24.1.2 垂直于弦的直径-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

24.1.2 垂 巴知识要点扫描 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是圆的对称轴.将一个圆沿它的任意一条 直径对折，直径两旁的部分能够完全重合 2.垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条孤 经典例题剖析 【例】古代数学文化“圆 材埋壁”是我国古代数学名著 《九章算术》中的一个问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大 小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几 何.”转化为现在的数学语言：如上图，CD为 ⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1 寸，AB=10寸，则直径CD的长度为 寸(1尺=10寸). 【点拨】如右图，连接OA, .'AB⊥CD,AB=10,.AE= BE=5.设⊙O的半径为x,则 OC=OA=x,OE=x-1.在 Rt△AOE中，根据勾股定逻，得x2一(x一1)= 52,解得x=13,.2x=26,即直径CD的长度 为26寸. 【解】26 已基础对点训练 知识点① 垂径定理 1.如图，若⊙O的弦AB垂直平分半径OC,则 四边形OACB是 ( A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 456 九年级数学RJ版 直于弦的直径 第1题图 第2题围 2.(2024长沙)如图，在⊙0中，弦AB的长为 8,圆心O到AB的距离OE=4,则⊙O的半 径长为 ( A.4 B.4√2 C.5 D.5/2 变式题求半径→求圆心到弦的距离 如图，⊙O的半径为13，弦AB 的长是24，ON⊥AB,垂足为 N,则ON的长为 ( A.5 B.7 支式题图 C.9 D.11 3.(教材变式)如图，⊙O的直径CD=20,AB是 ⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为M,OM：OC=3: 5,则AB的长为 () A.8 B.12 C.16 D.2√9I 第3题图 第4题园 4.如图，A,B,C是⊙O上的点，OC⊥AB,垂足 为D,且D为OC的中点.若OA-7,则BC 的长为 5.如下图，AB是⊙O的直径，P是AB上一 点，且P是弦CD的中点， (1)依题意作出弦CD,并说明作图的依据 (不写作法，保留作图痕迹). (2)若AP=2,CD=8,求⊙O的半径. 知识点②垂径定理的推论 6.(教材变式)如图，在⊙O中，D,E分别是弦 AB,AC的中点，且AB⊥AC.若AB= 16cm,AC=12cm,则⊙O的半径OA的长 为 ( ) A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm 42 D 第6题图 第7题园 7.如图，AB是⊙O的直径，∠A=42°，D是弦AC 的中点，则∠DOC的度数为 知识点③垂径定理及其推论的应用 8.(2024通辽)如图，圆形拱门最 下端AB在地面上，D为AB 的中点，C为拱门最高点，线段 0 CD经过拱门所在圆的圆心 A D B 若AB=1m,CD=2.5m,则拱 第8题图 门所在圆的半径为 ( A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m 9.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地 方特色美食之一，图②中的实线部分是从正 面看到的一个“老碗”（如图①）的形状示意 图，AB是⊙O的一部分，过圆心O作OD⊥ AB于点C,交AB于点D,连接OA,OB.已知 AB=24cm,碗深CD=8cm,则⊙O的半径 OA为 正面图① 图② 第9题图 A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 10.几何直观如图，秋千链子 的长OA为2.5m.秋千向 两边摆动的角度相同，摆动 的水平距离AB为3m,则 秋千摆至最高位置与其摆 第10题图 至最低位置时的高度差(CD的长)为 m. 11.已知吃刀深度为2mm时，能在直径是 dmm的轴上铣出宽为40mm的一块平面 (如下图). (1)求d的值. (2)若吃刀深度增加到4mm,求轴上铣出 平面的宽度 +40mm 上阳第二十四章null