3.6 位似-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（湘教版）

3.6位似 第1课时 位似图形的概念及画法 香复恩提园 1.定义：一般地，取定一个点O,如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G上的点P',且满足： (1)直线PP经过，点O: (2)Qp ○O部=，其中友是非零常数，当>0时，点P在射线OP上，当飞<0时，点P在射线OP的反向延 长线上，那么称图形G与图形G'是位似图形.这个点O叫微位似中心，常数叫做位似比 2.性质：(1)对应点的连线相交于一点：(2)对应边互相平行（或在同一直线上）：(3)任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比的镜对值。 3.画法：(1)确定位似中心（位似中心可以在图上、图外、图内）：(2)作图形各顶点与位似中心的连线或延长 线：(3)取点并连线。 已课内基础练 似比为2：3.若△ABC的面积为8，则 () 知识点① △DEF的面积是 位似图形的概念 A.15 B.16 1.下列判断中，正确的是 C.9 D.18 A.相似图形一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形 C.全等图形一定是位似图形 D.位似图形一定是全等图形 第4题图 第5题图 2.下列各选项中的两个图形（实线部分），不属 5.(2024一2025长沙雨花区月考)如图，△ABC 于位似图形的是 与△DEF是位似图形，点O是位似中心.若 OA=2AD,△ABC的周长为4，则△DEF的 周长为 B 知识点③ 位似图形的画法 知识点② 位似图形的性质 6.如图所示的是△ABC位似图形的4种画法， 3如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位 其中正确的个数是 似中心，位似比为子，点A,B的对应点分别为 A',B.若AB=6,则AB'的长为 第6题图 7.如下图，已知△ABC,以点O为位似中心，将 第3题围 △ABC缩小为原图形的（不要求写画法）. A.8 B.9 C.10 D.15 4.(2024一2025湘潭岳塘区期中)如图，△ABC 与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位 上册第3章 69△ ⊙课外拓展练 8.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为 原图形的2倍得到△AB'C.以下说法错误 的是 ( A.△ABC△A'B'C B.C,O,C三点在同一条直线上 C.A0:AA'=1:2 D.AB∥A'B 核心素养练 12.几何直观如右图，用下 第8题图 第9题围 面的方法可以画△AOB 9.在如图所示的网格中，以点O为位似中心， 的内接等边三角形，阅读 四边形ABCD的位似图形是 () 后解答相应问题. A.四边形NPMQ B.四边形NPMR 画法：①在△AOB内画等边三角形CDE, C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 使点C在OA上，点D在OB上：②连接 10.情境应用如图，投影仪在放映时，其原理 OE并延长，交AB于点E',过点E作 可以看作是将胶片上的画面放大并投影到 E'C∥EC,交OA于点C',作ED'∥ED, 银幕上.已知镜头到胶片的距离为0.25m, 交OB于点D',③连接CD',则△CDE 镜头到银幕的距离为5m,且投影的画面正 是△AOB的内接等边三角形 好铺满整个银幕，则胶片与银幕的面积比 求证：△CDE是等边三角形. 为 殷片 第10题围 11.如下图，图中的小方格都是边长为1的小正 方形，△ABC与△AB'C是以点O为位似中 心的位似图形，且它们的顶点都在小正方形 的顶点上（保留画图痕迹，不要求写画法）. (1)画出位似中心O. (2)求出△ABC与△A'B'C'的位似比 (3)以点O为位似中心，再画一个 △ABC,使它与△ABC的位似比是号 70 九年级数学划版 第2课时平面直角坐标系中的位似图形 要圆提园 规律：(1)一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似 中心的位似图形；(2)在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k,那么位似图形对应点的坐 标的比等于飞.特别提醒：若两个位似图形的位似比为(>0)，且位似中心是坐标原点，则当两个位似图形在原 点同侧时，其对应顶点的坐标的比为：当两个位似图形在原点异侧时，其对应顶，点的坐标的比为一点 心课内基础练 ©课外拓展练 知识点位似图形的坐标变化规律 3.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格 1.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原 点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中， 点O为位似中心放大后得到△OCD.若点B 格点三角形ABC与格点三角形DEF成位似 (0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的位似 关系，则位似中心的坐标为 () 比是 ( ) A.2 B. C.3 -1123 第3题图 第1题周 变式题图 A.(-1,0) B.(0,0) 变式题已知点的坐标求位似比→已知位似 C.(0,1) D.(1,0) 比求点的坐标 4.(教材变式)如右图，在 (2024绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐 △ABC中，A,B两个顶点 标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0, 在x轴的上方，点C的坐标 2).以原点O为位似中心，将这个矩形按相 为(1,0).以点C为位似中 心，在x轴的下方作△ABC的位似图形 似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的 △AB'C,并把△ABC放大到原来的2倍. 坐标是 设点B的横坐标为a,求点B的对应点B'的 横坐标. 2.如下图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍. 请在平面直角坐标系中画出所得的图形。 上册第3章瓷=是 :AF⊥BC,EG⊥BC,∴.AF∥EG, .△ACFn△ECG, 小瓷能即品 解得AF■90. 故桥AF的长度为90m. 9.解：山蜂AB的高度为225.5m,它和标杆CD的水平距离 BD为440m. 3.6位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.B2.C3.B4.D5.66.4 7,解：如图，△AB'C即为所求（答案不难一）. 8.C9.A10.1t400 11.解：(1)如图所示，点O即为所求 (2),图中的小方格都是边长为1的小正方形 .根据勾股定理，得AB=3,A'B=23, “AB:AB'=112,即位似比是号 (3)如图所示，△A1B:C1即为所求 12正明：，EC'∥EC, :∠CE'O=∠CEO 又'∠COE=∠COE', △0cE△0CE,器-器 同莲可得∠DEO-∠DBO,5-票. 器器 又，∠CEO=∠CE'O,∠DEO=∠D/E'O, ∴∠CED=∠CE'D',.△CDE△CD'E :△CDE是等边三角形， “△CD'E是等边三角形， 第2课时平面直角坐标系中的位似图形 1.D变式题(1，号》 2.解：如图，△A'B'C和△ABC即为所求， 3.A 4,解：设点B的横坐标为x. 由题意，得点B,C间的水平距离为a一1，点B,C间的水平 距离为一x十1， ,把△ABC放大到原来的2倍得到△ABC, ∴.2(a-1)=一x十1，解得x=-2a十3， 即点B的对应点B'的横坐标为一2a十3 单元整合训练 相似与全等的 综合运用（跨单元） 1.正明：(1)，四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADE=∠CDE=45 又DE=DE,.△ADE2△CDE(SAS) (2)△ADE2△CDE, ∴.∠DAE=∠DCE :AD∥BC ∠DAE=∠F,∴∠DAE=∠F=∠DCE. 又：∠CEG=∠FEC,,△EGCA△ECF 2.证明：(1)，AD=AF,,∠ADF=∠AFD ,.∠DAF=180°-2∠ADF 由旋转的性质，得AD=AC .∠ACD=∠ADC, ∠CAD=180°-2∠ACD 由旋转的性质，得∠ACD=∠ADE, ∴.∠CAD=∠DAF 由旋转的性质，得∠BAE=∠CAD, ,·∠DAF=∠BAE 由旋转的性质，得AB=AE 又，AD=AF,·△ABD2△AEF(SAS): (2)△ABD2△AEF,.BD=EF '∠ACD=∠ADC,∠ACD=∠ADF .∠ADC=∠ADF,∠BDF=180°-2∠ADF, ∴∠BDF=∠BAD, ∠B=∠B,∴△BDF△BAD, 器-品BD-BF,ABEF-BF·AB 3.证明：(1)，四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ADE=90°，AB=DC, ∴.∠ABD+∠ADB=90 AE⊥BD, ∴.∠DAE+∠ADB=90,.∠ABD=∠DAE ∠BAD=∠ADE=90,.△ADED△BAD 裙-器AD=DE·BA 'AB=DC,∴.AD=DE·DC (2)如图，连接AC,交BD于点O 四边形ABCD为矩形，·∠ADE= 90,0A-0D-BD, ∴.，∠DAE+,∠AED=90 AE⊥BD, ,∠DAE+∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠AED. ∠FEC=∠AED,∠ADO=∠FEC :0A-OD-7BD,EF-CF-TBD, ..0A=OD=EF=CF, 上册参考答案 177