专题10y＝a(x－h)²与y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质（12大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题10 y＝a(x－h)²与y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质 （12大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：X大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二次函数的图象和性质 温馨提示：二次函数的对称性及最值问题 对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律 【课前热身】 1．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 3．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． (1)； (2)； (3)． 知识点2：二次函数的图象和性质 【课前热身】 1．（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当时，直接写出y的取值范围． 知识点3：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【课前热身】 1．（2025·四川绵阳·二模）如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）将二次函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·四川凉山·阶段练习）已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． (1)试确定的值； (2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【题型1】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 3．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【题型2】二次函数y＝a(x－h)²的图象 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 6．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的增减性 7．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的最值 10．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【题型5】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题 13．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 14．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【题型6】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述 16．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线的对称轴为直线 ． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的最大值是 ． 【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性 19．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 20．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）如果二次函数（m为常数）的图象上有两点和，那么 （填“>”、“=”或“<”）． 21．（24-25九年级上·北京海淀·期中）1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【题型8】二次函数y＝a(x－h)²+k的最值 22．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 23．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 24．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【题型9】二次函数y＝a(x－h)²+k的平移问题 25．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 26．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 27．（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何性质问题 28．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 29．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k性质的推理计算与证明 30．（2025·浙江湖州·二模）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 31．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 32．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【题型11】二次函数y＝a(x－h)²+k的实际应用 33．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 【题型12】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何综合问题 34．（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为． (1)求，，三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过，，三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点，不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②用表示和，并求的最大值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 2．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列抛物线中，与抛物线形状相同、开口方向不同，且顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 6．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4 7．（2025·福建泉州·模拟预测）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河北承德·期末）对于点，下列描述不正确的是（   ） A．不论为何值，点都在抛物线上 B．点有最高点为 C．在轴上能找到两个符合条件的点 D．点不会在第三象限出现 二、填空题 9．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接） ． 10．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么 ．（填“>”或“<”） 11．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）已知，，是二次函数图像上三点，则，，的大小关系为 12．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为 ． 13．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 三、解答题 15．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 16．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 17．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线且经过点、． (1)求抛物线的解析式： (2)若点与点都在该抛物线上，直接写出与的大小关系． 18．（24-25九年级上·云南保山·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为______． 19．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知二次函数的图象过点． (1)___________（用含的式子表示）； (2)若该函数的图象与轴有交点，求的取值范围； (3)已知，若该函数的图象与线段有两个不同交点，直接写出的取值范围． 20．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点的正上方5米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员某次滑下时，在距所在直线水平距离为米的地点，运动员距离地面高度为米．获得如下数据： 水平距离/米 0 2 4 6 8 地面高度/米 5 10 13 14 13 请解决以下问题： (1)在图中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求关于的函数表达式； (4)当运动员距所在直线水平距离为3米时，请根据（3）中求出的函数解析式，求出此时运动员距离地面的高度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：X大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二次函数的图象和性质 温馨提示：二次函数的对称性及最值问题 对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律 【课前热身】 1．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是关于二次函数的顶点坐标的问题，掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案； 【详解】解：∵二次函数， 由于，抛物线开口向上， 而对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故选D 3．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 知识点2：二次函数的图象和性质 【课前热身】 1．（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线,顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 -1 0 3 描点画图，得： （3）时，， 时，， ∴当时，y的取值范围为． 知识点3：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【课前热身】 1．（2025·四川绵阳·二模）如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选A． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）将二次函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．根据二次函数图象的平移方法：左加右减，上加下减，由此可求解问题． 【详解】解：将二次函的图象沿x轴方向向右平移2个单位，平移后的函数解析式为； 故选：B． 3．（22-23九年级上·四川凉山·阶段练习）已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． (1)试确定的值； (2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据平移的性质，平移改变了函数图像的顶点，二次项系数不变，由此即可求解； （2）由（1）可求出二次函数的图像，根据系数的特点即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为， ∴原二次函数的解析式为， ∴，，． （2）解：由（1）可知，二次函数，即， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的变换，掌握平移的性质，二次函数顶点式的含义是解题的关键． 【题型1】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可； 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：抛物线解析式为： 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 【题型2】二次函数y＝a(x－h)²的图象 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 5．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 6．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的增减性 7．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的最值 10．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 11．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)函数的最大值为0； (2)h的值是4或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0； （2）解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是4或． 【题型5】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题 13．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【详解】（1）解：令， 解得：，， 将分别代入得，， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 14．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的面积为16 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解，平行四边形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点为即可求解； （2）根据抛物线的解析式求出，，再根据四边形是平行四边形即可求出点D的坐标及的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴将代入得：，即， 故该抛物线的解析式为． （2）解：该抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， 点的坐标为． 的面积为． 15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，， (2)4 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据函数的性质直接写出对称轴即可，分别令，求出点A，B的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）根据点，点在对称轴上，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴； （3）存在，设， ∵，，， ∴， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴或． 【题型6】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述 16．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意； B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意； C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意； D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点坐标式解析式，可知的对称轴是． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的对称轴是． 故答案为： ． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． 根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴ ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值5， 故答案为：5． 【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性 19．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）如果二次函数（m为常数）的图象上有两点和，那么 （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称轴性是解题的关键，根据对称性找到点关于对称轴的对称点，结合二次函数的性质求解即可得到答案． 【详解】解：由题可得：函数的对称轴为：， ∴关于的对称点为：， 当时，随着的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：<． 21．（24-25九年级上·北京海淀·期中）1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性质及开口方向，确定点，到对称轴的距离关系，从而比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴点关于直线，的对称点为， ∵， ∴或， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型8】二次函数y＝a(x－h)²+k的最值 22．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 23．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 24．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 【题型9】二次函数y＝a(x－h)²+k的平移问题 25．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某二次函数的图象经过原点，且顶点是． (1)求此二次函数解析式； (2)求此二次函数图象如何平移可以得到图象？ 【答案】(1) (2)向左1个单位，向上2个单位 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据某二次函数的图象经过原点，且顶点是，设，把代入，得，即可作答． （2）结合“左加右减、上加下减”进行作答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点是， ∴， 把代入， 解得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 则二次函数图象向左1个单位，向上2个单位平移可以得到图象， 26．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)抛物线是由抛物线向左平移2个单位； (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据对称轴，可得的值，根据抛物线过点，可得a值； （2）根据顶点式，即可说明需要移动的单位和方向； （3）根据函数图象及函数的增减性回答即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即抛物线解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的； （3）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 27．（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， 无论取何值，总是负数，故①正确； 抛物线与交于点， 当时，，即，解得：， ， 可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确； ， 随着的增大，的值减小；故③错误． 故选：C． 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何性质问题 28．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 29．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，结合，列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线上存在一点， 故连接，如图所示： ∵点， ∴， ∵与轴交于两点（在的左侧）， ∴令，则， 解得 ∴， ∴， ∵抛物线上存在一点，使得， ∴， 则， 即， 把代入，得， 解得 观察四个选项，唯有符合题意， 故选：D． 【题型10】二次函数y＝a(x－h)²+k性质的推理计算与证明 30．（2025·浙江湖州·二模）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移变换、二次函数的性质等知识点，掌握平移的规律以及二次函数的对称性是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可； （3）根据题意点关于对称轴对称，则，由，得出，即，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为． （2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． （3）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当时，， 当时，， ∴m的取值范围是． 31．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 32．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 【题型11】二次函数y＝a(x－h)²+k的实际应用 33．（2025·江西上饶·一模）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为． (1)求a的值及的长． (2)若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式． ②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________． 【答案】(1),米 (2)；． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键． （）将点坐标代入解析式，即可求出的值； （）由（）可得弹力球第一次着地前抛物线的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出点坐标，再根据条抛物线形状相同，且弹力球在处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半以及点坐标，即可求出弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；l把代入，解方程求出的值与框的位置比较即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线的起点， ∴， 解得， 则， 当时，， 解得， (不合，舍去)， ∴点的横坐标为； ∴； （2）解：由（）知，点的横坐标为5； ∵两条抛物线形状相同，弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低． ∴， 设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为， 将点代入该解析式，得， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴ 弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为； 令中，则， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴弹力球第二次落地点距离原点米， ∵筐的最左端与原点的水平距离为．在地面上摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐， 当代入， 得 解得或， ∵时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴由题意可知, 解得： ∴要使得游戏成功，则d的取值范围是． 故答案为：． 【题型12】二次函数y＝a(x－h)²+k与几何综合问题 34．（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 35．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为． (1)求，，三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过，，三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点，不重合）． ①若点的坐标为，求的值； ②用表示和，并求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；②，，的最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和最值是解题关键． （1）令，求出的值即可得点的坐标，再根据二次函数的顶点式即可得顶点的坐标； （2）①先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点关于对称轴对称可得，由此即可得； ②设点的坐标为，根据二次函数的对称性可得，则，再求出的值，然后求出，利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∵二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧）， ∴，， ∵二次函数的顶点为， ∴． （2）解：①由（1）可知，，， ∵这个二次函数的图象经过点，， ∴这个二次函数的对称轴为直线， 又∵这个二次函数的图象经过点，， ∴点关于对称轴对称， ∴， 解得． ②由题意，设点的坐标为， ∵这个二次函数的图象经过点，， ∴这个二次函数的对称轴为直线， 又∵这个二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上（与点不重合）， ∴，， ∴， 又∵点在线段上（与点不重合）， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为4， 综上，，，的最大值为4． 1．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 2．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列抛物线中，与抛物线形状相同、开口方向不同，且顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.根据抛物线与抛物线形状相同、开口方向不同，得到二次项系数为，再根据顶点坐标为，即可得到抛物线的解析式. 【详解】解：抛物线与抛物线形状相同、开口方向不同， 该抛物线的二次项系数为， 顶点坐标为， 该抛物线解析式为 故选：D. 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线经过点， ， 同理可得：， ， 若，则，， ，即，故①正确； 若，则，， ，即，故②不正确； 若，则，， ，即，故③正确； 若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确； 综上所述，其中正确的是①③，有2个． 故选：B． 5．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 根据解析式，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，有最大值1，当时，随的增大而增大，解答即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值1，当时，随的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 6．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值．由解析式可知该函数在时取得最大值2，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值2， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为0或6， 故选：C． 7．（2025·福建泉州·模拟预测）直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，主要涉及一元二次方程根与系数的关系．联立，则，则，，由，同理，建立方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标分别为， 联立直线与抛物线得， ∴， 则，， ∴ ， ， 同理可求：， ∵， ∴， 整理得， 解得：． ∴， 当时，， ∴直线必过的定点为， 故选：C． 8．（24-25九年级上·河北承德·期末）对于点，下列描述不正确的是（   ） A．不论为何值，点都在抛物线上 B．点有最高点为 C．在轴上能找到两个符合条件的点 D．点不会在第三象限出现 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、由，设，， ∴， ∴， ∴不论为何值，点都在抛物线上，原选项正确，不符合题意； 、∵点都在抛物线上，， ∴点有最低点为，原选项错误，符合题意； 、当时，， ∴，， ∴与轴交点为，， ∴在轴上能找到两个符合条件的点，原选项正确，不符合题意； 、由抛物线与轴交点为，，顶点坐标为，开口向上， ∴点不会在第三象限出现，原选项正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题 9．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数的开口向上，有最小值，对称轴是直线，可知时的函数值与时的函数值相等，根据当时，y随x的增大而增大，可以判断、、的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线开口向上，有最小值，对称轴是直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵的对称点为，且， ∴． ∵是顶点， ∴最小． ∴． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线可得时，随增大而减小，进而求解． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是直线， 时，随增大而减小， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质． 11．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）已知，，是二次函数图像上三点，则，，的大小关系为 【答案】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小． 【详解】解：二次函数的图像开口向上，对称轴为， 离对称轴越近的函数值越小， 到对称轴的距离最近，到对称轴的距离最远， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 12．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为 ． 【答案】4或 【分析】由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 13．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴设，消去得， ∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是， 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 16．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 17．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线且经过点、． (1)求抛物线的解析式： (2)若点与点都在该抛物线上，直接写出与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，也考查了二次函数的图象与性质，熟知这些知识是正确解决本题的关键． （1）把点、代入求出a、k即可； （2）根据二次函数的性质，通过比较点与点到直线的距离大小确定与的大小关系． 【详解】（1）解∶把点、代入得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 点到直线的距离比点到直线的距离要小，而抛物线的开口向下， ． 18．（24-25九年级上·云南保山·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，先由顶点坐标设二次函数的顶点式，然后代入点求得函数的解析式； （2）由得出二次函数的图象开口向下，有最高点，对称轴是直线，再求得和的函数值，然后结合函数的增减性得到的取值范围． 本题主要考查了二次函数的解析式、函数的增减性，解题的关键会用顶点式求得二次函数的解析式． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， 将代入，得， 解得：， ． （2）解：，二次函数的表达式为， 二次函数的图象开口向下，有最高点，对称轴是直线， 当时，， 当时，， 的取值范围为：， 故答案为：； 19．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知二次函数的图象过点． (1)___________（用含的式子表示）； (2)若该函数的图象与轴有交点，求的取值范围； (3)已知，若该函数的图象与线段有两个不同交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入中，即可解答； （2）由（1）得二次函数，根据该函数的图象与轴有交点，即一元二次方程有实数根，利用判别式建立不等式即可解答； （3）根据题意，二次函数图象过定点，分和，两种情讨论，结合图象，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意：， ， 则； （2）解：由（1）得：， ∵二次函数的图象与轴有交点，即一元二次方程有实数根， ∴，即， ∴，即或， 解得：或，即或， ∵， ∴或； （3）解：由（1）得：，则二次函数图象的对称轴为， 当时，， ∴二次函数图象过定点， 当时，如图，函数图象开口向上， ∵该函数的图象与线段有两个不同交点， ∴当时，，即， 解得：； 当时，函数图象开口向下， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当二次函数与直线相切时，函数的图象与线段只有一个交点，即点A，如图， 此时，只有一个交点A， ∴方程只有一个实数解， 即方程只有一个实数解， ∴，即， 解得：， 此时，，则二次函数顶点坐标为， ∴当时，函数的图象与线段有两个不同交点， ∴， 综上，当或时，该函数的图象与线段有两个不同交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与线段的综合等，解决问题的关键是熟练掌握配方法将二次函数解析式的一般式化成顶点式，二次函数图象与线段的位置关系，解一元二次方程，解不等式． 20．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点的正上方5米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员某次滑下时，在距所在直线水平距离为米的地点，运动员距离地面高度为米．获得如下数据： 水平距离/米 0 2 4 6 8 地面高度/米 5 10 13 14 13 请解决以下问题： (1)在图中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求关于的函数表达式； (4)当运动员距所在直线水平距离为3米时，请根据（3）中求出的函数解析式，求出此时运动员距离地面的高度． 【答案】(1)图见解析 (2)14 (3) (4)此时运动员距离地面的高度为米 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． （1）用描点法画出抛物线图象即可； （2）根据图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （3）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （4）令，求得运动员距离地面的高度即可． 【详解】（1）解：①建立如图所示的平面直角坐标系； ②根据表中数据描点； ③用平滑的曲线连接，所画图象如图所示： （2）解：观察图象可得：抛物线的对称轴为，此时纵坐标为14，即运动员滑行过程中距离地面的最大高度为14米． 故答案为：14． （3）解：由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入得：，解得：， ∴． （4）解：令可得：米， ∴此时运动员距离地面的高度为米． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$