第22章 二次函数(课外拓展提高)-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

21.2.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.C2.B3.B4.C5.16.57.38.2 9.解：设两根为x1和x,则x1十x=一4，x1x4=一2m,且△ 16+8m>0. 由题意，得引x?一x1=4,两边平方，得对一2红1十=16， 即(a十x2)2-4x1x=16,∴.16十8m=16,解得m=0, 此时方程为x2十4缸=0，解得x1=0,x=一4， 这两个根为x1=0,2=一4，m的值为0. 10.解：(1D)原方程化为x2十2ax十a2一3=0， .4=(2a)2-4(a2-3)=12>0, ,”,方程有两个不相等的实数根 (2)由题意，得x1十x=一24，x1x2=d2一3， “原式=一2十过=对十2红西十一红运 4 红十x1-4红型=-2a)1-4(d2-2=3 4 11,解：(1)证明：4=6-4ac=(-2)2-4×1·(-3m2)=4 十12m2. 12m2≥0， .4十12m3≥4>0， 该方程总有两个不相等的实数根 (2)由根与系数关系可知，a十B=2,明=-3m :a+2B=5..a=5-2B, .5一28什B=2,解得B=3,.a=一1， ,.一3m2=一1×3=-3，即m=土1， 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播与数字问题 1.D2.B3.844.6 5.解：(1)由题意，得x(x十1)十x十1=81，解得x1=8,x1= 一10（不合题意，舍去）.故每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后的人数为81十81×8=729. 729>700,∴.三轮传染后，患病的人数会超过700. 6.解：(1)根据题意，得之n(n一3)=14 整理，得n一3n一28=0， 解得1=7,1=一4， :≥3，n=-4不台题意，舍去， n=7,即这个多边形的边数是7 (2)A同学的说法不正确，理由如下： 当2（一3》=10，即-3n一20=0时，解得石=3注厘， ·符合方程n2-3m一20=0的正整数n不存在， ,多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确， 第2课时平均变化率与销售问题 1.C2.60%3.20 4.解：(1)设6,7两个月该市商品房成交均价的平均降价率 为x, 根据题意，得10000(1一x)2=8100, 即(1一x)2=0.81, 解得=0.1=10%，x9=1,9(不合题意，舍去). 故6,7两个月该市商品房成交均价的平均降价率是10%： (2)不会.理由：8100×(1-0.1)2=6561（元），6561> 6500. ·到9月份该市的商品房戒交均价不会跌陵每平方米 6500元. 5,解：(1)豆沙棕的单价为4元，肉棕的单价为8元. (2)①豆沙棕优惑后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为 7元. ②m=10. 第3课时几何图形问题 1.B2.B3.D4.24365.2m 6.解：Q):道路的宽度为正方形边长的一 ∴.正方形边长为4xm,4x·4x=16x2, ,正方形的而积为16x2m, (2)设道路的宽度为xm. 由题意，得x02-4+x20-)+16x2-号×20×12 整理，得x2十4x-5=0, 解得x1=1,x1=一5（舍去）. 故道路的宽度为1m. 第二十二章 二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 1.C2.B3.C4.A5.(1)m≠1且m≠-2(2)-2 6<7y=+红8y=-子+号 9.y=w2一n十1二次 10.解：(1)：△ABC是等腰直角三角形， 重登部分也是等腰直角三角形， 由题意，得AM=(20-一2)cm,则重叠部分面积y=号Af =2(20-202=2r2-40e+200(0≤≤10. (2)当t=5时，y=2×52-40×5+200=50. (3)当y=128时，2(20-2=128， 解得4=2，=18（舍去），∴1=2 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 1.D2.B3.C4.D5.(1)-3(2)-4≤m≤0 6.为<为<y 7.解，)由题意，得y=之， y=2x+3, y=1. "A在B的右边， ,交点A,B的坐标分别为(3,9)，(-1,1) (2),直线y=2x十3与y轴交于点C, .当x=0时，y-3,即C点坐标为(0,3)， .OC■3. 又A(3,9),B(-1,1), .点A,B到OC的距离分别为3,1， Sam=56m+5aw=子×3X3+号X3X1=6, AH上册参考答案 207 8.解：(1)，点A(2,4)在抛物线y=ax2上，，4=4a,解得a= 1,∴.抛物线的解析式为y=x2, (2),四边形CDFE为正方形 ∴.CD∥EF,CD=EC=EF 又：AB⊥y轴，EF⊥y轴，即EF∥x轴 设点E的横坐标为m(m>0), ∴.E(m,m),∴.EF=2m. 又AB⊥y拍，CE⊥x拍，A(2,4), ∴.C(m,4),.EC=4一m2 EC=EF,.4-m2=2m,解得m4=-1-5(舍去)，m4= -1+5,∴.CD=2m=-2+25」 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.D2.D3.D4.-25.86.0<m<27.-28.18 1a>0, 9.解：1)由题意，得 解得a■3. {a2-4=5, 1a>0, (2)分两种情况：① 无解： -a-2>0, ② a<0. 解得一2<a<0 -a-2<0, 故a的取值范围是一2<4<0. 10.解：(1)A(-2,0),B(2,0),C(0,4) (2)四边形ABCD是平行四边形，AB=4,C(0,4), ∴.CD=AB=4,CD∥AB,.D(-4,4) 设平移后的抛物线为y=一x十4十m,则4=一（一4）2十4十m, 解得m=16, ,平移后抛物线的解析式为y=一x2十20， 11.解：抛物线y=a2一3利y=一ax2+3的两点分别为C, D,C(0,-3),D0,3),∴CD=6 :Sna0-S题十Sa=之AB,0D+号AB:0C- 壹ABCD=245AB=8,A(-4,0以 将A(-4,0)代人y=ar-3,得16a-3=0,解得a=音 12.解：(1)由题意设抛物线的解析式为y=ax2十b(a≠0). 当拱顶离水面2m时，水面宽4m: C(0,2),B(2,0), 2=b, 代人y=ax2+b,得 解得 a=-言 4a+b=0, 16=2, 拱桥所在抛物线的解析式为y=-宁十2。 (2)当水位下降1m时，水位纵坐标为一1. 令y=-1, -1=-2+2 解得x=士B, ∴水面宽度为2后m 13,解：(1)：抛物线y=ax2+c与x轴交于点B(2,0),顶点为 C(0.4), 4a十=0解得 a=-1, e=4, c=4, 1444444 208 九年级数学RJ版AH ,该抛物线的解析式为y=一x2十4. (2)证明：如图，过点M作MD⊥y轴，垂足为D, Y4 △AOG与△MOG都以OG为底，S■2S: ∴.QA=2MD. 当y=0时，一x2十4=0，部得1=一2，=2， .点A的坐标为（一2,0）， .QA=2,.MD=1. 设点M的坐标为(m,一m十4) :点M在第一象限，m=1, 六一m十4=3，点M的坐标为(1,3 设直线AM的解析式为y=x十b, 厂2%+6=0， 得 =1, k1十b1=3, b=2, 直线AM的解析式为y=x十2， 设直线CN的解析式为y=k:x十6： :直线CN∥AM, .k2=k1=1,.y=x十6， 点C的坐标为(0,4)，∴b=4, ∴.直线CN的解析式为y=x十4.令x十4=一x2十4，“x2 十x=0,解得工1=0，x1=一1. :点N在第二象限，∴点N的横坐标为一1， ,y=3,.点N的坐标为(-1,3) 点M的坐标为(1,3)， ∴点N与点M关于y轴对称 第2课时二次函数y=a(x一h)?的图象和性质 1.B2.B3.B4.y=-2(x+3) 5-子<<号 6.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,抛物线y=2(x一2)2的 顶点坐标为(2,0)，即C(2,0): 设AD长为a :△ABC为等边三角形，CD⊥AB, AD=DB=a,∠ACD=30, ∴AC=AB=2a,则CD=Ea, .点B的坐标为(2+a,/5a) 将点B的坐标代人抛物线解析式，得/3a=2(2十a一2)2，解 得4-号或a=0(舍去， AD-DB- .AB-/.CD- 六△ABC的面积为子AB·CD=35 4 7.解：(1)令y=0. 得(x十2)2=0，解得x=一2， .A(-2,0). 令x=0, 得y=4,B(0,4) (2)令y=4, 得4=(x十2)°，解得x1=0,x2=一4， C(-4,4,.BC=4,OB=4,0A=2, “saa0a=合(0A+BC)·0B=号X6×4-12 (3)存在，点P的坐标为(2,0)或（一6,0）或（一2,8）. 第3课时二次函数y=a(x一h)十k的图象和性质 1.C2.B3.B4.D5.C6.y=2x+3)2+1 7.y=(x-1)2+18.1>4>9.m>3 10.0-号 (2)10 11,解：(1)-11 (2)设平移后所得抛物线对应的函数解析式为y=一x+ x+9-(x-)》广++其顶点坐标为（多十 ,顶点仍在直线y=x十1上， +=号1， g=-号++1=--1+号 -<0, .当p=1时，平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标有最 大值，最大值为三 12.解：(1)y=一(x一1)十2.25，六.当x=1时，y大= 2.25, .喷出的水流离地面的最大高度为2.25m. (2)当x=0时，y=一(0一1)2十2.25=1.25，.喷水柱OA 的高度为1.25m. (3)令y=0,即0=-(x-1)2十2.25，解得x1=-0.5(舍 去)，x1=2.5,.水袖半径至少为2.5m时，才能使喷出的 水流不落在水池外 13.解：(1D小明的说法正确.理由如下： “y=-子x-2mP+8-m ∴.顶点坐标为(2m,3一4m), “二次函数图象的顶点始终在直线y=一2x十3上运动， 小明的说法正确。 (2)证明：：点P(a一5，c),Q(4m十3十a,c)都在该二次函数 图象上， 对称轴为直线x=4一5十4m十3十@ 2 ÷4-5+4m+3+e=2m, .2a-2=0,.a=1, .P(-4,c) c=-（-4-2m+3-m=-0m++15, .c≤15. 14,解：(1)：抛物线y=a(x-h)2十k的商点B的坐标为（门， 2), y=a(x-1)+2 ,抛物线经过点A(0,1), ∴a(0-10+2=1,∴.a=-1, ·抛物线的解析式为y=一（红一1）2十2=一x2十2x十1. (2)如图，连接PA,PC 设点P的坐标为(x,一x2+2x十1). A(0,1),C1,0), .PA2=x2+(-x2+2x十1-1)2=x2+ (x2-2x)2,PC=(x-1)2十(-x2+2x +1)3. PA=PC,.PA=PC, x2+(x2-2x)2=(x-1)2+(-x2+2x+1)2 整理，得x2-x-1=0, 解得中5,15（舍去。 2 2 当x=1+5时，-2+2x+1=1+5, 2 2 点P的坐标为(5，中 22.L.4二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 第1课时二次函数y=ar2十bx+c的图象和性质 1.C2.C3.D4.A5.-26.(1)-2(2)2 7.48.-5 g.解：0)把点A3,0代人y=a-x一音中， 得a=子 (2)A(3,0),.0A=3. 四边形QABC是正方形，.OC=OA=AB=3. 当y=3时，宁x=3 即x2-2x-9=0, 解得x=1十/10，x2=1一/10<0（舍去）， .CD=1+10, BD=CD-CB=CD-0A=1+0-3=10-2. ?四边形BDEF是矩形，且BF=2BD, ∴，BF=2/10-4, ∴AF=AB+BF=OA+BF=3+2/o-4=2/10-1, ,点F的坐标为(3,2/1可一1). 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 1.C2D3y=-26x+1D+1 5,解：(1)根据题意设二次函数的解析式为y=ax一2)2-2 ?二次函数的图象经过原点， .0=a(0-2)2-2. 解得a=立 .二次函数的解析式为y=子（红一2-2 ②把y=9代人=子红-21-2 解得马1=4，x=0(舍去)， 点A的坐标为(4,0)， 44444 AH上册参考各菜 209 ∴.0A=4 ,0P=/0-2+(0+2=22, AP=/4-2+(0-2=22, .OP=AP ,OP严+AP=04, ∴·△AOP是等腰直角三角形. 6.解：(1)△ABC的面积是6， (②PM的最大值为是 22.2二次函数与一元二次方程 1.C2A3B4.m>35.n=-2,x=5 6解：1)证明：令y=0,则x2-(m十2)x十2m一1=0， ∴.△=[-(m+2》]P-42m-1)=(m-22+4≥4， △>0. ,方程总有两个不相等的实数根，即该函数图象与x轴总有两 个交点 (2)孩函数的图象与y轴交于点(0,3)， ∴.2m-1=3, .m=2, ·.二次函数的解析式为y=2-4x十3. y=x2-4z十3=(z202-1, .函数的图象开口向上，当x=2时，函数y取最小值，最小值为 -1. 当x=0时，y=3: 当x=5时，y=25-20+3=8 故当0<x<5时，y的取值范围为一1≤y<8. 7.解：(1)当a=b=1,c=一1时，抛物线为y=3x2十2x一1， :方程3x+2一1=0的两个根为看=-1，x=子 该抛物线与工轴的交点坐标是(-一1,0和（号，0。 (2)存在，，a十b十c=1, .c=1-a-a由y=1,得3ax+2a十c=1, 即3ax2+2bx十c-1=0, △=4W-12a(c-1》=4w-12a(-a-b)=4w+12ab+12a2= 6+a+a)=[（6+)'+] a≠0， “4>0, ∴.方程3ax2十2：十c=1有两个不相等的实数根， 即存在两个不同实数如，使得相应的y=1. 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 1.D2D3C4.46.4 5,解：(1)设花园平行于墙的一边长xm,面积为ym,剥垂直于墙 的一边长20子m, 3 3 .当x=60时，y有最大值，最大值是1200， 此时20。=0 44444 210 九年级数学RJ版AH 故当花國平行于墙的一边长60m时，花园面积最大，最大面积为 1200m2. (2)设种植牡丹的面积为am,则种植芍药的面积为 1200-a)m 由题意可得25×2a十15×2(1200一a)≤50000， 解得a≤700，即牡丹最多种植700m2, 700×2=1400(株. 故最多可以购买1400株牡丹 第2课时最大利润问题 1.55 2.解：1)设A类特产每件的售价为m元，则B类特产每件的售价 为132一m)元. 由题意，得3m十5(132一m0=540, 解得m=60, 132一60=72（元）. 故A类特产每件的售价为60元，B类特产每件的售价为72元 (2)由题意，得y=10x十600≤x≤10)， (3)由题意，得=(60-50-x)(10x十60)十100×(72一60)= -10x2+40x+1800=-10(x-2)2十1840. ?-10<0,当x=2时，w有最大值，最大值为1840， .每件A类特产降价2元时总利润e最大，最大利润为 1840元. 3.解：1)在3月份和6月份出售这种商品，3月份商品的单件利润 更大 (②)从3月份到8月份，8月份商品的单件利润最大，最大利润是 翠元 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1.C2.B3.54.102 5解：@x=,y-宁+12z (2①依题意，得-+12=0， 解得1=0（舍去），=24 当1=24时，z=120. 故飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 ②设发射平台相对于安全线的高度为：m,则飞机相对于安全线 的飞行高度y=一子+12叶 .125<x<130, .125<51130,∴.25126 在=-合+12+m电， 当1=25，y=0时，n=12.5: 当1=26，y=0时，n=26, 12.5<26. 故发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小 于26m. 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转及其特征 1.C2.D3.30°4.25 5.解：由旋转的性质可知，AB=AB=6,∠BAB=60第二十二章二次函数 ②22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数（建议用时：30分钟） 1.(2024一2025沧州期中)下列各式中，y是x8.如图，矩形ABCD的周长 的二次函数的是 ( 为18，其中E,F,G,H为 A.y≥3x B.y=x2+(3-x)x 矩形ABCD的各边中点. C.y=(x-1)2 D.y=ax2+bx+c 若AB-x,四边形EFGH 第8题图 2.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0 的面积为y,则y与x之间的函数关系式 <x2)的小正方形.如果设剩余部分的面积为 为 y,那么y关于x的函数解析式为 ( A.y=x2 B.y=4-x2 9.推理能力如图，5个图形都是由小圆点按照某 C.y=x2-4 D.y=4-2x 种规律排列而成的.依据上述规律，第n个图形 3.(教材变式)已知矩形的周长为36cm,矩形绕 中，小圆点的个数y关于n的解析式是 它的一条边旋转形成一个圆柱.设矩形的一条 ,它是 函数 边长为xcm,圆柱的侧面积为ycm,则y关于 … x的函数解析式为 A.y=-2na+18nx B.y=2元x2-18xx 第9题图 C.y=-2πx2+36元z D.y=2πx2-36元x 10.如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角 边长与正方形MNPQ的边长均为20cm, 4.二次函数y=（x-1)mx十(x十1)nx mn 2 AC与MN在同一直线上，开始时点A与 (m≠一n)的二次项系数与一次项系数的和 点N重合，让△ABC以2cm/s的速度沿 为号差为2，则常数项为 ( NM运动，最终点A与点M重合 (1)求重叠部分面积y(单位：cm)关于时间 A &号 c t(单位：s)的解析式，并写出t的取值范围. 5.已知函数y=(n+m-2)x2十(m-1)x+m. (2)当t-5时，求y的值. (1)当m的取值范围为 (3)当y=128时，求t的值. 时，它是二次函数 (2)当m的值为 时，它是一次 函数 6.若二次函数y=(2x一1)2十1的二次项系数为 a,一次项系数为b,常数项为c,则一4a 0(填“>”“<”或“=”). 7.某矩形的长和宽分别为3cm和2cm.当每边 长都增加xcm时，矩形的面积增加ycm2,则 y关于x的解析式为 上册课外拓展提高 101 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（建议用时：30分钟） 1.已知点(，y),(x,y2)是函数y=(m一 7.(2024一2025惠州惠城区月考)如下图，已知 3)x2的图象上的两点，且当0<x1<x2时，有 函数y=x2的图象与y=2x+3的图象的交 y>y2,则m的取值范围是 () 点为A,B(A在B的右边) A.m>3B.m≥3C.m≤3D.m<3 (1)求点A,B的坐标. 2.(2024一2025浏阳月考)已知二次函数y= (2)连接AO,BO,y-2x+3的图象与y轴交 一之，下列说法正龚的是 于点C,求△AOB的面积. A.该函数图象经过第一、三象限 B.函数图象有最高点 C.函数图象的对称轴是直线x一一 1 D.当x<0时，y随x的增大而减小 3.已知二次函数y=x2,当1≤y≤9时，自变量 x的取值范围是 A.1x≤3 B.-3x≤3 C.-3≤x≤-1或1x≤3 D.-3≤x0或0x≤3 8.如下图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在 4.二次函数y=ax2与一次函数y=ax十a在 抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交 同一平面直角坐标系中的图象可能是 抛物线于另一点B.点C,D在线段AB上， 且关于y轴对称，分别过点C,D作x轴的垂 不种木平 线交抛物线于E,F两点，连接EF (1)求抛物线的解析式。 (2)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD 5.已知y=(k十2)x+4是二次函数，且当x 的长。 <0时，y随x的增大而增大. (1)k的值是 (2)若P(m,n)是此二次函数的图象上一点， 且一2≤m≤1，则n的取值范围是 6.已知a>1,A(a-1,),B(a,z),C(a十1，) 三点都在二次函数y=一 女的图象上，则 ,为的大小关系是 (用“<”连接). 102 九年级数学RJ版 22.1.3二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 冒第1课时二次函数y=a.2十k的图象和性质（建议用时：45分钟） 1.已知点(x1,1),(x2,y2)均在抛物线y-8.(2024一2025重庆铜梁区月考)如图，正方形 、x十4上则下列说法正确的是宁 ABCD的顶点C,D在x轴上，A,B恰好在 二次函数y=x2一3的图象上，则图中阴影 A.若y1=ya,则石=x 部分的面积之和为 B.若x=一，则1=一y 9.(1)若二次函数y=ax2十a2-4有最小值5， C.若0<x1<x,则>y 求a的值 D.若1<x<0,则y1>y (2)若抛物线y=a.x2-a一2与x轴不相交， 2.函数y=ax2+b与y=ax十b(ab≠0)在同 求a的取值范围. 平面直角坐标系中的图象可能是 地名不米 3.抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=x交于 A(1,y),B(x,y2)两点.若x1十x2<0,则 直线y=ax十一定经过 ( A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 10.如下图，抛物线y=一x2十4与x轴交于 4.已知二次函数y=(a一2)x2+a2-2的图象 A,B两点，与y轴交于点C,四边形ABCD 的最高点为(0,2)，则a 为平行四边形 5.抛物线y=aa2+c与x轴交于A(-2,0),B (1)直接写出A,B,C三点的坐标. 两点，与y轴交于点C(0,一4)，则△ABC的 (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求 面积是 平移后抛物线的解析式 6.已知抛物线y=mc2十m一2的顶点在y轴的负 半轴上，且开口向上，则m的取值范围 是 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= a.x2十c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三 个顶点A,B,C,则ac的值是 第7题国 第8题图 上册课外拓展提高 103 11.如下图，抛物线y=ax2一3和y=一ax2十313.如下图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 都经过x轴上的A,B两点，两条抛物线的 ax2十c(a≠0)与x轴交于A,B两点，点B 顶点分别为C,D.当四边形ACBD的面积 的坐标为(2,0)，顶点C的坐标为(0,4)，M 为24时，求a的值. 是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线 AM与y轴交于点G. (1)求该抛物线的解析式. (2)如下图，N是抛物线上一点，且位于第二 象限，连接OM,记△AOG,△MOG的面积分 别为S,Sa.当S=2S2,且直线CN∥AM 时，求证：点N与点M关于y轴对称 12.(2024一2025惠州博罗月考)如下图所示的 是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2口时，水 面宽4，建立平面直角坐标系. (1)求拱桥所在抛物线的解析式. (2)当水面下降1m时，则水面的宽度为 多少？ 104 九年级数学RJ版 冒第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质（建议用时：30分钟） 1.(2024一2025枣阳期中)已知A(-2,y1),6.如下图，抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴 B(1,y2),C(2,y3)三点都在二次函数y= 的直线交于点A,B(点A在点B的左侧)， 一2(x一1)2的图象上，则y1,y2,y的大小关 抛物线的顶点为C,△ABC为等边三角形. 系为 ( 求△ABC的面积. A.y<y<y B.y<ys<y C.ya<y<ys D.ys<<y 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax 十c和二次函数y=a(x十c)2的图象大致为 长赤华州 3.对于二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2, 有以下说法：①它们的图象都是开口向上： ②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都 是(0,0)：③当x>0时，它们的函数值y都 7,如下图，已知二次函数y=(x十2)产的图象 是随着x的增大而增大；④它们的图象开口 与x轴交于点A,与y轴交于点B,过点B 大小是一样的.其中正确的有 ( 平行于x轴的直线交抛物线于点C. A.1个B.2个C.3个D.4个 (1)求点A,B的坐标， 4.下面是三名同学对某个二次函数的描述， (2)求四边形OACB的面积 甲：图象的形状、开口方向与y=一2x2的相 (3)是否存在点P,使以P,A,B,C为顶点的 同；乙：顶点在x轴上；丙：对称轴是直线x= 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 一3. 所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请 请你写出这个二次函数： 说明理由， 5.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分 别为(-号，2)，（号，2，连接AB.若抛物线y -x一)与线段AB有交点，则的取值 范围是 第5题图 上册课外拓展提高 105 冒第3课时二次函数y=a(x一h)产+k的图象和性质（建议用时：45分钟） 1.将抛物线y-(x-1)2十2向上平移4个单 位长度，再向左平移3个单位长度，得到的 抛物线为 ( A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4 第7题图 第10题围 C.y=(x十2)2+6D.y=(x-4)2+6 8.若二次函数y-x2一6x十c的图象经过 2.若抛物线y-(x一m)2十m十1的顶点在第 A(-1,y1),B(2,y2),C(3十√/2，y)三点，则 一象限，则m的取值范围是 A.m>1 B.m>0 y%,的大小关系是 9.把二次函数y-z2十4x十m的图象向上平移 C.m>-1 D.-1<m<0 1个单位长度，再向右平移3个单位长度.如 3.抛物线y=(x+1)2十1上有A(1,), 果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个 B(xy2)两点，且<x2<-1,则姓与 公共点，那么m应满足条件： 的大小关系是 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1= A.<y2 B.y>y2 m(x十3)2十n与y2=m(x-2)2十n十1交 C.y=yz D.不能确定 于点A.过点A作x轴的平行线，分别交两 4.已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线 条抛物线于点B,C(点B在点C左侧) y=(x-1)2一2上，点A在点B左侧，下列 (1)若点A的坐标为（一1，a),则m的值为 说法正确的是 A.若c<0,则a<c<b B.若c<0,则a<b<c (2)线段BC的长为 C.若c>0,则a<c<b 11.在平面直角坐标系中，抛物线y-a(x一1) D.若c>0,则a<b<c 十2经过点B(0,1),且该抛物线的顶点A 5.已知抛物线y=a(x一h)2十k与x轴有两 在直线y=x十m上 个交点A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(c (1)a= :m- 一h一m)2十飞与x轴的一个交点是(4,0)， (2)将抛物线y=a(x一1)2+2沿直线y=c 则m的值是 +m平移，求平移后所得抛物线与y轴交 A.5 B.-1 点的纵坐标的最大值， C.5或1 D.-5或-1 6.将抛物线y=2x2平移，使其顶点移动到点 P(一3,1)的位置，那么平移后所得新抛物线 的解析式是 7.如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移见 个单位长度后，其顶点在直线y=x上的点 A处，则平移后抛物线的解析式是 106 九年级数学RJ版 12.(教材变式)如下图所示的是某公园一喷水 (2)已知点P(a-5,c),Q(4m+3+a,c)都 池喷水时的示意图，在水池中央有一垂直 在该二次函数图象上，求证：c≤15. 于地面的喷水柱OA,喷水时，水流在各方 向沿形状相同的抛物线落下，若水流喷出 的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 之间的函数关系式为y=一(x一1)3+ 2.25. (1)求喷出的水流离地面的最大高度 (2)求喷水柱OA的高度， (3)若喷水池是一个圆形喷水池，则水池半 径至少为多少时，才能使喷出的水流不落 14.如下图，抛物线y=a(x一h)2+k经过点 在水池外？ A(0,1),且顶点B的坐标为(1,2)，对称轴 与x轴交于点C (1)求此抛物线的解析式 (2)在第一象限内的抛物线上找点P,使 △ACP是以AC为底的等腰三角形，请求 出此时点P的坐标 13.已知二次函数y=-是(x-2m)2+3-4m (m是常数) (1)小明说：“当m的值变化时，二次函数图 象的顶点始终在一条直线上运动.”你认为 他的说法对吗？请说明理由。 上册课外拓展提高 107 22.1.4二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 冒第1课时二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质（建议用时：30分钟） 1.(2024一2025厦门期中)已知二次函数y= (1)k= x2-bx十c的图象经过A(1,n),B(3,n),则 (2)若点P到对称轴的距离与点P到x轴的 b的值为 距离相等，则点P的纵坐标为 A.2 B.-2C.4 D.-4 7.(2024辽宁)如图，在平面直 2.如图，二次函数y=ax2十x一6的图象与x 角坐标系中，抛物线y=ax 轴交于A(一3,0)，B两点，下列说法正确的 十bx十3与x轴相交于点 是 A,B,点B的坐标为(3,0) A.抛物线的对称轴为直线x=1 若点C(2,3)在抛物线上，则 第7题圆 且抱物线的顶点坐标为（一司，一6） AB的长为 8.将抛物线y=ax2十bx一1向上平移3个单 C.A,B两点之间的距离为5 位长度后，经过点（一2,5），则8a一4b-11的 D.当x<一1时，y随x的增大而增大 值是 9.(2024一2025松原宁江区期中)如下图，抛物 线y=ax2-x- 与x销正半轴交于点 A(3,0),以OA为边，在x轴上方作正方形 第2随图 第3遁图 3.一次函数y=ax十b的图象如图所示，则二 OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD 次函数y=ax2十bx的图象可能是 为边向上作矩形BDEF,使BF=2BD.求： (1)a的值. 来集大 (2)点F的坐标. 4.已知点M(0,),N(2,2)在抛物线y一m -2x十n(m≠0)上.当x1十x2>4且x<x 时，都有边<，则m的取值范围为() A.0<m≤2 B.-2≤m<0 C.m>2 D.m<-2 5.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)图象上部分 点的坐标(x,y)对应值列表如下： -3 -2 -1 0 1 4 一3 -4 -7 -12 该图象的对称轴是直线x一 6.已知抛物线y=x2十.x一1经过(-2，n)和 (4,)两点，P为x轴上方抛物线上一点， 108 九年级数学RJ版 冒第2课时用待定系数法求二次函数的解析式（建议用时：30分钟） 1.已知一条抛物线经过A(0,10),B(m十2，n), C(4-m,n),D(3,1)四点，则抛物线的解析 式为 ( A.y=x2+6x+10B.y=x2+3x+10 C.y-x2-6x+10D.y=x2-3x+10 2.(2024陕西)已知一个二次函数y=ax2十bx 十c的自变量x与函数y的几组对应值如 下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 6.如下图，抛物线y=x2十bx十c与 A.图象的开口向上 x轴交于A,B两点，与y轴交于 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 点C,点A的坐标为(-1,0)，点 C.图象经过第二、三、四象限 B的坐标为(3,0). D.图象的对称轴是直线x=1 (1)求△ABC的面积 3把二次函数y一女-2一2的图象在平面 (2)若P是第四象限内抛物线上任意一点， PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,求线段 直角坐标系内绕其顶点旋转180°，再向左 PM的最大值， 平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 后，所得图象对应的函数解析式为 4.如图，抛物线y=ax2十bx十4经 过点A(-3,0),与y轴交于点C. 点B在抛物线上，CB∥x轴，且 AB平分∠CAO,则此地物线的第4题国 解析式为 5.(2024一2025上海普陀区期中)已知二次函 数的图象经过原点，顶点坐标为P(2,一2) (1)求二次函数的解析式. (2)如果二次函数的图象与x轴交于点A (不与原点重合)，连接OP,AP,试判断 △AOP的形状，并说明理由. 上册课外拓展提高 109 月22.2二次函数与一元二次方程 (建议用时：30分钟) 1.若一元二次方程2一mx十n-0无实数根，则 (2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3)，求 抛物线y=一x2十mx-n的图象位于( 当0<x<5时，y的取值范围. A.第一、二、三象限B.x轴上方 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 2.(2024泸州)已知二次函数y=ax2十(2a 3)x十a一1(x是自变量)的图象经过第一、 二、四象限，则实数a的取值范围为() A.IKa<g RD<a<号 c0<a<号 D.1Ka<号 3.(2024泰安)如图所示的是 二次函数y=ax2十bx十c(a 7.(2024一2025浏阳月考)已知抛物线y= ≠0)的部分图象，该函数图 3ax2+2bx十c. 象的对称轴是直线x=1,图 (1)若a=b=1,c=一1，求该抛物线与x轴 象与y轴交点的纵坐标是 第3题图 的交点坐标 2,则下列结论：①2a十b=0;②方程ax2十bx (2)若a十b十c=1,是否存在实数x,使得相 十c=0一定有一个根在一2和一1之间： 应的y=1？若存在，请指明有几个并证明你 ③方程ad2十bx+c一是=0一定有两个不相 的结论；若不存在，请说明理由。 等的实数根；④b一a<2.其中正确的有 ( A.1个B.2个C.3个 D.4个 4.把二次函数y=x2十4x十m的图象向上平移1 个单位长度，再向右平移3个单位长度.如果平 移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共 点，那么m应满足的条件为 5.抛物线y=ax2十bx十c经过A(-3,0),B(4, 0)两点，则关于x的一元二次方程a(x一1)2 十c=b一6x的解是 6.已知二次函数y=x2一(m十2)x十2m-1. (1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴 总有两个交点. 110 九年级数学RJ版