3.4.1 第3课时 相似三角形的判定定理2-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（湘教版）

第3课时 相似三角形的判定定理2 要固提园 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已课内基础练 5.注重学习过程如下图，点D在△ABC的边 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角 AB上，DE交AC于点E,∠ADE=∠B,点 形相似 F在AD上，且AD2=AF·AB.求证： 1.能判定△ABC∽△A'B'C'的条件是( △AEF∽△ACD A常怨 AC 证明：，∠ADE=∠B, .DE∥BC, B怨-瓷且∠A-∠X (相似三角形的判定的预备 c能-且∠B-∠C 定理)， AB AC D常-光且∠B=∠B ..AD_AE AB AC 2.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,且将这个四边形分成①②③④四个 AD2=AF·AB,AD-AF ·ABAD 三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结论 ·AE_AE 正确的是 ) ·ACAD A.①和②相似 B.①和③相似 又 ,∴.△AEF∽△ACD( C.①和④相似 D.②和④相似 6.(2024广州)如下图，点E,F分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF =2.求证：△ABE∽△ECF 第2题围 第3题园 3.(2025永州道县期末)如图，点P在△ABC 的边AC上，要判断△BCP∽△ACB,需添 加一个条件，其中不正确的是 ) A.∠CBP=∠A B.∠CPB=∠CBA c常 CP BP D.CBAB 7.如下图，在△ABC中，AF⊥BC,CE⊥AB,垂 4.条件补充题如图，∠1=∠2. 足分别是F,E,连接EF.求证：△BEF 添加一个条件后，能够判定D ∽△BCA. △ABC∽△ADE,这个条件可 以是 (不添 第4题图 加辅助线和字母) 上册第3章 55 已课外拓展练 已核心素养练 8.如图，点A,B,C,D的坐标分别是(1,7)，(1， 11,推理能力如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角 AC=8cm,BC=6cm.现在有动点P从点 形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是 B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q 从点A出发，沿折线ACB向终点B运 A.(6,0)B.(6,3) C.(6,5)D.(4,2) 动，点P,Q的速度都是1cm/s.它们同时出 发，当有一点到达终点时，另一点也停止运 动.设运动的时间为ts, (1)如图①，点Q在AC上，连接PQ.当t为 何值时，以A,P,Q为顶点的三角形与 01234567 G △ABC相似？ 第8超周 第9题图 (2)如图②，点Q在CB上，连接PQ.是否 9.如图，图中的每个点（包括△ABC的各个顶 存在某时刻，使得以B,P,Q为顶点的三角 点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在 形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若 点P,Q,G,H中找一个点，使它与点D,E构 不存在，请说明理由。 成的三角形与△ABC相似.这个点可以是 (写出满足条件的所有的点)， 10.(2024一2025常宁期中)如下图，点D,E分 别在△ABC的边AC,AB上，延长DE,交CB ① ② 的延长线于点F,且AE·AB=AD·AC (1)求证：∠FEB=∠C (连接AR如果器-器求证：EF· AB=AC·FB. 46 九年级数学X划版△BNP∽△BCA,BN-BC-CN, 8,即Cy,cN- BC AC 1 2 ②：CN=号MA=AC-CM=2-号=寺 与(1)同理可证△PNP2∽△PMA,P:N=PM -MN2, 2 、∴爱，期司心-MN奇 4 3 3 (侵) 第2课时相似三角形的判定定理1 1.B2.C3.∠ADE=∠C(答案不鸣一) 4,证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AD∥BC, ,∠C+∠B=180',∠ADF=∠DEC. '∠AFD十∠AFE=180°，∠AFE=∠B, .∠AFD=∠C, .△ADPn△DEC, 5.解：由旋转的性质可知，∠CAB'=∠A,A'C=AC-4,AB -AB=2.CB∥AB,.∠ACB=∠D,△A'B'C⊙ △ACD,是-器即导-高AD-8,BD-AD AB=6. 6.c7.号 8.证明：，CB=CF,∠B=∠CFB ∠AFD=∠CFB,,∠AFD=,∠B. ,AD⊥CD,∠ACB=90, ·∠D=∠ACB,∴△ADFO△ACB 9.c0.c1.42号 13.解：(1)证明：∠B=∠C,∠APD=∠C, ∴.∠B=∠APD. :∠APC=∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD, .∠BAP=∠CPD,∴△ABP∽△PCD, 08器aM,CD-CP,B即 (2)PD∥AB,.∠BAP=∠APD=∠C 又，∠B=∠B,△BAP∽△BCA, 影器品-零得即-号 故当BP=时，PD/BA 14.解：(1)证明：，BD=BE, ∴.∠BDE=∠BED. ∠BDE+∠CDA=I80°=∠BED+BEC .∠BEC=∠CDA. ”∠ACB=∠BED,∠BED=∠EBC+∠ECE,∠ACB= ∠DCA+∠BCE, .∠EBC=∠DCA,∴，△BE△CDA (2)'BD=BE,∠BDE=∠BED '∠ACB=∠BED,,∠BDC=∠ACB ∠CBD=∠ABC,∴.△CBDO△ABC, 器-器即嘉÷= 4 ∴AD=AB-BD=空-4=号 由，得△BBC△CDA,器-器，即E空 整理，得CE十3CE-9=0,解得CE=3F-3(负值已含 去). 第3课时相似三角形的判定定理2 1B2B3D4铝-治（答案不难- 5,解：△ADED△ABC相似三角形的对应边成比例等量代 换∠A=∠A两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 6.证明：BE=3,EC=6,CF=2, .BC=3十6=9. :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=9,∠B=∠C=90, 六0-8票△ABEn△BCR 7.证明：AF⊥BC,CE⊥AB, .∠AFB=,∠CEB=90° 又'∠B=∠B,△BAF∽△BCE 器隐器畿 又，∠B=∠B,∴.△BEF∽△BCA 8.B9.Q或G 10.E明，：ADAB=AD·AC,=0 又∠A=∠A,.△AED∽△ACB, ∴.∠AED=∠C 又：∠AED=∠FEB,∴∠FEB=∠C (2),'∠FEB=∠C,∠EFB=∠CFD, ,△EFBO△CFD,∴，∠FBE=∠FDC 器器器品 △FBA∽△CDF,∠AFB-∠C,AF-AC :∠FEB=∠C,·∠FEB=∠AFB. 又：∠FBE=∠ABF,∴△EFB∽△FAB, 嚣器 AF=AC,EF·AB=AC·FB. 11.解：(1)在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=10cm. △AQP与△ACB有一公共角∠A, ①当∠AQP=90'时，△AQP△ACB, 此时怨-铝“言-9日，解得=号 ②当∠APQ=90'时，△APQ∽△ACB, 此时8-记“品-10。解得-号 综上所述，当=号或号时，A,P,Q为顶点的三角形与 △ABC相似 (2)存在， △BPQ与△BAC有一公共角∠B. 点Q在CB上，点P在AB上，8<≤10. ①当既-器，△BPQO△BAC 此时品-，解得要 上册参考答案 173 ②当器-既时，A△B0Pn△aAC, 此时品-合部得一头（合去 综上所述，当=要时，以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC 相似， 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2.A3.C4. 5.证明：D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，DE,FD,FE 均是△ABC的中位线， ∴DE=号BC,FD=音AB,FE-AC, B能0-能-，△ABC△FDE 6.证明：由题意可知，BC=1,BD=2,EF=3 由勾股定理，得BE=√/下+T=E,CE=+2=5, ED=+3=/0 器器器 器-需-器∴△CEABED, 7.相似 8.解：两个三角形相似.理由如下： 在Rt△DEF中，DF=√DE-EF=/6-4=25, 提品含 ∴，R:△ABC∽Rt△DEF 9.B10.③④③ 11.解，(1)证明，如图，过点C作CF」AB,垂足为D F,则∠CFB=90°， :∠A=90,∴AD∥CF AB∥CD .四边形AFCD是平行四边形， ∴.AD=CF,AF=CD=1, .BF=AB-AF=2-1=1 在Rt△CBF中，CF=/BC-BF=/3-1下=22. E是AD的中点，AD=CF=2E, E-8A-E器号黑方号 器器 又'∠CDE=∠EAB=90°，.△CDE△EAB. (2)△CDE与△CEB相似.证明如下： 在Rt△CDE中，CE=CD+DE=√/12+(2)2=，尽， 在R△EAB中，BE=/AE+AB8=√(W2)产+22=6 器9 器器器， ∴△CEBP△CDE. 12.解：(1)△ABC和△DEF相似.理由如下： 根据勾股定理，得AB=25,AC=5,BC=5,DE=4/E, 174 九年级数学XJ版 DF=2E,F=2瓜…器-品-器-平 ∴，△ABCn△DEF (2)答案不难一，下面6个三角形中的任意2个均可 △PPsD,△P4PF,△P3P,D,△P,PD,△P2PPs, △P:FD(如图所示). 模型构建专题构建相似三角形的基本模型 1.证明：：'AB∥CD,EF∥AB, ∴.EF∥CD 由EF∥AB,得△DEFO△DAB, 嚣器 由EF/CD,得△BEFO△BCD,需號， 器+器-r-1, BD 人 福+品 2.解：，"∠ADE=∠ACB,∴，∠BDF=∠ECF 又'∠DFB=∠CFE,∴△BDF△ECF, 2器期g-罗nr-4 3.证明：，∠BCD=∠BED,∠BAC=∠DAE, ∴：△ABC∽△ADE, 品器指器 又∠CAE=∠BAD, ∴.△ACE∽△ABD. 4.解：设DP=x,测BP=28-x 'AB⊥BD,CD IBD ∠B=∠D=90.分以下两种情况讨论： ①当8-那时，△MBn△CDP, 即号-282号，解得x-1.2 .BP=28-11.2=16.8: ②当器-器时，△A△P0C, 即兰=28。产，解得名=4，名=26， .BP=28-4=24或BP=28-24=4. 综上所述，当以P,C,D为页点的三角形与以P,A,B为顶点 的三角形相似时，BP的长为16.8克24或4. 5证明：(1)AB=AC,∴∠B=∠C. ,∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF- ∠DEB,∠DEF=∠B, '.∠BDE=∠CEF,.△BDEv△CEF △CEF,2器-器 E是C的中点E=C器-器脚是器 又∠DEF=∠B=∠C,,△DEF∽△ECF, ,∠DFE=∠EFC,.FE平分∠DFC.