23.1 图形的旋转&解题模型专练 旋转中常见的几何模型-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 第1课时旋转及其特征 知识要点扫描 ∴GF∥CD,GF=2DC=3, 1.旋转的概念 ∴∠AGF=∠ECD=90 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个 .AE-AC-EC-2,..AG-AE+EG-4. 方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋 根据勾股定理，得AF=√AG+GF 转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋 √/+3=5. 转角，旋转不改变图形的大小和形状。 2.旋转的性质 已基础对点训练 旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等 知识点① 旋转的概念 旋转前、后的图形全等，对应点与旋转中 1.(教材变式)如图，该图形绕点O按下列角度 心所连线段的夹角等于旋转角， 旋转后，不能与其自身重合的是 ( 经典例题剖析 【例】如右图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6,BC 第1類图 4.将△ABC绕直角顶点C顺 A.72 B.108° C.144°D.216 时针旋转90得到△DEC.若F 知识点② 利用旋转的性质求线段长度 是DE的中点，连接AF,求AF的长， 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°， 【点拨】取EC的中点G,连接PFG.利用旋 AC=1cm,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得 转的性质可得EC,DC的长和∠ACD的大小， 到Rt△ABC',使点C落在AB边上，连接BB. 再证明GF是△ECD的中位线，进而求出GE BB的长度是 cm. 和AG的长，最后根据勾股定理即可求出AF 的长 【解】如图，取EC的中 点G,连接FG. 根据旋转的性质，得 第2题图 变式题图 EC=BC=4,DC=AC=6, 变式题旋转构造等边三角形·构造等腰 ∠ACD=∠ACB=90. 直角三角形 ,F是DE的中点，G是EC的中点， 如图，在△AOB中，AO=1.将△AOB绕点 ∴GF是△ECD的中位线，EG-号EC O逆时针旋转90°，得到△A'OB',连接 AA'.线段AA'的长为 =2, 4 九年级数学RJ版 3.如右图，在△ABC中，∠ACBE 7.如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点B =90°，AC=BC=22.D为 顺时针旋转36°得到线段BE,连接AE,则 AB边上一点，且AD:BD= ∠DAE的度数为 1:3.连接CD,将CD绕点C顺时针旋转 90得到线段CE,连接EB.求线段EB的长， 第7题国 第8题园 8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C,使点A'落在BC的延长线上.已知 ∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB的度数为 9.(2024一2025枣阳期中)如右 图，D是等边三角形ABC内 一点，将线段AD绕点A顺 时针旋转60°，得到线段AE, 知识点③ 利用旋转的性质求角度 连接CD,BE,DE 4.(2024一2025长沙月考)如 (1)求证：△AEB≌△ADC 图，将△ABC绕点A逆时 (2)若∠ADC=96°，求∠BED的度数. 针旋转110°，得到△ADE. 第4延图 若点D落在线段BC的延长线上，则∠B的 大小为 ( A.30° B.35 C.40° D.45° 5.如图，P是等边三角形ABC内一点，连接 BP,CP.若将△PBC绕点B旋转得到 △PBA,则∠PBP的度数是 ( ) A.45 B.90 C.60 D.120° 第5题图 第6题周 6.如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC绕 点A逆时针旋转a(0°<a<55),得到 △ADE,DE交AC于点F.当a=40°时，点 D恰好落在BC上，此时∠AFE等于() A.80°B.85C.90°D.95 上册第二十三罩 45△ 第2课时 旋转作图 心知识要点扫描 1.旋转作图的题型 (1)已知原图、旋转中心和一组对应点，求 作旋转后的图形； (2)已知原图、旋转中心和一组对应线段， 图① 图② 求作旋转后的图形； 知识点② 旋转在平面直角坐标系中的应用 (3)已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋 4.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点 转后的图形 上，其中点A的坐标是（一1,0）.现将△ABC 2.旋转作图的步骤 绕A点逆时针旋转90°，则旋转后点C的坐 (1)分析题目要求，找出旋转中心、旋转角： 标是 () (2)分析所作图形，找出构成图形的关键点： (3)沿一定的方向，按一定的角度，旋转各 个关键点； (4)连接所作的各个关键点，并标上相应 字母： 第4题图 A.(2,-3) (5)写出结论 B.(-2,3) C.(-2,2) D.(-3,2) 已基础对点训练 5.(教材变式)将含有30°角的 y 知识点①旋转作图 直角三角板OAB按如右图 1.(教材变式)如图所示的图案可以看作是由 所示的方式放置，在平面直 一个等腰直角三角形旋转若干次形成的，则 角坐标系中，OB在x轴上. 每次旋转的度数是 若OA=2,求将三角板绕原 A.90 B.60 点O顺时针旋转75°后，点A的对应点A'的 C.45 D.30 坐标 第1题周 第2题阁 2.如图，在6×4的网格纸中，格点（网格线的交 点)三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则 其旋转中心是图中的 点 3.根据要求画出旋转后的三角形 (1)如图①，画出将△ABC绕点O逆时针旋 转90°后的△ABC1. (2)如图②，画出将△ABC绕点O旋转180 后的△A2B2C 46 九年级数学J版 解题模型专练 旋转中常见的几何模型 题型①“手拉手”模型 (2)如图③，在等腰直角三角形ABD中， 1.(教材变式)如下图，△ABD,△AEC都是等 ∠BAD=90°，AB=AD,点E,F在边BD 腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90° 上，且∠EAF=45°.请写出EF,BE,DF之 (1)BE与DC有什么数量关系？请用旋转 间的关系，并说明理由. 的性质说明上述关系成立的理由 (2)试判斯∠AOD与∠AOE的大小关系，并 说明理由。 ① ② 题型③“对角互补”模型 3.如图，等边三角形ABC的边 长为4，点O是△ABC的重 心，∠FOG=120°，绕点O旋 题型②“半角”模型 转∠FOG,分别交线段AB 2.如图①，四边形ABCD是正方形，E,F分别 BC于D,E两点，连接DE 第3题图 在边BC和CD上，且∠EAF=45°，我们把 给出下列四个结论：①OD-OE;②S△oDE= 这种模型称为“半角”模型，在解决“半角”模 S△BDE:③四边形ODBE的面积始终等于 型问题时，旋转是一种常用的方法.如图②， 4V3 小明为了探究线段EF,BE,DF之间的关 ，④△BDE周长的最小值为6.其中正确 系，将△ADF绕点A顺时针旋转了90 的个数是 (1)请直接写出线段EF,BE,DF之间的数 A.1 B.2 量关系。 C.3 D.4 上册第二十三罩 47△章末对点导练 1.B2.A3.(1,0) 4.解：(1)，点P(2,一3)在二次函数y=ax2十6x-3(a>0)的 图象上： .4a十2b-3■-3， b=-2a, .抛物线解析式为y=a:x2-2ax-3, 一2=1 “抛物线的对称轴为直线工一 .m=1. (2)由(1)可知，m=1, .Q1,-4), :点Q(1,一4)在y=4x2一2ax一3的图象上， .a-2a-3=-4. 解得a=1, 抛物线解析式为y=x2-2x一3=(x一1)2-4， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次 函数的解析式为y=(x一1)2一4十5=(x一1)2十1. 0≤x≤4， 当x=1时，y有最小值，最小值为1： 当x=4时，y有最大值，最大值为(4-1)2+1=10， ,新的二次函数的最大值与最小值的和为10十1=11. 5.B6.B 7.>-?且k≠0变式题1A变式题21 变式题3K一 9 8.3 9.解：(1)根据题意可知她物线过原点，可设抛物线的解析式为 y=ax2十bz(a≠0).由题中表格得抛物线的顶点坐标为(15， b 2a =15, =一2 9),则 解得 -b =9, 、4a 则抛物钱的解折式为y一一实+号x 2由题意知当x=5时，y一云×5+号×5=5. 故水火箭距离地面的竖直高度为5m 10.B11.A12.>813.-是 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转及其特征 1.B2.2变式题厄 3.解：如图，连接AE, :∠ACB=90°，AC=BC=2E, ∴.∠BAC=∠ABC=45,AB=4. 又AD#BD=1:3, .BD=3. 由旋转的性质可知，CE=CD,∠DCE=90°， ∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD, ∴，△CAE2△CBD(SAS), .AE=BD=3,∠CAE=∠CBD=45', .∠BAE=,∠BAC+∠CAE=90 在Rt△BAE中，EB=/AE十AB=/3十4=5. 4.B5.C6.B7.188.46° 9.解：(1)证明：：△ABC是等边三角形， ∠BAC=60,AB=AC 线段AD绕点A顺时针旋转60'，得到线段AE, ∠DAE=60°，AE=AD, ∴，∠BAD+∠EAB=∠BAD十∠DAC, ∴.∠EAB=∠DAC 在△EAB和△DAC中 (AB-AC, ∠EAB=∠DAC LAE=AD. ∴.△AEB2△ADC(SAS) (2)∠DAE=60°，AE=AD, ·△EAD为等边三角形， ,∠AED=60 △AEB2△ADC, ,∠AEB=∠ADC=96°， .,∠BED=,∠AEB-∠AED=96-60°”=36 第2课时旋转作图 1.C2.N 3.解：1)如图①，△A1B,C1即为所求 (2)如图②，△AB2C2即为所求. 图① 图② 4.B 5.解：如图，△OAB'即为旋转后的图形，过点A'作AM⊥x轴 于点M,则∠A'MO=90. 由旋转的性质，得OA=OA=2,∠AOA'=75,则.∠A'OM= ∠A0A-∠A0B=75-30°=45°， ..MA'=OM. 设MA'=OM=x 根据勾股定理，得OM+MA=OA:, 即x2+x2=2, 解得x=√2（负值已舍去）， 点A在第四象限， 点A的坐标为厄，一厄). AH上册参考名菜 197 解题模型专练旋转中常见的几何模型 1.解：(1)BE=DC.理由如下： :△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴，AB=AD,AE=AC :∠BAD=∠CAE=90 .∠BAD+∠BAC=,∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, ∴：.将△DAC绕点A逆时针旋转90能与△BAE完全重合， .BE=DC. (2)∠AOD■∠AOE,理由如下： 如图，过点A作AM⊥DC于点M,AN ⊥BE于点N ,△ABE2△ADC, .S△E=SaAc+ ∴DC,AM=BE,AN 又，DC=BE,∴AM=AN AML DC,AN⊥BE. ∴点A在∠DOE的平分线上，即OA平分∠DOE, ∴∠AOD=∠AOE. 2.解：(1)EF=BE+DF (2)EF■BE+DF,理由如下： 把△AFD绕点A顺时针旋转90得到 △AEB,连接EE,如图， BE=FD,AE=AF,∠D=∠ABE ∠FAD=∠EAB. AB=AD, .∠ABD=∠ADB=45°， ∠ABD+∠ABE=9O, 即∠EBD=90°， .EB+BE=EE, 即EE=BE十DF, 又∠FAE=45, .∠BAE+∠FAD=45”, ∴∠EAB+∠BAE=45', 即∠EAE=45, ∠EAE=,∠FAE 又，AE=AE,AE=AF .△AEE2△AEF(SAS》, ∴.EE=FE,.EF=BE十DF 3.C 23.2中心对称 23.2.1中心对称 1.A2.C3.A4.D变式题65.(1，-4) 6.解：(1)：四边形APCD是矩形，且点A,C的坐标分别为 (-8,0),(-2,4), ∴点D的坐标为（一8,4）. :矩形ABCD向右平移4个单位，再向上平移2个单位后， 得到矩形EFGH, ∴点D的对应点H的坐标为(-4,6)， (2)P(-3,3). 41414 198 九年级数学RJ版AH 23.2.2中心对称图形 1.D2.AB∥CD(答案不准一)3.D 4.2cm24cm25.D6.D 23,2.3关于原点对称的点的坐标 1.D2.B3.(4,-1)4.D5.-36.0或-2 7.解：(1)：点A(-1,3a-1)与点B(2b+1,-2)关于x轴 对称， .20+1=-1,3a-1=2, 解得a=1,b=一1. .A(-1,2),B(-1,-2),C(3,-1) :点C与点D关于原点对称， .D(-3,1) (2)如图，四边形ADBC的面积为子×4×2+是×4×4 =12. 8.解：(1)如图，△A1BC1即为所作 (2)如图，△ABC即为所作，点B2的坐标为(1,5) 23.3课题学习图案设计 1.B2.C3.②③④4.C 5.解：(1)如图①②所示（答案不唯一）. (2)如图③所示。 图① 图② ③ 6.解：(1)如图①，△DEC即为所求（答案不唯一） (2)如图②，△ADC即为所求（答案不唯一）. (3)如图②，△DEC即为所求 图2四