第2章 一元二次方程 章末对点导练-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（湘教版）

章末对点导练 已单元考点整合 (4)x2-3x=(2-x)(x-3). 考点①一元二次方程的解法 1.(2024一2025邵阳新宁期中}一元二次方程 5x2一2x=0的解是 ( ) A.x1=0,x2= 2-5 B.x1=0,x=5 C.1=0,=-号 D有-0-号 5.(2024一2025广州天河区月考)已知关于x 的方程x2十2mx十m2一1=0有一个根为 2.关于x的方程x2-2mx十m2-4=0的两个 一1，求m的值和方程的另一个根. 根x1,xz满足x1=2c2十3，且1>x2,则m 的值为 A.-3 B.1 C.3 D.9 3.若实数x,y满足(x2十y2)(1一x2-y)十6 =0,则x2十y2= 4.解下列方程： a①3x+10- 6.【阅读材料】若x2十y2十8x-6y十25=0，求 x,y的值. ::x2+y2+8x-6y十25=0， 将25拆分为16和9， 可得(x2+8x十16)+(y2-6y十9)=0， 根据完全平方公式，得(x十4)2十(y一3) =0, (2)(2025永州道县期末)x2-6x十16=8. .(x+4)2=0,(y-3)2=0,x=-4,y =3. 【解决问题】已知m2+n2=12n-10m-61, 求(m十n)205的值. (3)5x2-x-25=0. 440 九年级数学划版 考点② 一元二次方程根的判别式及根与系 11.如图所示的是一张长12cm、 数的关系 宽10cm的矩形铁皮，将其 12 cm 7.(2024一2025衡阳月考)方程4x2-4x=-1 剪去两个全等的正方形和 10 cm 的根的情况是 两个全等的矩形，剩余部分 第11题围 A.有两个相等的实数根 (阴影部分)可制成底面积 B.有两个不相等的实数根 为24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正 C.只有一个实数根 方形的边长为 cm. D.无实数根 12.小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今 8.已知关于x的一元二次方程x2一kx十k一3 年收获一批蜜梨.他们打算以每千克m元的 =0的两个实数根分别为x1,x2,且x十x 零售价销售5000kg蜜梨，剩余的[5000(m =5,则飞的值是 ) 十1)]kg蜜梨以每千克比零售价低1元的 A.-2 B.2 C.-1 D.1 批发价批发给外地客商，预计总共可获得 9.已知关于x的一元二次方程x2十2(m十1)x 145000元收入. +m2-1=0. (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围. (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出 (2)若方程的两个实数根分别为x1,x2,且满 200kg,每千克盈利2元.为了加快销售速 足(x1一x2)2=16-2x1x2,求实数m的值. 度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每 千克零售价降低0.1元，平均每天可多售 出40kg.每千克零售价应降价多少元，才能 使得每天的销售利润为600元？ 考点③一元二次方程的实际应用 10.情境应用目前人工智能技术涵盖基础学 习类、语言处理类、视觉处理类和其他技术 类等几大领域.某高校开设了人工智能相 关选修课程，2022年和2024年报名学生人 数分别为100,169.若报名人数年平均增长 率相同，则年平均增长率是 上册第2章 4△ 巴中考真题演练 20.(2024南充)已知x1,x2是关于x的方程x2 13.(2024凉山)若关于x的一元二次方程(a+ 一2kx十2一k十1=0的两个不相等的实 2)x2+x十a2-4=0的一个根是x=0,则a 数根。 的值为 (1)求飞的取值范围. (2)若k<5,且，x1,x2都是整数，求k A.2 B.-2 C.2或-2D.号 的值。 14.(2024自贡)关于x的方程x2十mx-2=0 根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 15.(2024赤峰)等腰三角形的两边长分别是方 程x2一10x十21=0的两个根，则这个三角 21.（2024淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随 形的周长为 ( 着人们对身心健康的关注度越来越高.某 A.17或13 B.13或21 市参加健身运动的人数逐年增多，从2021 C.17 D.13 年的32万人增加到2023年的50万人. 16.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时， (1)求该市参加健身运动人数的年均增 误算成a与2的积，求得的答案比正确答案 长率 小1，则a= (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从 A.1 B.2-1 A公司购买某种套装健身器材，该公司规 定：若购买不超过100套，每套售价1600 C.E+1 D.1或2+1 元；若超过100套，每增加10套，每套售价 17.(2024通辽)如图，小 D 可降低40元.但最低售价不得少于1000 程的爸爸用一段10m 元.已知市政府向该公司支付货款24万 长的铁丝网围成一个 一边靠墙（墙长5.5m) 第17题围 元，求购买的这种健身器材的套数 的矩形鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中 间位置留一个1m宽的门（由其他材料制 成)，则BC长为 A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3 m 18.结论开放题(2024南通)已知关于x的一 元二次方程x2一2x十k=0有两个不相等 的实数根.请写出一个满足题意的k的值： 19.(2024泸州)已知x1,x2是一元二次方程x 一3x一5=0的两个实数根，则(x1一x)2+ 3x1x2的值是 42 九年级数学XJ版=32,整理，得t2一28十224=0. △=282一4×1×224=一112<0，，方程无实数根： ⑤当t=16时，点Q和点B重合，不符合题意，舍去， 综上所述，当：的值为4或8时，△PBQ的面积等 32cm2. 情境应用专题一元二次方程的 实际应用（真实情境》 1.解：设周输去世时年龄的十位上的数是x 由题意，得10x十(x十3)=(x十3)2， 解得x1■2，x2■3. 周瑜已过而立之年，x=3,∴.x十3=6. 故周瑜去世时36岁 2解：依遥意，得子A-1)=125, 解得州=50,2=一49（不符合题意，舍去）. 放该班同学的人数为50， 3.解：设每只病鸡每轮传染x只健素鸡 由题意，得x十1十x(x十1)=256， 解得x1=15,x4=一17（不符合题意，舍去）： 放每只病鸡每轮传染15只健康鸡 4.解：(1)设平均每次下调的百分率为x 根据题意，得7000(1一x)2=5670, 解得x1=10%,x2=190%(不符合题意，舍去) 故平均每次下调的百分率为10%. (2)方案①：100×5670×98%=555660（元）： 方案②：100×5670-1.5×100×12×2=563400（元）. 555660<563400,∴.方案①更优惠 5.解：Q)由3月份用电量和电费，得20十(80-a·总-35 整理，得a2-80a十1500=0，解得a1=30,aa=50. 由4月份用电量和电费，得a>45, ,a的值为50. (2)设该宿舍当月用电量为xkW·h 由题盘，得20十c-50)×品=45，解得x=10, 故该宿舍当月用电量为100kW·h 章末对点导练 1.B2.C3.3 4.解：1)原方程可化为x十1)产-号， 开学方：得x十1=士子 解得=一子=一专 2 (2)x2-6x十16=8，.x2-6x十9=1， ∴(x-3)2-1,.x-3=±1， ∴x1=4,x8=2. (3),a=5,b=-1,c=-23 ∴，4=6-4ac■(-1)2-4×/5×(-25)=25>0， “x=1±愿1士5 2525 六5，x=-2 3 1707 九年级数学X版 (4)原方程可化为x(x一3)十(x-2)(x一3)=0 方程左边因式分解，得(x一3)(x十x一2)=0， .x一3=0或x十x一2=0， 解得西-3，五=1. 5.解：由题意，得(-1)2一2m十m2一1=0， 整理，得m2一2m=0,解得m=0或m=2. ①当m=0时，原方程为x2一1=0， 解得1=1，=一1： ②当m=2时，原方程为x十4z十3-0， 解得=一3或x2=一1. 综上所述，当m=0时，此时原方程的另一个根为x一1：当m =2时，此时原方程的另一个根为x■一3。 6.解：移项，得m2十n2一12n十10m十61=0： 将61拆分为25和36， 可得(m2+10m+25)+(m2-12m十36)=0， 根据完全平方公式，得(m十5)十(m一6)2=0， .(m十5)2=0，(n一6)2=0，.m=-5,=6. .(m十n)2脑=(-5十6)0路=1 7.A8.D 9.解：(1)：关于x的一元二次方程x2十2(m+1)x十m一1=0 有实数根， .△=[2(m+10]2-4(m2-1)=8m+8≥0， 解得m≥一1， .当方程有实数根时，实数m的取值范围为m≥一1， (2):方程的两个实数根分别为4， ∴.x1十x2=一2(m十1)，1x2=m2一1. (x1-x2)2=16-2红1x4, .(x1-x2)2=(x1十a)2-4x=16-2x1x2, .[-2(m十1)]-4(m2-1)=16-2(m2-1), 整理，得m2十4m一5=0 解得m1=-5,m=1 又：m≥一1，.实数m的值为1. 10.30%11.2 12.解：(1)由题意，得5000m十5000(m+1)(m一1)=145000， 解得1=5，m2=一6（不合题意，舍去）. 当m=5时，5000十5000(m+1)=35000, 故小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg (2)设每干克否售价应降价x元，才能使得每天的销售利润 为600元. 由题意，得(2-)(200+40·奇》 =600 解得x1=0.5,x2=1. ,要加快销售速度，∴x=1 故每干克公售价应降价1元，才能使得每天的销售利润为 600元. 13.A14.A15.C16.C17.C18.=0(答案不唯-) 19.14 20.解：(1)：原方程有两个不相等的实数根， .4=(-20)2-4X1×(-k+1D=42-4+4h-4=4k -4>0, 解得>1. (2)1<k<5, .整数是的值为2,3,4. 当=2时，方程为x2-4x十3=0，解得=1，x1=3, 当k=3或4时，方程解不为整数， 综上所述，k的值为2. 21.解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x 由题意，得32(1十x)°=50， 解得x1=0.25=25%,x1=一2.25（不符合题意，舍去） 故该市参加健身运动人数的年均增长率为25%， (2)设购买的这种健身器材的套数为m 由题意，得m1600-m二10×40=240000， 10 整理，得m2-500m十60000=0， 解得4=200,2=300（不符合题意，舍去）. 故购买的这种健身器材的套数为200. 第3章图形的相似 3.1比例线段 3.1.1比例的基本性质 1,A2.(答案不唯-)2：4=3：64和32和6 3.A4.D5.(1)2￥5(2)20￥27 6.1)号2号7.5 8.解：a,b,c,d成比例，∴atb=c1d,ad=bc. (1):a=-2,b=3,c=4,∴.-2d=3×4,解得d=-6 (2),在=3，b=4,d=12,.3×12=4c,解得c=9, 9解：0号：7=号6，号6=7×子，即红=名，密 7 得x=合 (2)7￥x=48:9.6..48x=9.6×7,即48z=67.2, 解得x=14。 10.B1.C12号 13.1.2 14解：0安产-号+1=号 21 -号--1=号-1=号 （@证明：设名-音-≠1，则6-a,c=d 将=k,=代人等式左右两边，得左边-± 岩右边告 左边=右边，告岩号 15解，0号-冬-青0，∴-- 3c (2)△ABC的周长为90，.a+b十c=90, ∴号+-器-6， 6号-冬-看-6，a=30,6=24,c=36 ◆一题多解法《 则a=5k,b=4k,c=6k, 24-10业-子 3c 18k (2),△ABC的周长为90，.a十b十c=90,即5k+4k+ 6k=90,解得k=6, .a=30,b=24,c=36 16.解：(1)3 1+丝=1+丝，1-丝-1-丝，即中地=+丝，一业 a a =4 4-46 a十45-c+4d a-46 e-4d 同莲可得，号兴常铝兴 3.1.2成比例线段 1.1t32.5t33.B4.C 5.600变式题1￥3000000 6.解：(1)：2×13.5=6×45，∴.这四条线段是比例线段，比例式为 26=4,5113.5(比例式写法不难一). (2)按从小到大的顺序排列依次是a=0.02m,d=0.07m,6= 8m,c=28m 0.07×8=28×0.02,∴这四条线段是比例线段，比例式为 0.07:28=0,02:8(比例式写法不准一). 7A85-19B10.21.号m或4am或6am 2解：设AB=x,美BD=DE=宁女 在R△AB0中，由勾爱定莲，得AD=干D-。 ∴AC=AE-E-1 2 AC-EAB,“点C是线段AB的黄金分制点. 2 2AC-EAB=E×10=65-5m 13.解：(1)AC,AB,CD,EC这四条线段是成比例线段.理由：在 RA0c中，-Ac,C-子AB,cD,指-是期 AC,AB,CD,BC这四条线段是成比例线段 (2)示例：AC,AD,AB,AC这四条线段是成比例线段。 涯由：在Rt△ABC中，AC=5,BC=12, 由约反定理，得AB=13,是-号 由a可知，器-品cD=ACC-器 AB 13 在R△ADC中，AC=5,CD-器由勾股定基，得AD 得小二-是铝-是断AC,AD,ABAC这四条线 段是成比例线段 3.2平行线分线段成比例 1.C2A32 变式题10 4.解：如图，过点O作OP∥AB,则OP∥AB ∥CD∥EF.:AO=OD-DF ,∴，BO=OC=CE. D 又：BE=60cm,B0=于BE=20cm. 5.A 上册参考答案 171