第22章 模型构建专题 构建相似三角形的基本模型-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（沪科版）

点，，AG是△DAE的角平分线 △ADEAACB,0-0-号，AG:GF-2:i 6.B7.C 8.解：如图，延长AF交DE于点G. .BC=10m,AF=3 m:FG=12 m,..AG=AF+FG=15 m :BC∥ED,AF⊥BC,∴△ABC△ADE,AG⊥DE, 器器即品品DE-0m 310 ,50÷2十1=26（棵），，DE处共有26棵树 C 9.c10.311n.4 变式题6 12.解：(1)180cm (2)此时横向影子AB,DC的长度之和为12cm, (3)灯泡离地面的距离为a十a山m b 第2课时相似三角形的性质定理2、3 1.B变式题号224 3解：由AE1PE-1:2,得能青 ,四边形ABGD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD, ÷△AEF△CDF,带-AB言： △AEF与△CDF的周长之比等于1：3 4.D变式题125.C 6.解：1)证明：：∠C=90',BE⊥AB,∠EBD=∠C=90 ,'DE∥BC,.∠EDB=∠ABC,,△DEB∽△BAC (2),D是AB的中点，AB=6,∴DB=3. ADEBOABAC,SA里= S△hG 器)-()-品 7D82 9.解：△DAC和△EBC都是等要直角三角形， &△DAC△EBC,六元-E元元E武 AC DC.AC BC :∠BCE=∠ACD=45', ∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE, 即∠BCA=∠ECD, ∴△ACDEC,8=-瓷 :△ADC是等腰直角三角形，.DC-√EAC, 瓷-号：△ABC与△DBc的周长比为E:2 10.解：ABBC:CD=2:2:1,.BC:BD=213,BC: AC-12. 'CE∥DF,∴△CBG∽△DBF, 9 '∠1=∠A,∴.BG∥AE,∴.△CBG△CAE SACAE 车，SacE=4SAc, S=5Aar一Saas=乏56an,S5E=5Ae -S△c=3SA0: 5 'S言的形8G范 11.解：(1)：D是BC边上的中点，DE⊥BC, CE=BE,∴，∠B=∠ECB. 156 九年级数学HK版 ,AC=AD,,∠BCA-∠CDF .△ABC∽△FCD. D是BC边上的中点，.BC=2CD, ,.△ABC与△FCD的周长比=BCCD=2:1 (2)如图，过点A作AH⊥BC于点H. :D是BC边上的中点，∴.BD=CD =7BC=5. AC=AD,AH⊥CD,.CH=DH =2CD=2.5, 由(1)知，△ABC∽△FCD 器-（器 =4,“.SAAc=4Sao0=30. :S6=2BC·AH,AH=6. AH⊥CB,ED⊥CB,∴.AH∥ED, .△BDEn△BHA, 器-器DE=AD- BH 5+2.G=4. 模型构建专题构建相似三角形的基本模型 1.证明：AB∥CD,EF∥AB,.EF∥CD. 由EF∥AB,得△DE△DAB,器-器 由EF/CD,得△BEF△BCD,器-邵 需+器1，∴福+品床 BD 2.解：∠ADE=∠ACB,∠BDF=∠ECF, 又'∠DFB=∠CFE,∴△BDFP△ECF, 器器脚- 2 ,.DF=4, 3.证明：∠BCD=∠BED,∠BAC=∠DAE, △ABOAADE,.能-铝器铝 又，∠CAE=∠BAD,.△ACE∽△ABD. 4.解：设DP=x,UBP=28一x AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠B=∠D=90,分以下两种情况讨论： ①当部-器时，△ABP△CDP, 即号-28，解得x=1. BP=28-11.2=16.8: ②当0-器时，△ABP△PDC, 即品=28二，解得1=4,4=24， .BP=28-4=24或BP=28-24=4 综上所述，当以P,C,D为顶点的三角形与以P,A,B为顶点 的三角形相似时，BP的长为16.8或24或4， 5.证明：(1)，AB=AC,.∠B=∠C ∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF ∠DEB,∠DEF=∠B. ∴∠BDE=∠CEF,∴△BDED△CEF (2)'△BDEn△CEF,BE=p EF E是C的中点BE-CE∴器-器罷-器 又，"∠DEF=∠B=∠C,,△DEFo△ECF, ∴∠DFE=∠EFC,∴FE平分∠DFC 6.证明：如题图①，△ADE绕点A旋转前，DE∥BC, △ADB∽△ABC,器怎即是-是 如题图②，△ADE绕点A颗时针旋转a”过程中， :∠DAE=∠BAC=90°，.∠DAB+∠BAE=∠EAC- ∠BAE=9O°，∴∠DAB=∠EAC 又0-2△ADB△ABC 方法技巧专题证明比例式或等积式的 常用技巧 1.证明：AB=AC,D是边BC的中点， AD⊥BC,∴.∠ADC=90°，.∠ADE+∠CDE=90° 'DE⊥AC,.∠CED=90,∴∠CDE+∠C=90, ∴.∠ADE=∠C 又：∠AED=∠DEC=90°，，△AEDO△DEC, 器说 2.证明：1)，AB=AC,∴∠B=∠C :'∠EDF=∠B,∠EDC=∠B+∠BED=∠EDFH ∠CDF,∴，∠BED=∠CDF,∴，△BDE∽△CFD (2)D是BC的中点，.BD=CD. 由可知，△BDEn△cFD,第8ES-是 又：∠EDF=∠B=∠C,△CDF∽△DEF, 架-器D=E,CR 3.证明：：△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=,∠BAC=60° ∴.∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60 :∠DAE=120°，.∠DAB+∠CAE=60°， ,∠D=∠CAE,∠DAB=∠E, △DBA△ACE,器-器 △ABC是等边三角形，.AB=AC=BC, .BC=CE·DB. 4,证明：：四边形ABCD是正方形， ,∴，∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC BF⊥DE,.∠GFD=90°，.∠BCD=∠GFD. “∠BGC=∠DGF,△ADGF,器-器 又AB=BC,器二 5.证明：∠BAC=90°，AD⊥BC,.∠CAB=∠ADB. ∠CBA=∠ABD,∴·△CBA∽△ABD, ÷品品∠C-∠BAD.:DA-AB:ACD ”E为AC的中点，AD⊥BC,ED=AE=EC ∴.∠C=∠EDC=∠FAD=∠FDB 又：∠F=∠R,△ADF△DBR,品-器， .DB:AD=DF:AF,② 由D②，得AB:AC=DF:AF, AB·AF=AC·DF 6.证明：如图，过点D作DG∥BC交 AC于点G,则△ADG v△ABC, △DGF∽AECF, .AD-DG DG 品提 A0=cE,器-器能-器， 即AB·DF=BC,EF 7.证明：如图，连接AC ,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=CB,.∠D=60 △ACB是等边三角形，∠BAD=120°，.∠BAG=6C°，A -AC. ∠EAF=120°，∠EAF=∠BAD, ∠EAB=∠DAF ,∠EAC=60°+，∠EAB,∠AFC=60 +∠DAF, .∠EAC=∠AFCa 易知∠ACE=∠FCA=60°， △ACE0△FCA,-e AB-AC得-器 8.证明：(1)，四边形ABCD是菱形 ∴DC∥AB,DC=AB,.DC∥BE, △DCv△BER,器-器铝-器 (2)如图，连接AC交BD于点H, 则AC⊥BD,.∠DHC=90" ,CF⊥AB,CD∥AB, ,∠DCF=∠BEC=90°，，∴.∠DHC =∠DCF '∠HDC=∠CDF,∴.△HDC∽△CDF, 盟Dc D是-F,DF·DH=DC :DH-BH-DB,DC-BC, DF.DB-BC,DF.DB-28C. 安徽热点专题与黄金比有关的证明 1.证明：在△ABC中，AB=AC,∠A=36,∠ABC=∠C=72 :BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36, ..AD-BD,/BDC=72,..BD=BC,..AD=BC. ,'∠C=∠C,∠CBD=∠A, .△BCD△ACB,∴.BC:AC=CD:CB, .AD+AC-CD AD,.AD=CD.CA ,D为线段AC的黄金分割点」 2.证明：四边形ABCD是矩形，.DC∥AE,DC=AB, △CP△AER,是器 设CD=x,AD=y,则AE=y,AF=x,DF=y-x, 是=三，x+y-y=0. “y0,(5)+号-1=0： 部得-1生少（医信已会去需- 2 3.证明：如图，延长AF交BC的延长线于 点H. 由题意，得∠DAF=∠H=∠EAH, ∴.EA=EH 'AD∥CH,△CF∽△ADF, 膘鼎 设AB=2a.E为BC边的中点， ∴BE-EC-a,∴EA-EH=5a,∴.CH=(5-l)a 器需 2a 2 4.证明：如图，这点E作EM⊥AB于 点M. :BE是∠ABC的平分线，∠ACB= ∠BME=90°， ∴.CE-ME. :∠A=∠A,∠AME=∠ACB, 44 上册参考答案 157模型构建专题 构建相似三角形的基本模型 模型① “A”字型 2.如下图，已知∠ADE=∠ACB,BD=8,EC =4,CF=2.求DF的长 模型分析：两个三角形都有一个公共角∠A, 需再求出另一组对应角相等或该角的两边对 应成比例.当题中未明确相似三角形对应顶 点时，需分类讨论： 基本模型（图示）： 3.如下图，已知∠BED=∠BCD.求证：△ACE c△ABD. 正A字型 斜交型 双委直共到 1.如下图，已知AB∥CD,AD与BC相交于点 E,EF∥AB,交BD于点F.求证：AB十C 1 -EF 模型③ 一线三等角模型 模型分析：①如图①，点P在线段AB上（同 侧型)，已知∠1=∠2=∠3，结论：△APC CP△BDP: ②如图②，点P在线段AB的延长线上（异侧 型)，已知∠1-∠2-∠3，结论：△APC c∽△BDP; ③如图③，以等腰三角形或等边三角形为背 模型②“8”字型 登，三个等角顶点在同一直线上，也形成一线 三等角模型，其中∠1-∠2-∠3，可根据三 模型分析：有一组脆含的等角（对顶角），从题 角形外角的性质得到另一组等角，从而得出 中得到另一组对应角相等即可证明两三角形 图中两阴影部分三角形相似 相似.当题千未明确相似三角形对应顶点时， 需分类讨论。 基本模型（图示）： 基本模型（图示）： X ② 期③ 九年级数学HK版 4.如右图，AB⊥BD,CD⊥BD, 模型④ 旋转型 AB=12,CD=8,BD=28,点P 模型分析：如图①，已知DE∥BC,将△ADE 在BD上移动.当以P,C,D为 绕点A旋转一定的角度，连接BD,CE,如图 顶点的三角形与以P,A,B为顶点的三角形 相似时，求BP的长 @,则布铝-怎∠BAD-∠CAE,从页得 出△ABDE∽△ACE. 基本模型（图示）： 绕点A转△ADE 图① 图2 6.如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=9, AC-12,D是AB上一点（不与点A,B重 合)，过点D作DE∥BC,交AC于点E,如图 ②，把△ADE绕点A顺时针旋转a°(0<a 90),连接BD,BE,CE.求证：△ADB c∽△AEC. 5.如右图，在△ABC中，AB=AC, 点E在边BC上移动（点E不与 点B,C重合)，满足∠DEF 图 图② ∠B,且点D,F分别在边AB, AC上. (1)求证：△BDE∽△CEF. (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE 平分∠DFC 上册第22章