴.EF∥CD,EF=CD, ∠OCD=∠OEF,∠ODC=∠OFE, ∴.△FOE2△DOC(ASA) (2),△FOE2△DOC,.OE=OC AE=OE,.AE+AC=1:3. ,EG∥CD,.△AEG∽△ACD, -(}- S△g=2,·S△cb=18 AB∥CD,AB=2CD,∴S△cB=2S△AD=36 ∴S8边A0=S△40m十5△4cD=36+18=54. 章末对点导练 1.D2B3.B4.5.C6.c7.C 8.解：：EG∥BC, 六△AEG△ABC,ES-AE, BC AB' 即铝-得BG- :EF∥AD,∴△BEP△BAD,D款 EF BE 178 九年级数学XJ版 即号-1会，解得EF=冬， 5 12 :FG=EG-En-号-是-界 2 9.2.1cm 10.解：：OP⊥CF,DE⊥CF,∴.DE∥OP △FDEn△FOP,8骠-8器 .'DF=2 m,OD=OC=6 m,DE=2.5 m, 异。-名部解得OP=10n ,AB⊥OP,OP⊥CF,AB∥OC △PA△OC2-路 0A=5a得-19行，期得AB=3m 拉木楼AB的长度为3m. 11.D12.4:9 13.解：(1)如图，点M即为所求，点M的坐标为(0,2). (2)如图，△A:B2C2即为所求 =18 (3)点C的坐标为(-4,2). 14.D15.A16.A17.D18.1219.(5-1)20.3 21.证明：(1)，四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AC⊥BD 又：∠ABC=60°， ∴.△ABC是等边三角形，∴.AB=AC F为BC的中点， .AFI BC,.∠BOC=∠BFE=90 又∠EBF=∠CBO,∴.△BEF∽△BCO (2)B0LAC,AF⊥BC, '.CG⊥AB,.∠BGE=∠AGE. 又AC=BC,.BG=AG BG-AG. 在△BEG和△AEG中，∠BGE=∠AGE GE-GE △BEG≌△AEG(SAS). 第4章 锐角三角函数 4.1正弦和余弦 第1课时正弦 1.C变式题B2C3是 4.解：设BC=x AC=2BC,∴AC=2z 由勾股定理，得AB=√AC一BC=x, mA-器-会=7mc提-经-号 变式题解：设AC=x,则EBC=2x 由勾股定理，得AB=√AC+BC=5x,