22.1.4 第1课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

22.1.4二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质 知识要点扫描 已经典例题剖析 L,二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 【例】已知一个二次函数图象经过点P(一3， 函数 y=ar2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0) y),P(-1,3%),P3(1,%),P(3,y),其中<为 a的值 a>0 a<0 =y,则4,2,3中，最值情况是 () A.y最小，y最大 B.y最小，M最大 图象 C.2最小，y3最大 D.无法判断 【点拨】，P(1,y),P,(3,y4),且=y 开口 向上 向下 方向 ,该二次西数图象的对称轴为直线x=2. 直线一治 P2 (-1,y2),P:(1,ys),y<y3 对称轴 在对称轴左侧，即当x<2时，y随x的 顶点 增大而增大 坐标 P(-3,y1),P2(-1,y2),P(1,)中， -3<-1<1<2,.1<y2<y 当x< 会时y随 当x<一 时，y随 2a 【答案】A 工的增大而减小： 的增大而增大： 增减性 基础对点训练 当x>- 时，y随 b >一忌时藏 知识点① 用配方法将y=ax2十bx十c化为 工的增大而增大 的增大而减小 顶点式 1.将y=2x2-8x一1化成y=a(x十m)2十n的 当x= 2a时，y有 最值 当x=一 时以有最 形式为 () 最小值， y表本德 情况 大值，yka=如c一位 A.y=2(x-2)2+7B.y=2(x-4)2-1 4ac-b2 4a Aa C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x-4)2-7 2.二次函数y=(x-2)(x-4)十6的顶点坐标 2.抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的顶点坐 是 () 标和对称轴的求法 A.(2,6) B.(4,6) (1)配方法：y=ax2+bx十c=a(x+5)月 2a C.(3,-5) D.(3,5) 十4如c一，即得到二次函数的顶点式. 知识点②抛物线的平移 4a 3.将抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)向下平移2 (2)公式法：对称轴是直线x=一 质点 个单位长度，以下说法错误的是 () A.开口方向不变 坐标是(-品。 B.对称轴不变 (3)图象法：画出抛物线，根据图象确定对 C.y随x的变化情况不变 称轴及顶点坐标 D.与y轴的交点不变 上册第二十二章 2 4.将函数v=x2十bx十c的图象向右平移2个 8.(2024一2025上饶广信区月考)抛物线y 单位长度，再向下平移3个单位长度，所得 一2x2十4x一1的对称轴是直线 图象的函数解析式为y=x2-2x一3，则b,c 的值分别为 9.如下图，抛物线y=-x2十2x十3与x轴交 知识点③二次函数y=ax2+bx十c的图象 于点A,C(点A在点C的右边)，抛物线的顶 和性质 点为M.求△ACM的面积. 5.二次函数y=ax2十bx的图象如图所示，则 一次函数y=x十b的图象一定不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第5题国 变式题根据图象判断字母系数→根据字 母系数判断二次函数的图象 已知二次函数y=ax2十bx-c(a≠0)，其中 b>0,c>0,则该函数的图象可能为( 10.(2024一2025上海普陀区期中)已知点(3， -1)在二次函数y=-x2十bx十b的图 象上 (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. (2)将二次函数的图象先向左平移4个单 位，再向上平移t个单位后，图象经过点(1， -5),求t的值. 6.对于二次函数y=-x2+6x一5的图象，下 列说法不正确的是 A.开口向下 B.当x<3时，y随x的增大而增大 C.对称轴是直线x=一3 D.与y轴的交点是(0，一5) 7.若A(-6,y1),B(-3,y2),C(1,y)为二次 函数y=x2十4x十m的图象上的三点，则 y1,y,y的大小关系是 () A.y<y<y B.ya<y<y C.y为<y<yz D.y<y<y 28 九年级数学J版不同点y=子2十1的图象开口向上，原点坐标是(0,1)，y =一子-1的图象开口向下，顶点坐标是0，-。 (2)示例： 相同点：图象开口大小相同， 不同点：对于y=子父十1，当x<0时，y随x的增大而减 小，当x>0时，y随x的增大而增大： 对于y=一子x-1,当x<0时y随x的增大而增大，当z >0时，y随x的增大而减小， 第2课时二次函数y=a(x一h)'的图象和性质 1.C2.D3.y=-2(x-3)24.A5.D6.D7.C 8.增大9.4 10.-32 11.%>为>y变式题一2<h<-1 12.解：(1)由题意知，顶点A的坐标是（一1,0）， .0A=1. .OA=OB .0B=1, .B(0,-1). 把B(0,-1)代入y=a(x十1)2，得-1=a(0十1)， 解得a=一1， .抛物线对应的函数解析式为y=一(x十1) (2)把点C(-3,)代人y=-(x+1)2, 得6=一（一3十1）2，解得6=一4. (3),抛物线y=一(x十1)2的对称拍是直线x=一1，开口 向下， ,当x>一1时，y随x的增大而减小， :点D(2,为)，E(3,2)在此地物线上，一12<3， .1>% 第3课时二次函数y=a(x一h)?十k的 图象和性质 1.B变式题A2.A3.B4.C5.D6.为>>为 7x变式题m18m>号 9.解：(1)：y=4-(6-x)2■-(x-6)十4， C的对称拍为直线x=6,y的最大值是4。 把x=a,y=3代人y=4一(6一x)2, 得3=4-(6-a)2,解得a1=5a2=7. 又a>6, a=7. (2)y=一x2十6x-9=一(x一3)2， ,.抛物线y=一x2+6x-9的顶点为N(3,0) 如图，过C的顶点M(6,4)作MA⊥x轴于点A,莲接MN, PP',则MA=4,NA=3. 由平移可知，PP=MN, 1444444 194 九年级数学RJ版AH ∴点P移动的最短路程是PP'=MN=NA+MA= /3+4=5. 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质 第I课时二次函数y=ax2+bxr十c的 图象和性质 1.C2.D3.D4.2,05.D变式题C6.C7.D 8.x=1 9.解：如园，连接AM,MC ,抛物线的解析式为y=一x2十2x十3 =-(x-1)2十4， 抛物线顶点M的坐标为(1,4)， 在y=-x2+2x十3中，当y=-x2十2x+ 3=0时，解得x=-1或x=3, A(3,0),C(-1,0), .AC=4, 56a=ACw=子X4X4=8 10.解：(1)：点(3，-1)在二次函数y=-x2十x十b的图 象上： .把x=3,y=-1代人y=一x2十bx+b,得-1=一9+30 十6，解得6=2， “二次函数的解析式为y=一x2+2x十2， .对称轴为直线x=1,顶点坐标为1,3) (2)二次函数的解析式可化为y=一(x一1)2+3. 将二次函数的图象先向左平移4个单位，再向上平移：个单 位，平移后新二次函数的解析式为y=一(x十3)2十3十 平移后图象经过点(1，一5)， .把x=1,y=-5代人y=-(x+3)+3+,得-5=-16 十3+t, 解得t=8, 第2课时用待定系数法求二次函数的 解析式 1.D2C 3.解：(1)把(1，一2)和(0，-5)分别代人二次函数解析式，得 1+6+=一2，解得6-2 c=-5, lc=-5, .二次函数的解析式为y=x2+2x一5. y=x2+2x-5=(x+1)2-6, ,函数图象的顶点坐标为（一1，一6）. (2)-3≤x≤1. 4.B5.y=x-2)2-3 6.解：(1)设函数解析式为y=a(x+1)2+4. 把B(2,-5)代人，得一5=9a十4， 解得a=-1, .y=-(x十1)2十4. (2)6 7.D8.y=2x2-12x+109.y=2x2+2x-4 10.解：(1)抛物线的解析式为y=(x一1)(x+3)=x十2x一3. (2)令x=0,则y=一3， .C0,-3), S△=S△C,