3.4.1 第1课时 相似三角形的判定的预备定理-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（湘教版）

6.解：，DE∥BC,EF∥AB, 品能器器 AD=2BD瓷-2 漂器÷ 7.A8.B9.C10.611.6或1212.8 a解：：nE/Bc小0怎 又“裙-号AE=3 亮-子每得AC=9 .EC=AC-AE=9-3=6, (2)证明：DE∥BC,EF∥CG, 裙能-福AD·AG=AAB 14.解：如图，过点F作FG∥BN,交AC于点G, 果器-器-1EN=NG :DE∥BC, 器-品-号∴BC=M起 /A,瓷-器-子 rc/BN既-瓷-号GC-aG 设EN=NG=a,则GC=3a, .EC=EN+NG+GC=5a. ·EC=3AE=5a,解得AE=5 4 :AC=AE+BC-子a+5a-90立-品 AC 20 3.3相似图形 1.C2.D3.B4.D5.C6.52925 3 7.解：在题图①中，有两个三角形相似， ÷器-韶-希解得x=32 在题图②中，，有两个三角形相似， 六m=65,=0,2-号解得y-9 y 故x=32y-9m=65,=0 8D9.①0101.611.D12E:113.814.3或号 15.解：(1)①由题意，得AMN=AB,AD=BC,MD=之AD :矩形DMNC与矩形ABCD相似，器瓷， 号AD=AB,又：AB=4,AD=4E 9 (2)”原矩形的长为25，觉为x, ∴小矩彩的长为工，宽为弯-5 :小矩形与原矩形相似， 172 九年级数学X划版 “旁=三，解得x=5后（负值已舍去. 16.解：(1)小路四周所围成的矩形A'BCD'和矩形ABCD不 相似.连由如下： 四周的小路的宽为x, :4g-30+2460+起，8C-20+24-60+6 AB 30 60+BC 20 60 器瓷 ∴.小路四周所围成的矩形AB'CD和矩形ABCD不相似， 当是-瓷，兰是每得5一】 30 y 2 ·当小路的宽x与y的比值为之时，能使得小路四周所围 成的矩形A'B'CD和矩形ABCD相似. 3.4相似三角形的判定与性质 3.4.1相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定的预备定理 1.C变式题(1)B(2)C2.33.1t2 4.证明：'AD是BC边上的中线，∴D是BC的中点 又E是BF的中点，.DE是△BCF的中位线， ∴.DE∥CF,∴.DE∥GF,∴.△AFGc∽△AED. 5.解：，四边形DCEF为正方形，，DF∥CB,DC=DF, ÷△ADFO△ACB,小2-8器设DC=,则DF=,AD =10-x,9。-音解得x=草“正方形DCEF的周 长为4×5=15. 6B7.D8,等腰三角形9号 1D.解：，在△ABC中，EG∥BC, △ABG△ABC,器- BC=10,AE=3,AB=5, “职=解得BG=6 10 ,在△BAD中，EF∥AD, △BER△BAD,器-器 AD=6,AE=3,AB=5, 琴-号解得E球-号。 6 G=BG-EF=6-号-9 11.解：在Rt△ABC中，AB=/AC-CB=/-3=4. :四边形DEFG为正方形， ∴，DE=EF=GF=DG=1,∠DEF=,∠GFE=90° 又，∠B=90,∴.DE∥GF∥CB. △ADBn△ACB,器-福即号-华 AE寺∴AP-AE+EF=子 GF∥CB,∴.△AGFC∽△ANB, 7 需带期子NB=号 ，13 12.解：(1)四边形CMPN1是正方形， ..PNI/CM,CN:=PIN=CM=PM, △BNP∽△BCA,BN=BC-CM1, 0,即cy,cN-子 BC AC 2 (②：CN=号MA=AC-CM=2-号-专 与1)同理可证△PNP∽△PM1A,P1N2=PM -MN2, 2 受兴，即3MM,MN-专 4 3 3 (侵) 第2课时相似三角形的判定定理1 1.B2.C3.∠ADE=∠C(答案不唯-) 4,证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AD∥BC, ∴.∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC. :∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B, .∠AFD=∠C, .△ADF∽△DEC 5.解：由旋转的性质可知，∠CAB'=∠A,A'C=AC=4,AB =AB=2.,CB∥AB,.∠ACB=∠D,∴.△A'B'C∽ △ACD,是二期子-茄AD=8BD=AD AB=6. 6.c7.号 8.证明：：CB=CF,∴∠B=∠CFB ,∠AFD=∠CFB,.∠AFD=∠B. AD⊥CD,∠ACB=90, ∴∠D=∠ACB,∴.△ADF△ACB. g.c0c1.42号 13.解：(1)证明：：∠B=∠C∠APD=∠C, ∴.∠B=∠APD. ∠APC=∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD, ∠BAP=∠CPD,△ABP∽△PCD 器-器aM,CD=Cp, (2)PD∥AB,.∠BAP=∠APD=∠C 又∠B=∠B,.△BAPO△BCA, 小隐器品-琴部得即-9 故当BP=时，PD/∥BA, 14.解：(1)证明：BD=BE ∠BDE=∠BED, ∠BDE+∠CDA=18O°=∠BED+BEC, ·∠BEC=∠CDA. '∠ACB=∠BED,∠BED=∠EBC+∠BCE,∠ACB= ∠DCA十∠BCE, .∠EBC=∠DCA,,△BEC∽△CDA (2)'BD=BE,∠BDE=∠BED ∠ACB=∠BED,∴.∠BDC=∠ACB. '∠CBD=∠ABC,∴△CBD∽△ABC, aAD=AB-BD=空-4=是 由a,得△BECn△cDA,器-器即3E雪 整理，得CE+3CE-9=0,解得CE=3-3(负值已舍 去) 第3课时相似三角形的判定定理2 1.B2B3.D4铝能（答案不唯- 5,解：△ADEc∽△ABC相似三角形的对应边成比例等量代 换∠A=∠A两边成比制且夹角相等的两个三角形相似 6.证明：，BE=3,EC=6,CP=2, BC=3+6=9. 四边形ABCD是正方形， .AB=BC=9,∠B=∠C=90, 瓷-8票△ABEn△BCR 7.证明：：AF⊥BC,CE⊥AB ·,∠AFB=∠CEB=90 又∠B=∠B,.△BAF∽△BCE, 器器嚣腮 又：∠B=∠B,,△BEF∽△BCA 8.B9.Q或G 10证明：：AE·AB=AD:AC,荒-器 又'∠A=∠A,△AED∽△ACB, .∠AED=∠C. 又∠AED=∠FEB,.∠FEB=∠C (2):∠FEB=∠C,∠EFB=∠CFD, △EFB∽△CFD,∴.∠FBE=∠FDC. 器-器器品 .△FBA△CDF,∴∠AFB=∠C,∴AF=AC ",∠FEB=∠C,,∠FEB=∠AFB. 又：'∠FBE=∠ABF,∴.△EFB∽△FAB, 嚣-器 AF=AC,∴EF·AB=AC·FB. 11.解：(1)在Rt△ABC中，AB=/AC+BC=10cm △AQP与△ACB有一公共角∠A ①当∠AQP=90'时，△AQP∽△ACB, 此时怒-铝“青-行，每得一号 ②当∠APQ=90'时，△APQ∽△ACB, 此时8-铝“品-10号解得一积 综上所述，当=号或号时，以AP,Q为质点的三角形与 △ABC相似 (2)存在. △BPQ与△BAC有一公共角.∠B. 点Q在CB上，点P在AB上，.8<≤10. D当器-器时，△BPQn△BAC. 此时品1，解得要 上册参考答案 1733.4相似三角形的判定与性质 3.4.1相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定的预备定理 要固提园 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，戴得的三角形与原三角形相似，如右图，当DE∥BC 时，△ADECO△ABC 已课内基础练 3.(2024一2025永州零陵区月考)如图，E是 知识点用预备定理判定两个三角形相似 口ABCD边BC的延长线上一点，BC= 1.如图，点D,E分别在△ABC 2CE,则CFDF 的AB,AC边上，且DE∥ 4.如右图，在△ABC中，AD是BC BC.如果AD:AB=2:3,那 边上的中线，点E,F在AB边 么DE:BC等于 ()第1题 上，连接DE,CF,CF交AD于 A.3:2 B.2:5 C.2:3 D.3:5 点G,E是BF的中点.求证： △AFG∽△AED. 变式题求比→求长度 (1)(2024一2025株洲荷塘区期中)如图，在 △ABc中，DE∥BC铝-是若BC=10, 2 则DE= ) A.5 B.4 C.2.5 D.2 5.(教材变式)如右图，在Rt△ABC 变式题(1)园 变式题(2)周 中，∠C=90°.正方形DCEF的 (2)如图，在△ECD中，∠C=90°，AB⊥EC 顶点D,E,F分别在边AC,BC, 于点B,AB=1,BE=2,BC=3,则DC的长 AB上.如果AC=10,CB=6,求 是 正方形DCEF的周长 A. B. 2.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边 AC,AB,BC上，且DE∥BC,DF∥AB.图中 有 对相似三角形. 第2题图 第3题图 上册第3章 ⊙课外拓展练 11.如右图，△ABC中有一正方 6.(2024河南)如图，在□ABCD中，对角线AC, 形DEFG,其中点D在AC BD相交于点O,E为OC的中点，EF∥AB交 上，点E,F在AB上，直线 BC于点F,若AB=4,则EF的长为 ( AG分别交DE,CB于M,N两点.若∠B 90°，AC-5,CB=3,DG=1,求NB的长度. A B.1 c D.2 第6题固 第7题图 7.如图，□ABCD中，AB=6,AD=9,E,F都是 AD的三等分点，BE,CF交于点N,过点N作 MN∥CD交AD于点M,则MN= A号 R号 C.1 D 已核心素养练 8.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E 12.推理能力如下图，Rt△ABC中，∠C=90°， 在AC边上.若∠1=∠2，∠3=∠4，AE=3, BC=1,AC=2,把边长分别为，x8,x3, BC=6,则△ABC是 x4的n个正方形依次放在△ABC中.第一 个正方形CMPN1的顶点分别放在 Rt△ABC的各边上；第二个正方形 MM2P2N2的顶点分别放在Rt△APM 的各边上，其他正方形依此规律放人 第8题图 第9题国 (1)求第1个正方形的边长， 9.如图，在△ABC中，DE∥BC,BF平分 (2)求第2个正方形的边长 ∠ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1, (3)第2025个正方形的边长为 DB=2,BC=4,则EF的长为 10.如下图，AD∥EG∥BC,EG分别交AB, DB,AC于点E,F,G.已知AD=6,BC= 10,AE=3,AB=5.求EG,FG的长 42 九年级数学划版