第23章 旋转(课外拓展提高)-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

第二十三章 旋转 23.1图形的旋转 目第1课时旋转及其特征 (建议用时：30分钟) 1.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到 针旋转60°得到△AB'C',连接BB交AC于 △ADE.若∠E-70°，且AD⊥BC于点F,则 点D.求CD的长度 ∠BAC的度数为 ( A.65 B.70° C.75 D.80 第1题园 第2题图 2.(2024一2025厦门期中)如图，在△ABC中， 6.如下图，在△ABC中，将边AB,AC分别绕 ∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60 点A逆时针旋转90°得到线段AD,AE,连接 得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E, DE,与BC交于点F,连接AF,CD,BE, 延长BA交DE于点F.下列结论一定正确 BD,CE.求证： 的是 (1 BC=DE. A.∠ACB-∠ACDB.DC=DE (2)BE+CD:=BD2+CE2. C.AB=EF D.BF⊥CE 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC-90°，∠C= 30°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到 △AMN,使点B落在BC边上的点M处.过 点N作直线1平行于BC,则∠1的度数 为 第3题图 第4题图 4.(2024一2025南昌校级期中】如 图，在△ABC中，∠ABC=30°，将 线段CA绕点C顺时针旋转30 至CA',过点A作A'E⊥BC,垂足为E.若 AB=8,CE=5,则BC的长为 5.如下图，已知△ABC为等腰三角形，∠BAC =30°，AB=AC=6.将△ABC绕点A逆时 114 九年级数学RJ版 冒第2课时旋转作图 (建议用时：30分钟) 1.以如图所示的正方形的右边所在的直线为 点B重合). 轴，将该图形向右翻转180°后，再绕正方形 (1)尺规作图：作出△DEC(保留作图痕迹， 的中心按顺时针方向旋转180°，得到的图形 不写作法) (2)判断线段AB,CD的位置关系，并说明 理由. 0123456 第1题图 第2题园 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0, 2),A(4,2),以点P为旋转中心，把点A按 遵时针方向旋转60得到点民.在M(一。 oM(-E,-1D,M1,40,M(2,号)四 6.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E 个点中，直线PB经过的点是 分别在边AB,AC上，EC=BC,连接CD.将线 A.M B.M2 C.M D.M. 段CD绕点C顺时针旋转90°后得到线段CP, 3.如图，在边长为1的正方形网格中，A(1,7), 连接EF B(5,5),C(7,5),D(5,1).线段AB与线段CD (1)请补全图形 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某 (2)若EF∥CD,求证：∠BDC=90°. 点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这 个旋转中心的坐标为 D 第3题图 第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中，A(一1,2)，OC=4, 将□OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点 B的坐标是 5.如下图，△ABC中，AB=AC>BC,将 △ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使 得点B的对应点E落在边AB上（点E不与 上册课外拓展提高 115 23.2中心对称 23.2.1 中心对称（建议用时：30分钟） 1.如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于5.已知△ABC与△DEF关于点O成中心对 直线BH上的某个点成中心对称，则点B的 称，且点A,B,C的对称点分别是D,E,F,若 对称点是 AB=5,AC=3,则EF的取值范围是 A.E B.F C.G D.H 6.如图，△ABC和△DEC关 于点C成中心对称.若AC = ，AB=1,∠BAC= 1 第6题图 第1题图 第2题图 90°，则AE的长是 2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点 7.如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是 O,AC=2,BD=8,△BOC与△B'OC关于 CD上一点，点D与点C关于点E成中心对 点C成中心对称，连接AB,则AB的长是 称，连接AE并延长，与BC的延长线交于 ( 点F. A.3 B.4 C.5 D.7 (1)填空：E是线段CD的 ,点 3.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形 A与点F关于点 成中心对称；若 OABC的顶点O(0,0),A(1,2),B(3,3), AB=AD十BC,则△ABF是 C(2,1).作菱形OABC关于y轴对称的图 三角形 形OA'BC',再作图形OA'B'C'关于点O对 (2)若四边形ABCD的面积为12，求△ABF 称的图形OA"BC,则点C的对应点C”的坐 的面积. 标为 A.(2,-1) B.(1,-2) C.(-2,10 D.(-2,-10 第3题图 第4题围 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB CD,且AD-BC=2,E是BC的中点，则 △ABE可以看成是由△DEC向左平移得到 的，平移的距离为 ；△AED与 △CDE是成中心对称的两个三角形，它们的 对称中心是 116 九年级数学RJ版 23.2.2中心对称图形（建议用时：30分钟） 1.(2024一2025南昌校级期中)下列图案中，既6运算能力在一次数学社团活动中，小明设计 是轴对称图形又是中心对称图形的是 了一个社团标识.如图，正方形ABCD与折线 D-E-F-B构成了一个中心对称图形，且 DE⊥EP,AD=50,DE比EF长25，那么EF 囍 的长是 7.如右图，□ABCD的对角线 2.如图，在数学活动课上，小明将菱形纸片沿 相交于点O,E,F在直线 对角线剪出四个全等的直角三角形，再将这 BD上，且BE=DF. 四个直角三角形重新拼接成一个新的四边 (1)四边形AECF是中心对 形（无重叠、无缝隙），则拼接成的新四边形 称图形吗？请说明理由 是中心对称图形的有 (2)请直接写出四边形ABCD的对称中心. A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 第2随图 第3题图 3.如图所示的是一个中心对称图形，O为对称中 8.如下图，在△ABC中，D是BC上一点，DE 心.若△AOB的面积是18，AB=9,则△DOC的 ∥AC,DE交AB于点E,DF∥AB,DF交 CD边上的高是 AC于点F. A.4 B.3 (1)求证：四边形AEDF是中心对称图形. C.6 D.2 (2)若AD平分∠BAC,求证：点E,F关于直 4.在方格纸中，从标有序号①②③④的小正方 线AD对称， 形中选择一个涂上阴影，使其与图中的阴影 部分构成中心对称图形，则应选择涂上阴影 的小正方形的序号是 ② 第4题图 第6是图 5.有下列平面图形：线段、等腰直角三角形、等 边三角形、平行四边形、长方形、正方形、圆。 其中轴对称图形有a个，中心对称图形有b 个，则a2十b的值为 上册课外拓展提高 117 23.2.3关于原点对称的点的坐标（建议用时：30分钟） 1.若点P(a十1，a-2)关于原点对称的点位于 (2)写出点A关于原点的对称点C的坐标. 第一象限，则a的取值范围用数轴表示正确 (3)若D是点B关于原点的对称点，判断四 的是 边形ABCD的形状，并说明理由. -1012 -2-101 A B 101 名0 D 2.以下每对函数的图象一定关于原点对称的 是 ( A.y=x2与y=-2x2 B.y=x2十1与y=-x2 C.y=x2+1与y=-x3-1 7.如下图，在平面直角坐标系中，△PQR是 D.y=(x-1)2与y=(x+1) △ABC经过某种变换后得到的图形，观察点 3.若将等腰直角三角形AOB按 A与点P,点B与点Q,点C与点R的坐标 如图所示的方式放置，OB=2, 之间的关系， 则点A关于原点对称的点的 第3题厨 (1)分别写出点A与点P,点B与点Q,点C 坐标为 与点R的坐标 4.已知点P(1一2a,a-2)关于原点对称的点 (2)若△ABC内有一个点M(2a+5,1-3b) 在第一象限内，且a为整数，则关于x的分 经过变换后，在△PQR内的坐标为N(一3 式方程日2的解是】 一a,-6+3),求关于x的方程c+3 2 5.在平面直角坐标系中，若点P(a十b,一5)与 点Q(1,3a一b)关于原点对称，则关于x的一 2十ax=1的解. 3 元二次方程x2-2ax- 6 =0的根为 6.如右图，已知直线y=x和 直线外一点A(2,3). (1)写出点A关于直线y x的对称点B的坐标. 118 九年级数学RJ版 23.3课题学习【 图案设计 (建议用时：30分钟) 1.下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变 ①只是轴对称图形而不是中心对称图形； 换后，不能得到如图所示的图案的是( ②既是轴对称图形又是中心对称图形. 画出符合要求的图形各两个. 只是始对称图形而 不是中心对称国形 第1题图 变式题图 变式题如图，在下列四种图形变换中，该 质是轴对称图形文 是中心对称图形 图案不包含的变换是 5.图①、图②都是由边长为1的小等边三角形 A.旋转 B.轴对称 构成的网格图，每个网格图中有5个小等边 C.轴对称和旋转 D.平移 三角形已经涂上了阴影.请在余下的空白小 等边三角形中，选取1个涂上阴影，使得6个 2.如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转 涂上阴影的小等边三角形组成一个中心对 得到的有 称图形 米中路 第2题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 图① 图② 3.如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换 6.如图，P,Q是网格纸中的两个格点（小正方 得到的图案有 :可以通过旋转变 形的顶点).请按下列要求画出以PQ为对角 换但不能通过平移变换得到的图案有 线的格点四边形 :既可以通过平移变换，又可以通过 (1)在图①中画出一个面积最小的口PAQB. 旋转变换得到的图案有 (填序号) (2)在图②中画出一个四边形PCQD,使其 是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一 ⊕⊕⊕⊕ 条对角线CD是由线段PQ旋转得到的，旋 ② 转中心为线段PQ上的某一格点。 3 ④ 第3题图 4.用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形，使 园① 图② 所得正方形（包括色彩部分）满足下列要求： 上册课外拓展提高 119∴.0A=4 ,0P=/0-2+(0+2=22, AP=/4-2+(0-2=22, .OP=AP ,OP严+AP=04, ∴·△AOP是等腰直角三角形. 6.解：(1)△ABC的面积是6， (②PM的最大值为是 22.2二次函数与一元二次方程 1.C2A3B4.m>35.n=-2,x=5 6解：1)证明：令y=0,则x2-(m十2)x十2m一1=0， ∴.△=[-(m+2》]P-42m-1)=(m-22+4≥4， △>0. ,方程总有两个不相等的实数根，即该函数图象与x轴总有两 个交点 (2)孩函数的图象与y轴交于点(0,3)， ∴.2m-1=3, .m=2, ·.二次函数的解析式为y=2-4x十3. y=x2-4z十3=(z202-1, .函数的图象开口向上，当x=2时，函数y取最小值，最小值为 -1. 当x=0时，y=3: 当x=5时，y=25-20+3=8 故当0<x<5时，y的取值范围为一1≤y<8. 7.解：(1)当a=b=1,c=一1时，抛物线为y=3x2十2x一1， :方程3x+2一1=0的两个根为看=-1，x=子 该抛物线与工轴的交点坐标是(-一1,0和（号，0。 (2)存在，，a十b十c=1, .c=1-a-a由y=1,得3ax+2a十c=1, 即3ax2+2bx十c-1=0, △=4W-12a(c-1》=4w-12a(-a-b)=4w+12ab+12a2= 6+a+a)=[（6+)'+] a≠0， “4>0, ∴.方程3ax2十2：十c=1有两个不相等的实数根， 即存在两个不同实数如，使得相应的y=1. 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 1.D2D3C4.46.4 5,解：(1)设花园平行于墙的一边长xm,面积为ym,剥垂直于墙 的一边长20子m, 3 3 .当x=60时，y有最大值，最大值是1200， 此时20。=0 44444 210 九年级数学RJ版AH 故当花國平行于墙的一边长60m时，花园面积最大，最大面积为 1200m2. (2)设种植牡丹的面积为am,则种植芍药的面积为 1200-a)m 由题意可得25×2a十15×2(1200一a)≤50000， 解得a≤700，即牡丹最多种植700m2, 700×2=1400(株. 故最多可以购买1400株牡丹 第2课时最大利润问题 1.55 2.解：1)设A类特产每件的售价为m元，则B类特产每件的售价 为132一m)元. 由题意，得3m十5(132一m0=540, 解得m=60, 132一60=72（元）. 故A类特产每件的售价为60元，B类特产每件的售价为72元 (2)由题意，得y=10x十600≤x≤10)， (3)由题意，得=(60-50-x)(10x十60)十100×(72一60)= -10x2+40x+1800=-10(x-2)2十1840. ?-10<0,当x=2时，w有最大值，最大值为1840， .每件A类特产降价2元时总利润e最大，最大利润为 1840元. 3.解：1)在3月份和6月份出售这种商品，3月份商品的单件利润 更大 (②)从3月份到8月份，8月份商品的单件利润最大，最大利润是 翠元 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1.C2.B3.54.102 5解：@x=,y-宁+12z (2①依题意，得-+12=0， 解得1=0（舍去），=24 当1=24时，z=120. 故飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 ②设发射平台相对于安全线的高度为：m,则飞机相对于安全线 的飞行高度y=一子+12叶 .125<x<130, .125<51130,∴.25126 在=-合+12+m电， 当1=25，y=0时，n=12.5: 当1=26，y=0时，n=26, 12.5<26. 故发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小 于26m. 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转及其特征 1.C2.D3.30°4.25 5.解：由旋转的性质可知，AB=AB=6,∠BAB=60 ,∠BAC=30°，∠BAC=60°-30=30， .∠BAC=∠BAC, ∴AD1BB,BD-AB=3, ∴AD=VAB-BD=-3=35, ∴CD=AC-AD=6-35. 6.正明：(1)，AB,AC分别绕点A道时针旋转90得到线段 AD.AE. ∴∠BAD=∠CAE-90,AB-AD,AC=AE ∴·∠BAD十∠DAC=∠DAC+∠CAE,即∠BAC=∠DAE (AB-AD. 在△BAC和△DAE中 ∠BAC=∠DAE, AC=AE, .△BAC2△DAE(SAS), .BC=DE. (2)如图，设AC与DE交于点G 由1)，得△BAC2△DAE, ∠BCA=∠DEA ∠EAG=90,∠DEA十∠AGE=90. '∠AGE-∠CGF, ·∠BCA十∠CGF=90, ∴∠CFG=9o,∴.BC⊥DE 在Rt△BEF中，BE=BF十EF, 在Rt△CDF中，CD=CF+DF, 在Rt△BDF中，BD=BF+DF, 在R△CEF中，CE=EF十CF, ..BE+CD=BE+ER+CF+DF.BD+CE=BE+DE +EF+CF, .BE+CD=BD+CE. 第2课时旋转作图 1.D2B3.(3,3)或(6,6)4.(-2,3)或(2，-3) 5.解：门)如图，△DEC即为所求 (2CD∥AB,涯由如下： 由旋转的性质，得∠DEC=∠B,DC=AC,DE=AB,CB=CE. ,AB■AC,∴.DE=DC .∠DEC=∠DCE CBCE, ∠B=∠CEB, .∠DCE-∠CEB, CD∥AB 6.解：(1)补全图形如图所示。 (2)正明：由旋转的性质，得∠DCF=90°，CD=CF, ∠DCE+∠ECF=90 ”∠ACB=90°， ∠DCE+∠EBCD=90°， .∠ECF=∠PCD :EF∥CD, ∴.∠F+∠DCF=180°. ∴.∠F=90. 在△BDC和△EFC中， (CD-CF, ∠BCD=∠ECF, BC=EC. ,△BDC≌△EFCSAS), .∠BDC=∠F=90. 23.2中心对称 23.2.1中心对称 1D2C3.A4.2DE的中点5.2<EF<86.E 7.解：1)中点E等腰 (2),点D与点C关于点E成中心对称， ∴.ED=EC.又AD∥BC,∴.∠D=∠FCE I∠D=∠FCE, 在△ADE和△FCE中，ED=EC ∠DEA=∠CEF ,∴.△ADE2△FCECASA), SADg=S么GE,∴SAABF=SagD 四边形APCD的面积为12， .△ABF的面积为12. 23.2.2中心对称图形 1.C2.B 3.A4.②5.1616.10 7.解：门)四边形AECF是中心对称图形.理由如下： □ABCD的对角线互相平分，∴.OA=OC,OB=OD 又，BE=DF,.OB+BE=OD+DF,即OE=OF, ,.四边形AECF是平行四边形， .四边形AECF是中心对称图形 (2)四边形ABCD的对称中心是对角线的交点Q 8.证明：1)DE∥AC,DF∥AB, ,四边形AEDF是平行四边形， .四边形AEDF是中心对称图形 (2),AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD. 又：DE∥AC ∴∠CAD=∠ADE,∠BAD=∠ADE,.AE=DE 由1)，得四边形AEDF是平行四边形， .口AEDF是菱形. 如图，连接EF,则AD垂直平分EP, .点E,F关于直线AD对称， 23.2.3关于原点对称的点的坐标 1.B2C3(-1,-1)4x=35.a=x=1 6解：(1)点A关于直线y=x的对称点B的坐标为(3,2. (2)点A关于原点的对称点C的坐标为（一2，一3）， (3)四边形ABCD是矩形，理由如下： B(3,2)关于原点的对称点为D(一3，一2)， ∴.BO=DO.同理AO=CO, .四边形ABCD是平行四边形 :点A关于直线y=x的对称点为B,点A关于原点的对称 点为C,点B关于原点的对称点为点D, ∴.AO=BO,AC=BD,,四边形ABCD是矩形 7,解：1)点A的坐标为(4,3)，点P的坐标为（一4，一3）：点B 的坐标为(3,1)，点Q的坐标为（一3，一1）， 44444 AH上册参考各案 211 点C的坐标为(1,2)，点R的坐标为（一1，一2） (2)由题意可知，△ABC与△PQR关于原点对称， .2a十5=3十a,1-3b=b-3,解得a=-2,b=1, 则原方程可化为中3-22红-1，解得x一子 2 23.3课题学习图案设计 1.C变式题D2.D3.①④③② 4.解：如图所示（答案不准一 既是陆对称园形又是 中心对称因形 5.解：如图所示 图① 2 6.解：（答案不难一）(1)如图①所示. (2)如图@所示。 周① 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 1.A2.A3.A4.30°5.1)43(2)33°6.5-1 7.解：OD=10 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.B3.C4.255.6cm 6.解：任务1：由题意，得拱高CD垂直平分AB, 则AD=BD=子AB=8n 记圆心为O,则点O在CD的延长线上，连接AO,如图， 形拱桥的半径为rm,则OD=(r一4)m, .(r一4)十82=r2,解得r=10. 敲圆形拱桥的半径长为10m 任务2：不能. 当EH是⊙O的弦时，易知AB∥EH, ,AB⊥CD,.EH⊥CD 44444 212 九年级数学RJ版AH 记EH与OC的交点为M,连接OE,如图，则EM=之EH= 5m ∴.OM=/OE-EM=5/5m OC=10m,CD=4m, ∴.ODOC-CD=6m, .DM=(5E-6)m<3m, .货船不能通过圆形拱桥。 为了能顺利通过圆形拱桥，船在水而部分至少需要下降的高 度为3-(5万-6)=(9-55)m y10 .当y=9-5/5时，x=100×(9-55)=900-5005, .至少需要增如(900一500√3)t的货物 24.1.3弧、弦、圆心角 1.B2.B3.C4.A5.26号7.125 8.解：(1)证明：如图①，连接CE,QA,OE CA=CE,∴CA=CE. OC=0A=OE, △CAO2△CEO(SSS),∴∠ACO=∠ECO, .CO是∠ACE的平分线，CO⊥AE 图① 图② (2)①证明：如图②，连接CO并延长交AE于点M, ,.CM⊥AE,,.AM=EM,∠AO=90 :CD⊥AB,∠AMO=∠CDO=90 ∠AOM=∠COD,OA=OC, .△OAM2△OCD(AAS), ..AM=CD,..AE=2CD. ②设⊙O的半径为R,则OA=OB=OC=R,OD=OB一BD =R-1. 由(2)①可知，△OAM2△OCD, ..OM=OD=R-1. AE=4,∴.AM=2. 在Rt△AOM中，OA2=Af十OM,即R2=2十(R-1)2, 解得R受 0M-R-1-是CM-0c+0-4 .AC=√AM+CT=25, 24.1.4圆周角 1.D2.B3.A4.705.70 6.解：(1)证明：，FA=FE, ,∠FAE=∠AEF :∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角， ∠FAE=∠BCE 又'∠AEF=∠CEB, ·∠CEB=∠BCE