21.2.3 因式分解法&21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

21.2.3 因式分解法 知识要点扫描 题意，周长为3十7十7=17； 1.因式分解法 当x=10时，3十7=10，不符合题意. 通过因式分解使方程化为两个一次式的乘 综上所述，这个三角形的周长为17. 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0， 已基础对点训练 从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做 知识点① 用因式分解法解一元二次方程 因式分解法。 1.(2024一2025信阳期中）已知一元二次方程 2.因式分解法的一般步骤 的两根分别为x1=3,x2=一4，则这个方程 (1)移项使方程的右边为0，即一移；(2)将 为 () 方程的左边因式分解，即二分：(3)将一元二次 A.(x-3)(x+4)=0B.(x十3)(x-4)=0 方程转化为两个一元一次方程，即三化：(4)写 C.(x十3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0 出原方程的解，即四写 2.一元二次方程x2=2x的解为 () 经典例题剖析 A.x1=x2=0 【例1】用因式分解法解下列方程： B.0=x2=2 (1)3x(2x+1)=4x+2. C.=0,x2=2 (2)(3x-1)2+4(3x-1)+4=0. D.x1=0,x2=-2 【点拨】(1)先移项，再提取公因式(2x十1)； 3.方程x(x十3)十x十3=0的两个根为() (2)可以把(3x一1)看作一个整体，再因式分解 A.x1=1,x2=3 【解】(1)移项，得3x(2x十1)一(4x+2)=0, B.x1=-1,x2=3 即3x(2x十1)-2(2x十1)=0. C.x1=1,x2=-3 因式分解，得(2x十1)(3x-2)=0, D.x1=-1,x2=-3 .2x十1=0或3x-2=0, 4.结论开放题根据因式分解法解一元二次方 解得一名6一号 2 程的方法，写出一个以x为未知数，一2和4 为根的一元二次方程： (2)因式分解，得(3x-1十2)2=0， (化为一般形式). .3x+1=0, 5.用因式分解法解下列方程： 解得x=xa= (1)(x-3)2+4x(x-3)=0. 【例2】已知三角形两边的长分别为3和7， 第三边的长是方程x(x一7)一10(x一7)=0的 一个根.求这个三角形的周长， 【点拨】先利用因式分解法解方程，然后根 (2)2x+8=(x+4)2 据三角形三边关系确定三角形的边长，再求出 周长即可 【解】因式分解，得(x-7)(x一10)=0， 解得x1=7,x2=10. 当x=7时，三边的长分别为3,7,7，符合 九年级数学RJ版 知识点②选择合适的方法解一元二次方程 x的值为 () 6.下列一元二次方程最适合用因式分解法求 A.5或4 B.-5或4 解的是 C.5或-4 D.-5或-4 A.x2+4x=23 B.(x-1)(x-2)=3 11.关于x的方程ax8十bx十c=3的解与(x一 1)(x一-4)=0的解相同，则a十b十c的值为 C.x2+2x-1=0 D.3(x-3)2=x2-9 7.已知下列方程，请把它们的序号分别填在最 12.(2024一2025上饶月考)已知关于x的方程 合适的解法后的横线上 x2-2kx十k2-1=0. ①2(x-1)2=6:②(x-2)2十x2=4:③(x (1)若方程有一根为5，求k的值 2)(x-3)=3:④x2-2x-1=0;⑤x2-2x (2)求证：不论k取何值，方程总有两个不 99=0. 相等的实数根 (1)直接开平方法： (2)配方法： (3)公式法： (4)因式分解法： 8.(2024一2025南昌校级期中)选择合适的方 法解下列方程： (1)x2-6x十3=0. 易错点解方程时，方程两边同时除以含 有未知数的代数式导致失根 13.小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)= (x一3)2的过程如下： (2)(x+1)(x-2)=(x-2). 小霞： 小敏： 移项，得3(x一3)一(x一3)产=0. 两边同除以 因式分解，得(x一3)(3一x一3) (x-3),得 =0, 3=t-3, .x-3=0或3-x-3=0, 解得x=6. 知识点③因式分解法的应用 解得x1=3,x2=0. 9.若a,b是两个实数，定义一种运算“△”：a△b 她们的解法是否正确？若都不正确，请 =a(a十b).根据此定义，方程x△(x一1) 写出正确的解答过程。 2x一1的实数根是 () A.-分=1 B.x1=2,x2=1 C.x1=-2,x2=1 22=1 10.注重学习过程一般我们记A n(n-1)…(n一m十1).例如：A=4×3= 12,A8=5×4×3=60.如果A=20,那么 上册第二十一罩 9△ 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识要点扫描 3.已知关于x的方程x2十mx一20=0的一个 1.一元二次方程的根与系数的关系 根是一4，则它的另一个根是 如果五，x2为一元二次方程ax2十bx十c=0 变式题已知两根积求另一根→已知两根 (a≠0)的两个根，那么西十=一 6 和求另一根 a 若关于x的方程x2一7x十m=0的一个根 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 为2，则另一个根为 一元二次方程的根与系数的关系在有关 一元二次方程问题中的应用比较普遍，且比较 4.已知x1,x2是方程4x一x2=2的两根，求： 简洁、实用.主要应用有：(1)脸根，不解方程， (1)x1十x2,xx2的值 利用根与系数的关系可检验两个数是不是方 (2)三+2的值. 程的根；(2)已知方程的一个根，求另一个根及 未知条数；(3)不解方程，可以利用根与系数的 关系求关于两根的代数式的值 经典例题剖析 【例】已知x1,x2是关于x的一元二次方 程a.x2+ax一1=0的两个根.若x十x2十x1x =-2,则a的值为 【点拨】根据根与系数的关系可得十x =-1,x1x2=- a 又根据已知x1十x2十x1x2 知识点② 利用根与系数的关系在一元二次 =一2，可得-1一 2,解这个方程即可得 方程中求字母的值或取值范围 出结果。 5.若关于x的方程2x2+x-2m十1=0有一正实 【解1 数根和一负实数根，则m的取值范图是( 已基础对点训练 Am≥石 B心号 知识点① 一元二次方程的根与系数的关系 C.m716 7 Dm>号 1.(2024一2025浏阳月考)下列关于x的一元 6.已知m,n是关于x的方程x2+(2b+3)x十 二次方程中，两根之和为一4的是( A.x2+2x-4=0 B.x2-4x十4=0 :=0的两个实数根，且满足品十1=一，则 m C.x2+4x+10=0D.x2+4x-10=0 b的值是 () 2.(2024一2025准南八公山区月考)若方程x A.3 B.3或-1 一4红-1=0的两根为x,则上+1的值 C.2 D.0或2 7.若关于x的方程x2十2(m-1)x十m2一m 为 ( 0有两个实数根&，3，且a2十g=12,则m的 A.-4 B.4 C.4 D- 值为 10 九年级数学J版(2),方程有两个相等的实数根， ∴△=72一36k=0,且一1≠0，解得k=2, 原方程为x2一6x十9=0，解得1=x=3 5.解，(1)：关于x的方程x-2x十4-m=0有两个不 数根， △=(-2)3-4×1×(4-m)>0, 解得m>3. (2):m>3, 2 m-3 -2. 6.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 一1是方程的根， ∴.a+c-2b+a-e=0, ∴a-6=0,即a=b, ∴，△ABC是等腰三角形 (2)△ABC是直角三角形.理由如下： :方程有两个相等的实数根， .△-(2b2-4(a+c)(a-e)-0, ∴.4b-4a2+42=0,即a2=8+c2, ∴△ABC是直角三角形. 21.2.3因式分解法 1.A2.C3.D 4.(答案不唯-)x2-2z一8=0 5.解：(1)因式分解，得(x-3)(5x-3)=0, ∴.z-3=0或5x-3=0, 解得=34=子 (2)移项，得2(x十4)一(x+4)2=0. 因式分解，得(x十4)（一x一2）=0， .x十4=0或-x-2=0: 解得为=一4，x=一2， 6.D 7.(1)①(2)④⑤(3)③(4)②@ 8.解：(1)x2-6x十3=0， ∴.x2-6x=-3 ,x2-6x十9=6 .(x一3)=6， x3=士6， 解得x1=3-6,x=3+6 (2)(x十1)(x-2)=(x-2, .(x+1)(x-2)-(x-2)=0, .(x+1-1)(x-2)=0, 解得=0，红=2. 9.A10.C11.3 12.解：(1)，x2一2kx十2一1=0， .(x-)2-1=0, .(x-k-1)(x-k十1)=0， .x1=是+1，x9=表-1. 当k十1一5时，k=4: 当k-1=5时，k=6. 综上所述，k的值为4或6。 (2)证明：△=(-2k)2-4(k2-1)=4>0, 192 九年级数学RJ版AH ',不论取何值，方程总有两个不相等的实数根 13.解：她们的解法都不正确 正确的解客过程如下： 等的实 移项，得3(x-3)-(x一3)2=0. 因式分解，得(x一3)(3-x十3)=0， “x-3=0或3-x十3=0，解得=3x=6. *21.2.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.D2.A3.5变式题5 4.解：(1)方程4x一x2=2化简成一般形式得x2-4红十2=0. x1,x是方程4x一x2-2的两想， “根据一元二次方程的根与系数的关系，得十无一一兰 (2)1十x=4,万2=2， 在+-+娃=《西十-2红西=-2以2=6. 2 5.B6.A7.-1 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传揞与数字问题 1.1+x十(1十x)x=1442.11 3.解：(1)设每轮传播中平均1台电脑会感染工台电脑. 由题意，得x十1十x(x十1)=25， 解得x1=4,x2=一6（舍去）. 故每轮传播中平均1台电脑会感染4台电脑， (2)经过两轮传播后共有25台电脑被感染，∴.经过三轮传 播后被感染的电脑为25+25×4=125（台）， 经过四轮传播后被感染的电脑为125十125×4=625（台）， 625>600, ·四轮感染后，被感染的电脑超过600台。 4.A5.B变式题8 6.解：(1)：每家公司与其他(x一1)家公司都签订1份台同，而 甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同 是同1份合同，“所有公同共签订了y-红，一卫份合同， 2 y与x之间的关系式为y一宁x红一1. (2)当y=55时，7x6x一1)=55，解得1=11，西=一10（不 合题意，舍去)，“x=11 故参加此次展销会的公可共有11家 7.C8.D 第2课时平均变化率与销售问题 1.D2.C 3.解：(1)设该商店每月盈利的平均增长率为x,根据题意，得2 400(1十x)2=3456, 解得1=0.2=20%，x8=一2.2（舍去） 故该商店每月盈利的平均增长率为20% (2)由(1)知，该商店每月盈利的平均增长率为20%，测5月 份盈利为3456×(1+20%)=4147.2（元）. 故领计5月份这家商店的盈利将达到4147.2元. 4.B5.13