22.1.3 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

22.1.3二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识要点扫描 L.二次函数y=ax2十k的图象 张米米六 二次函数y=ax2十k的图象是一条抛物线， 它的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k).当a>0 【点拨】由题意可知，当a>0时，二次函数 时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下， y=a(x2十2)的图象开口向上，与y轴交于点 2.二次函数y=ax2十k的性质 (0,2a),点(0,2a)在y轴的正半轴上，一次函 (1)当a>0时，其图象大致如图①所示. 数y=a(x十2)的图象经过第一、二、三象限：当 当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减 a<0时，二次函数y=a(x2十2)的图象开口向 小：当x>0时，函数值y随自变量x的增大而 下，与y轴交于点(0,2a),点(0,2a)在y轴的 增大：当x=0时，函数值y取得最小值，最小 负半轴上，一次函数y=a(x十2)的图象经过第 值为飞 二、三、四象限 (2)当a<0时，其图象大致如图②所示. 【答案】C 当x<0时，函数值y随自变量x的增大而增 【例2】对于二次函数y=(m十3)xm+m8 大：当x>0时，函数值y随自变量x的增大而 十3，当x0时，y随x的增大而增大，则m 减小：当x=0时，函数值y取得最大值，最大 值为 【点拨】'，函数y=(m十3)x+5m2十3为 二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大， ,.2+5m-12=2,且m十3<0，解得m= -7. 图① 图② 【解】-7 3.二次函数y=ax2十k与y=ax2的图象 基础对点训练 之间的关系 抛物线y=ax2十k与y=a2之间的 二次函数y=ax2十k的图象可以看作是 知识点① 平移 由兰次函数y=ax的图象沿着y轴上、下平移 1.(2024一2025韶关月考)将抛物线y=3x2向 得列的.当>0时，将二次函数y=ax2的图 上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析 象向上平移k个单位长度，就得到二次函数y 式为 () =ax2十k的图象；当k<0时，将二次函数y= A.y=3(x+5)2 B.y=3(x-5) ax2的图象向下平移k个单位长度，就得到二 C.y=3x2+5 D.y=3x2-5 次函数y=ax2十的图象.简记为上加下减 2.将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位 经典例题剖析 长度后，所得新抛物线经过点(1，一4)，则b 【例1】已知函数y=a(x十2)(a≠0)和y 的值为 ) a(x2十2)(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系 A.4 B.-4 中的图象大致是 C.6 D.-6 上册第二十二章 3.将抛物线y=一2x2向上平移1个单位长8.若二次函数y=(a十3)x2一5的图象不经过 度，所得抛物线的顶点为(a,b),则(a十b)20 第一象限，则a的取值范围是 知识点②二次函数y=ax2十k的图象和性质 9.二次函数y=一2x2十1的图象上有两点A(知， 4.(2024一2025松原宁江区期中)抛物线y= 1),B(,2),且≠，为=y.当x=0十 一2x2十5的顶点坐标是 ( 时，对应的函数值y= A.(0,-2) B.(0,5) 10.(教材变式)在同一平面直角坐标系中画出二 C.(-2,5) D.(5,0) 次函数y=号+1与二次函数y=一月-1 5.对于二次函数y=一x2+3,下列说法不正确 的图象 的是 ( ) (1)从两个函数图象的形状、开口方向、对 A.图象的开口向下 称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的 B.当x<0时，y随x的增大而减小 相同点与不同点 C.图象是轴对称图形 (2)从其他方面说出这两个函数的相同点 D.当x=0时，y有最大值3 与不同点 6.已知二次函数y=ax2+b的大致图 象如图所示，则y=bx2十a的大致图 象为 第6题围 7.已知点(-4，)，(-1，)，（传，）都在函 数y=一x2+5的图象上，则M,y2,y的大 小关系为 A.为>y2>y为 B.y为>y2>y为 C.ya>ys>y D.ya>y>ys 变式题比较函数值的大小→比较自变 量的大小 抛物线y=x2十3上有两点A(,h), B(x2,y).若y1<y2,则下列结论正确的是 A.0≤xm1<x2 B.x2<x1≤0 C.x<x1≤0或0x1<x D.以上都不对 九年级数学R刷版6.解：(1)每瓶售价定为50元 (2)洗发水至少需打九六折 第3课时几何图形问题 1.C2.C3.D变式题24.D5./T6.67.6 8.解：设原正方形空地的边长为xm 根据题意，得x2一4x一5x十4×5=240. 整理，得￥2-9x-220=0, 解得x1=一11（不合题意，舍去），x:=20. 故原正方形空地的边长为20m. ◆一题多解法 解：设原正方形空地的边长为xm,测利余部分是长为 (x一4)m,宽为(x-5)m的长方形， 根据题意，得(x一4)(x一5)=240 整理，得x2-9x-220=0, 解得x1=一11（不合题意，舍去），x1=20. 故原正方形空地的边长为20m 9.解：设小正方形的边长为xm,则大正方形的边长为(x十 1)m.根据题意，得(x十x+1)(x十1)=15. 整理，得22十3x-14=0,解得石=2,6=一子（合去）.故 裁剪后剩下的阴影部分的面积为15一2×2一3×3=2(m). 10.解：(1)设垂直于墙的AB边长为xm. 根据题意，得BC=(24一2x)m, .(24-2z)x=70, 解得x1=5,x=7 当x=5时，BC=14>13,不符合题意： 当x=7时，BC=10<18, 故BC的长为10m. (2)不能围成这样的花面，理由如下： 设垂直于墙的AB边长为ym 根据题意，得BC=(243y)m, .(24-3y)y=78,即y2-8y+26=0,其△=82-4×1×26 =-40<0, 方程无实数根 故不能围成这样的花面 章末对点导练 1.D2.23.B4.B5.x1=2,x=-36.C 7.D变式题有两个不相等的实数根8.D 9.解：(1)根据题意，得m≠0，且△=[一(2m一3)]子 4mm-10≥0，解得m≤号且m≠0， (2):m为正整数， .m=1, .原方程变形为x2十x=0,解得x1=0,x:=一1. 10.2 11,解：(1)由题意，得△=[一2(m十1)]3一4(m3十5)≥0， 解得m≥2. (2)存在， 由一元二次方程的根与系数的关系，得十x=2(m十1)， z1x:=m2十5. (x1-1)(x1-1)=x12-(x十x2)十1=m2十5-2(m十1) 十1=m十2. 整理，得m2-3m十2=0， 解得m1=2,=1. 由(1)可知，m≥2， ,m=2. 12.(1)6(2)6+4/2 13.解：(1)20+2x40-x (2)由题意，得(20十2x)(40一x)=1050. 整理，得x2-30x十125=0， 解得x1=5(不符合题意，舍去)，x4=25. 故当村衫的单价降25元时，离场销售这批村衫每天可盈利 1050元，且对消费者更有利. (3)由题意，得(20十2x)(40-x)=1500. 整理，得x2一30z十350=0. 4=62-4ac=(-30)2-4×1×350=-500<0, ,此方君没有实数根， 故不能通过降价使商场销售这批村衫每天盈利1500元， 14.A15B16.号17.6 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 1.D2.C3.±2变式题-24.C5.D 6.w=(x-30)(-2x十80)7.y=20x2+60x+60 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 1.B2.D3.D4y>为变式题A5.m<-1 6.解：(1)点（一2，一3）在二次函数y=4x2的图象上， -3=(-20a,解得a=-是 (2):二次函数y=一子士的图象开口向下， 二次函数对称轴为y轴，离对称轴越远函数值越小 “点（二），0%(-号）都在孩函数图象上，0 <号乳 ,为<为<y红 22.1.3 二次函数y=a(x一h)?十k的 图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.C2.C3.14.B5.B6.A7.C变式题D 8.a<-39.1 10.解：如图. 41 5+32-1012345主 (1)相同点：形状都是抛物线，对称轴都是y轴 AH上册参考各架 193 不同点y=子2十1的图象开口向上，原点坐标是(0,1)，y =一子-1的图象开口向下，顶点坐标是0，-。 (2)示例： 相同点：图象开口大小相同， 不同点：对于y=子父十1，当x<0时，y随x的增大而减 小，当x>0时，y随x的增大而增大： 对于y=一子x-1,当x<0时y随x的增大而增大，当z >0时，y随x的增大而减小， 第2课时二次函数y=a(x一h)'的图象和性质 1.C2.D3.y=-2(x-3)24.A5.D6.D7.C 8.增大9.4 10.-32 11.%>为>y变式题一2<h<-1 12.解：(1)由题意知，顶点A的坐标是（一1,0）， .0A=1. .OA=OB .0B=1, .B(0,-1). 把B(0,-1)代入y=a(x十1)2，得-1=a(0十1)， 解得a=一1， .抛物线对应的函数解析式为y=一(x十1) (2)把点C(-3,)代人y=-(x+1)2, 得6=一（一3十1）2，解得6=一4. (3),抛物线y=一(x十1)2的对称拍是直线x=一1，开口 向下， ,当x>一1时，y随x的增大而减小， :点D(2,为)，E(3,2)在此地物线上，一12<3， .1>% 第3课时二次函数y=a(x一h)?十k的 图象和性质 1.B变式题A2.A3.B4.C5.D6.为>>为 7x变式题m18m>号 9.解：(1)：y=4-(6-x)2■-(x-6)十4， C的对称拍为直线x=6,y的最大值是4。 把x=a,y=3代人y=4一(6一x)2, 得3=4-(6-a)2,解得a1=5a2=7. 又a>6, a=7. (2)y=一x2十6x-9=一(x一3)2， ,.抛物线y=一x2+6x-9的顶点为N(3,0) 如图，过C的顶点M(6,4)作MA⊥x轴于点A,莲接MN, PP',则MA=4,NA=3. 由平移可知，PP=MN, 1444444 194 九年级数学RJ版AH ∴点P移动的最短路程是PP'=MN=NA+MA= /3+4=5. 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质 第I课时二次函数y=ax2+bxr十c的 图象和性质 1.C2.D3.D4.2,05.D变式题C6.C7.D 8.x=1 9.解：如园，连接AM,MC ,抛物线的解析式为y=一x2十2x十3 =-(x-1)2十4， 抛物线顶点M的坐标为(1,4)， 在y=-x2+2x十3中，当y=-x2十2x+ 3=0时，解得x=-1或x=3, A(3,0),C(-1,0), .AC=4, 56a=ACw=子X4X4=8 10.解：(1)：点(3，-1)在二次函数y=-x2十x十b的图 象上： .把x=3,y=-1代人y=一x2十bx+b,得-1=一9+30 十6，解得6=2， “二次函数的解析式为y=一x2+2x十2， .对称轴为直线x=1,顶点坐标为1,3) (2)二次函数的解析式可化为y=一(x一1)2+3. 将二次函数的图象先向左平移4个单位，再向上平移：个单 位，平移后新二次函数的解析式为y=一(x十3)2十3十 平移后图象经过点(1，一5)， .把x=1,y=-5代人y=-(x+3)+3+,得-5=-16 十3+t, 解得t=8, 第2课时用待定系数法求二次函数的 解析式 1.D2C 3.解：(1)把(1，一2)和(0，-5)分别代人二次函数解析式，得 1+6+=一2，解得6-2 c=-5, lc=-5, .二次函数的解析式为y=x2+2x一5. y=x2+2x-5=(x+1)2-6, ,函数图象的顶点坐标为（一1，一6）. (2)-3≤x≤1. 4.B5.y=x-2)2-3 6.解：(1)设函数解析式为y=a(x+1)2+4. 把B(2,-5)代人，得一5=9a十4， 解得a=-1, .y=-(x十1)2十4. (2)6 7.D8.y=2x2-12x+109.y=2x2+2x-4 10.解：(1)抛物线的解析式为y=(x一1)(x+3)=x十2x一3. (2)令x=0,则y=一3， .C0,-3), S△=S△C,