21.2.2 公式法&解题技巧专练 巧用根的判别式解题-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

参考答案 第二十一章 一元二次方程 (2),·方程有两个不相等的实数根， ∴4=(-402-16>0，且≠0， 21.1一元二次方程 ∴是的取值范固为k<1且≠0， 1.C2.A3.D4.-15.1变式题C6.2024 11.解：4=（一m)2一4×2m=m°一8n 7.(8-2x)(10-2.x)-308.-3 (1)片m一n=4, n=m一4， 21.2解一元二次方程 △=m2-8(m-4)=m2-8m+32=(m-4)2+16. 21.2.1配方法 (m-4)2≥0， 第1课时直接开平方法 ,(-4)+16>0,即△>0， 1.B变式题1=1，x3=一1 ·此方程有两个不相等的实数根. 2.D3.B (2)根据题意，得△=m2一8n=0, 4.x1=6,x2=一45.1（答案不难一） n=2,m2一16=0， 6.解：1)移项，得(x+3)2=2.两边直接开平方，得x十3一 解得m1=4,一4. 土厄，解得x1=2-3,x=一瓦-3. 当m=4时，方程为2x2一4x十2=0， 解得x1=x2=1: (2)两边直接开平方，得x十1=±(1一2x),即x十1=1一2z 当m■一4时，方径为2x2+4x十2■0， 或x十1=一(1一2x),解得=0，粒=2 解得x1=x2=一1. 7.B8.4或-2 9.解：'a④6=a2一b2, 综上所述，此时方程的根为1或一1 (4©3)©x=(42-32j⊕x=7⊕x=7-x2, 第2课时用公式法解一元二次方程 ∴.78-x2=24,x2=25,解得=5，=-5 1.D2.D3.B 4.解：(1)a=1,b=-4,c=1, 第2课时配方法 1.B2.B3.14.二5.1=1+2，x=1-2i 4=8-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0, 6.解：(1)③等式右边没有同时加4 “方程有两个不等的实数根x生区-2士厅， (2)正确的解答过程如下： 移项，得2x2-8x-18. “x1=2+5,x2=2-5 两边同时除以2，得x一4x=9。 (2)原方是可化为3y一25y+1=0. 配方，得x2-4x十4=9+4， a=3,6=-25,c=1, 即(x-2)2=13,x-2=士√/13 △=6-4ac=(-25)2-4×3×1=0, 故龙1=2+√/丽，2=2-/13. 六方程有青个相等的实数根为-为 3 21.2.2公式法 第1课时一元二次方程根的判别式 5.解：（答案不难一，可以选择条件②或条件③解答） 选择条件②，则一元二次方程为x2十3z十1=0. 1.B2.C3.A4.B5.A a=1,b=3,c=1, 6.解：1)根据题意，得1十(m十3)·1十m十1-0， .△=b2-4ac=32-4×1×1=5>0, 解得网=一号 (2)证明：△=(m十3)3一4(m十1)=m2十2m十5=(m十1)2 “方程有两个不等的实数猴工=一3土5 2 十44>0， ∴为=二3+ 2 ,x3-5 2 ,∴，方程总有两个不相等的实效根 7.C8.B 解题技巧专练巧用根的判别式解题 9.C变式题1B 1.A2.D3.C 变式题2m>- 子且m≠0 4.解：(1)当k=1时，方程为一元一次方程，有解，满足题意： 当≠1时，方程为一元二次方程. 变式题3加≤包 方程有实数根， 10.解：(1)由题意可知，=1， .△=-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k≥0， ∴方程为x2-4x十4=0， 解得≤2，则≤2且≠1. 解得x1=xg=2, 综上所述，的取值范固为≤2 AH上册参考答案 191 (2),方程有两个相等的实数根， ,不论飞取何值，方程总有两个不相等的实数根 “4=72-36k=0,且克-1≠0，解得k=2, 13.解：她们的解法都不正确 .原方程为x2一6x十9=0，解得1=x2=3 正确的解答过程如下： 5.解：(1)：关于x的方程x-2x十4一m=0有两个不等的实 移项，得3(x-3)-(x一3)2=0. 数根， 因式分解，得(x-3)(3一x十3)=0， ,△=(-2)2-4×1×(4-m)>0, ∴x-3=0或3-x十3-0，解得1=3，x2=6. 解得m>3. *21.2.4一元二次方程的根 (2):m>3 与系数的关系 m-3 1.D2.A3.5变式题5 -2. 4.解：(1)方程4x一x2=2化简成一般形式得x2-4红十2=0. 6.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： :1,x是方昼4x一x=2的两根， :一1是方程的根， 六根据一元二次方程的根与系数的关系，得十一一 ∴，a十c-2b十a-c=0, ∴a-6=0,即a=b, ∴，△ABC是等腰三角形 (2)石十x2=4,x2=2, (2)△ABC是直角三角形.理由如下： +=计-西+-24--2X2=6 :方程有两个相等的实数根， C1 2 .△=(2b2-4(a+c)(a-c）=0, 5.B6.A7.-1 ∴.b-4a2十42=0，即a2=8+c2, 21.3实际问题与一元二次方程 ∴△ABC是直角三角形. 21.2.3 因式分解法 第1课时传墙与数字问题 1.A2.C3.D 1.1+x十(1十x)x=1442.11 4.(答案不唯-)x2-2z一8=0 3.解：(1)设每轮传播中平均1台电脑会感染x台电脑. 5.解：(1)因式分解，得(x-3)(5x-3)=0, 由题意，得x十1十x(x十1)=25， ∴.x-3=0或5x-3=0, 解得x1=4,x2=一6（舍去）. 解得=3=号 故每轮传播中平均1台电脑会感染4台电脑， (2)经过两轮传播后共有25台电脑被感染，∴.经过三轮传 (2)移项，得2(x十4)一(x十4)2=0. 播后被感染的电脑为25十25×4=125（台）， 因式分解，得(x十4)（一x一2）=0， 经过四轮传播后被感染的电脑为125十125×4=625（台）， x十4=0或-x2=0: 625>600, 解得为=一4，x=一2， ∴.四轮感染后，被感染的电脑超过600台， 6.D 4.A5.B变式题8 7.(1)①(2)④⑤(3)③(4)②@ 6.解：(1)：每家公司与其他(x一1)家公司都签订1份合同，而 8.解：(1)：x2-6x+3=0, 甲公司与乙公司签订的合司和乙公司与甲公司签订的合同 ∴.x2-6x=-3. 是同1份合同，“所有公司共签订了y一红，一1卫份合同， ,x2-6x十9=6 2 (x一3)=6， y与x之间的关系式为y=宁x一1》. x-3=±6， 1 解得x1=3-6,x1=3+6. (2)当y=55时，7x(x一1)=55，解得1=1，西=一10（不 (2)(x十1)(x-2)=(x-2), 合题意，舍去)∴x=11 .(x+1)(x-2)-(x-2)=0, 故参加此次展销会的公可共有11家 .(x+1-1)(x-2)=0, 7.C8.D 解得然=0,2=2. 第2课时平均变化率与销售问题 9.A10.C11.3 1.D2.C 12.解：(1)：x2-2kz十-1=0， 3.解：(1)设该商店每月盈利的平均增长率为x,根据题总，得2 .(x-是)8-1=0， 400(1+x)2=3456, .(x-k-10(x-k十1)=0， 解得x1=0.2=20%,x8=一2.2（舍去）. .x1=k十1，x3=一1. 故该商店每月盈利的平均增长率为20%， 当k十1=5时，k=4: (2)由(1)知，该商店每月盈利的平均增长率为20%，测5月 当k-1=5时，k=6. 份盈利为3456×(1+20%)=4147.2（元）. 综上所述，k的值为4或6. 故领计5月份这家离店的盈利将达到4147.2元 (2)证明：△=(-2k)2-4(2-1)=4>0, 4.B5.13 192 九年级数学RJ版AH21.2.2 公式法 第1课时一元二次方程根的判别式 知识要点扫描 【点拨】由题意，得△=（一3）2-4×2k>0, 1.根的判别式 解得长号 定义：一般地，式子6一4ac叫做一元二次 【答案B 方程ax2十bx十c=0根的判别式，通常用希腊 字母“△”表示它，即△=b2一4ac. 已基础对点训练 2.一元二次方程根的情况 知识点① 一元二次方程根的判别式 (1)△>0台方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确 两个不等的实数根； 定a,b,c的值.对于方程-4x2+3=5x,a,b, (2)△=0台方程ax2十bx十c=0(a≠0)有 c的值分别是 () 两个相等的实数根； A.-4,5,3 B.-4,-5,3 (3)△<0台方程ax2十bx十c=0(a≠0)无 C.4,5,3 D.4,-5,-3 实数根 2.一元二次方程x2-5x十2=0根的判别式的 忽经典例题剖析 值是 () 【例1】对于实数a,b定义运算“⑧”为a⑧6 A.33 B.23 =b2-ab,例如：3⑧2=22-3×2=-2.关于x C.17 D.17 的方程(k一3)②x=k一1的根的情况，下列说 知识点② 利用根的判别式判断根的情况 法正确的是 A.有两个不相等的实数根 3.一元二次方程x2一3x十1=0的根的情况为 B.有两个相等的实数根 ) C.没有实数根 A.有两个不相等的实数根 D.无法确定 B.有两个相等的实数根 【点拨】方程(k一3)☒x=k一1可化为x C.没有实数根 (k-3)x-k+1=0,.A=[-(k-3)]2-4 D.无法确定 ×1×(-k十1)=(k-1)2十4>0，.关于x的 4.(2024一2025淮南潘集区月考)下列方程中， 方程(k一3)⑧x=k一1有两个不相等的实 无实数根的是 () 数根 A.x2-x-2=0 B.3x2-2x+1=0 【答案】A C.(x-2)2=0 D.(x-2)2=10 【例2】(2024泰安)关于x的一元二次方 5.(教材变式)关于x的一元二次方程x2+(2k 程2x2一3x十k=0有实数根，则实数k的取值 +1)x十k一1=0的根的情况是 () 范围是 A.有两个不相等的实数根 AK号 R长号 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 C≥号 DkK-景 D.无法判断 九年级数学R刷版 6.(2024一2025南昌三中月考)已知关于x的 变式题3不明确解的个数，需分类讨论 一元二次方程x2十(m十3)x十m十1=0. 若关于x的方程mx2一2x十2=0有实数 (1)若x=1是方程的一个根，求实数m 根，则实数m的取值范围是 的值 (2)求证：方程总有两个不相等的实数根。 10.(2024一2025松原宁江区期中)已知关于x 的一元二次方程kx2一4x十4=0. (1)若是最小的正整数，求此方程的解。 (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 知识点目 利用根的判别式确定方程中字 母的值或取值范围 7.若关于x的一元二次方程x一2x十m=0有 两个相等的实数根，则m的值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 11.已知关于x的一元二次方程2x2一mx+n 8.若关于x的方程mx2十2x一1=0有两个不 =0. 相等的实数根，则m的取值范围是( (1)当m一n=4时，请判断此方程的根的 A.m<-1 B.m>-1且m≠0 情况. C.m>-1 D.m≥-1且m≠0 (2)若方程有两个相等的实数根，当n=2 9.已知关于x的方程2x2-2x十2k一1=0有 时，求此时方程的根 实数根，则飞的取值范围是 Ak长号 BK号 Ck长 D>是 变式题1有实数根→无实数根 若关于x的方程2x(kx一4)-x2+6=0没 有实数根，则的最小整数值是( A.1 B.2 C.3 D.4 变式题2改变待定系数位置 若关于x的方程mx2一x一1=0有两个实 数根，则实数m的取值范围是 上册第二十一章 5△ 第2课时 用公式法解一元二次方程 已知识要点扫描 A.x=1-√/5 B.x=-1+5 2 1,一元二次方程的求根公式 当△>0时，一元二次方程ax2十bx十c=0 C.x=-1+5 D.x=-1±5 (a≠0)的求根公式：x=二b土-4a 3.小颖解一元二次方程3x2☐x一1=0时，发 2a 现一次项系数部分印刷不清楚，查看参考答 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程化为一般形式： 案为x=3士2E,则口代表的为 () 3 (2)写出a,b,c的值； A.+6 B.-6 C.+3D.十48 (3)计算b一4ac的值，并判断b-4ac的 4.(教材变式)用公式法解下列方程： 符号.若2一4ac≥0，则将a,b,c的值代入求根 (1)x2-4x+1=0. 公式，求出方程的根：若b一4ac<0,则方程 无解。 已经典例题剖析 【例】用公式法解方程：2x2一4x一1=0. 【点拨】先确定a,b,c的值，再求b一4ac的 值，判断出b2一4ac>0,然后将a,b,c的值代入 (2)3y2+1=25y. 求根公式即可. 【解】，a=2,b=-4,c=一1， ∴.4=(-4)2-4×2×(-1)=16+8= 24>0, ,此方程有两个不相等的实数根， “x=二(-4)±2旺_4±26 2×2 4 5.结论开放题设一元二次方程x2十bx十c一 ·0=2+6 2-6 C2 0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的 已基础对点训练 值，使这个方程有两个不相等的实数根，并 解这个方程， 知识点① 一元二次方程的求根公式 ①b=2,c=1:②b=3,c=1:③b=3,c=-1； 1.x=一2-√②于4X2是用公式法解一元 ④b=2,c=2. 2×2 二次方程得到的一个根，则满足要求的方程 是 ( A.2x2-2x-1=0B.2.x2-2x十1=0 C.2x2+2x+1=0 D.2x2+2x-1=0 知识点② 用求根公式解方程 2.一元二次方程x2十x一1=0的根是() 九年级数学J版 解题技巧专练 巧用根的判别式解题 题型① 利用根的判别式判断一元二次方程 题型③ 利用根的判别式化简 根的情况 5.(2024一2025宜兴期中)关于x的方程x2- 1.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第四象限， 2x+4一m=0有两个不等的实数根. 则关于x的方程ax2十b.x十c=0的根的情 (1)求m的取值范围 况是 ②化简：品÷”子， A.有两个不相等的实数根 2m+1 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 题型② 利用根的判别式求方程中字母的值 或取值范围 2.(2024一2025上饶月考)已知关于x的一元 二次方程m:x2十2x十1=0有两个实数根，则 m的范围是 ( A.m<1 B.m≤1 题型④ 利用根的判别式判断三角形的形状 C.m<1且m≠0 D.m≤1且m≠0 6.推理能力已知关于x的一元二次方程(a十 3.关于x的一元二次方程mx2一2x一1=0无 c)x2+2bx+a-c=0,其中a,b,c分别为 实数根，则一次函数y=mx十2的图象不经 △ABC三条边的长， 过 ( (1)如果一1是方程的根，试判断△ABC的 A.第一象限 B.第二象限 形状，并说明理由。 C.第三象限 D.第四象限 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 4.已知关于x的方程(k-1)x2-6x十9=0. △ABC的形状，并说明理由， (1)若方程有实数根，求的取值范围。 (2)若方程有两个相等的实数根，求飞的值， 并求此时方程的根。 上册第二十一罩