第22章 方法技巧专题 证明比例式或等积式的常用技巧&安徽热点专题 与黄金比有关的证明-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（沪科版）

如题图②，△ADE绕点A颗时针旋转a”过程中， :∠DAE=∠BAC=90°，.∠DAB+∠BAE=∠EAC- ∠BAE=9O°，∴∠DAB=∠EAC 又0-2△ADB△ABC 方法技巧专题证明比例式或等积式的 常用技巧 1.证明：AB=AC,D是边BC的中点， AD⊥BC,∴.∠ADC=90°，.∠ADE+∠CDE=90° 'DE⊥AC,.∠CED=90,∴∠CDE+∠C=90, ∴.∠ADE=∠C 又：∠AED=∠DEC=90°，，△AEDO△DEC, 器说 2.证明：1)，AB=AC,∴∠B=∠C :'∠EDF=∠B,∠EDC=∠B+∠BED=∠EDFH ∠CDF,∴，∠BED=∠CDF,∴，△BDE∽△CFD (2)D是BC的中点，.BD=CD. 由可知，△BDEn△cFD,第8ES-是 又：∠EDF=∠B=∠C,△CDF∽△DEF, 架-器D=E,CR 3.证明：：△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=,∠BAC=60° ∴.∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60 :∠DAE=120°，.∠DAB+∠CAE=60°， ,∠D=∠CAE,∠DAB=∠E, △DBA△ACE,器-器 △ABC是等边三角形，.AB=AC=BC, .BC=CE·DB. 4,证明：：四边形ABCD是正方形， ,∴，∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC BF⊥DE,.∠GFD=90°，.∠BCD=∠GFD. “∠BGC=∠DGF,△ADGF,器-器 又AB=BC,器二 5.证明：∠BAC=90°，AD⊥BC,.∠CAB=∠ADB. ∠CBA=∠ABD,∴·△CBA∽△ABD, ÷品品∠C-∠BAD.:DA-AB:ACD ”E为AC的中点，AD⊥BC,ED=AE=EC ∴.∠C=∠EDC=∠FAD=∠FDB 又：∠F=∠R,△ADF△DBR,品-器， .DB:AD=DF:AF,② 由D②，得AB:AC=DF:AF, AB·AF=AC·DF 6.证明：如图，过点D作DG∥BC交 AC于点G,则△ADG v△ABC, △DGF∽AECF, .AD-DG DG 品提 A0=cE,器-器能-器， 即AB·DF=BC,EF 7.证明：如图，连接AC ,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=CB,.∠D=60 △ACB是等边三角形，∠BAD=120°，.∠BAG=6C°，A -AC. ∠EAF=120°，∠EAF=∠BAD, ∠EAB=∠DAF ,∠EAC=60°+，∠EAB,∠AFC=60 +∠DAF, .∠EAC=∠AFCa 易知∠ACE=∠FCA=60°， △ACE0△FCA,-e AB-AC得-器 8.证明：(1)，四边形ABCD是菱形 ∴DC∥AB,DC=AB,.DC∥BE, △DCv△BER,器-器铝-器 (2)如图，连接AC交BD于点H, 则AC⊥BD,.∠DHC=90" ,CF⊥AB,CD∥AB, ,∠DCF=∠BEC=90°，，∴.∠DHC =∠DCF '∠HDC=∠CDF,∴.△HDC∽△CDF, 盟Dc D是-F,DF·DH=DC :DH-BH-DB,DC-BC, DF.DB-BC,DF.DB-28C. 安徽热点专题与黄金比有关的证明 1.证明：在△ABC中，AB=AC,∠A=36,∠ABC=∠C=72 :BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36, ..AD-BD,/BDC=72,..BD=BC,..AD=BC. ,'∠C=∠C,∠CBD=∠A, .△BCD△ACB,∴.BC:AC=CD:CB, .AD+AC-CD AD,.AD=CD.CA ,D为线段AC的黄金分割点」 2.证明：四边形ABCD是矩形，.DC∥AE,DC=AB, △CP△AER,是器 设CD=x,AD=y,则AE=y,AF=x,DF=y-x, 是=三，x+y-y=0. “y0,(5)+号-1=0： 部得-1生少（医信已会去需- 2 3.证明：如图，延长AF交BC的延长线于 点H. 由题意，得∠DAF=∠H=∠EAH, ∴.EA=EH 'AD∥CH,△CF∽△ADF, 膘鼎 设AB=2a.E为BC边的中点， ∴BE-EC-a,∴EA-EH=5a,∴.CH=(5-l)a 器需 2a 2 4.证明：如图，这点E作EM⊥AB于 点M. :BE是∠ABC的平分线，∠ACB= ∠BME=90°， ∴.CE-ME. :∠A=∠A,∠AME=∠ACB, 44 上册参考答案 157 △AME△ACB,∴-铝器-器 '∠CBD=∠ABC,∠BDC=∠BCA, 六△BCDn△BAC,器0 .BC=AD,CE-ME, :C=EM_BC BC AE AE AB BD十AD + BC 1 整理 AB BC 得（器）'+器-1=0， 48+1 解神器-号独值已合去器- AE 2 22.4图形的位似变换 第1课时位似图形及其性质 1.A2.A 3.解：如图，四边形ABCD即为所求 4.B5.11400 6.解：(1)如图，点O即为所求 (2)如图，△ABC即为所求 0 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 1.D2.(3,3 3.解：(1)如图，△ABC即为所求。 (2)如图，△A1BC即为所求.△A1B1C与△ABC是 困形，且相似比为之 4.B5(号2威(-号-2 6.解：(1)如图，点P即为所求 (2)如图，△OA2B:即为所求. 22.5综合与实践测量与误差 1.C2.12.53.60变式题364.120 5.解：如图，过点F作FGLCD,垂足为G,延长FG交AB于点 158 九年级数学HK版 由题意，得FH⊥AB,AH=CG=EF =1.4 m;AC=GH=20m,CE=FG= 10m,CD=7m, ∴.∠DGF=∠BHF=90°，DG=CD -CG=5.6m. 又：∠DFG=∠BFH, .△FDG∽△FBH 10 ..BH=16.8 m,..AB=BH+AH=18.2m. 故塔AB的高度为18,2m 单元整合训练相似与全等的 综合运用（跨单元） 1.证明：(1)，四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠ADE=∠CDE=45 又DE=DE,△ADE2△CDE(SAS). (2)△ADE2△CDE,∴.∠DAE=∠DCE. ,AD∥BC,.∠DAE=∠F,.∠DAE=∠F=,∠DCE 又'∠CEG=∠FEC,∴.△EGC∽△ECF 2.证明：(1)，AD=AF,'.∠ADF=∠AFD ·∠DAF=180°-2∠ADF 由旋转的性质，得AD=AC, ∴∠ACD=∠ADC,∴∠CAD=180"-2∠ACD. 由旋转的性质，得∠ACD=∠ADF, .∠CAD=∠DAF 由旋转的性质，得∠BAE=∠CAD, .∠DAF=∠BAE 由旋转的性质，得AB=AE 又，AD=AF,∴.△ABD2△AEF(SAS) (2)'△ABD2△AEF,.BD=EF, ∠ACD=∠ADC,∠ACD=∠ADF .∠ADC=∠ADF,∠BDF=180°-2∠ADP, ·∠BDF=∠BAD :∠B=∠B,·△BDF∽△BAD, 小器部BD-BF,AB∴EF-BP,AB 3.证明：(1)四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ADE=90°，AB=DC, ∴.∠ABD+∠ADB=90 :AE⊥BD, ∴∠DAE+∠ADB=90',∴∠ABD=∠DAE. '∠BAD=∠ADE=9O',∴△ADED△BAD, 贺器AD=DE,BA ,AB=DC,.AD=DE·DC (2)如图，连接AC,交BD于点O :四边形ABCD为矩形，∴∠ADE 90,QA=OD=BD, ∴∠DAE+∠AED=90. ,AE⊥BD ∴.∠DAE十∠ADB=90°，∴.∠ADB =∠AED. :∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC OA-OD-BD,EF-CF-BD, .OA=OD-EF=CF. ∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE, ,.∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE ∠ODA=∠FEC 在△ODA和△FEC中， ∠OAD=∠FCE, H OD-FE,方法技巧专题 证明比例式或等积式的常用技巧 题型①利用三点定形法 题型② 等量替换法 1.如下图，在△ABC中，AB-AC,D是边BC 3.如下图，△ABC是等边三角形，点D,B,C,E 的中点，DE⊥AC,垂足为E,连接AD.求 在同一条直线上，且∠DAE=120°.求证： 证器-提 BC=CE·DB. 2.(2024-2025邵阳新宁月考)如下图，在4.(2024一2025娄底双峰期中)如下图，四边形 △ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一 在BA延长线上，点F在AC边上，连接 点，过点B作BF⊥DE于点F,交AC于点 DE,DF,EF,∠EDF=∠B.求证 (1)△BDEV△CFD. H,交CD于点G,求证%- (2)DF=EF·CF. 4 九年级数学HK版 5.如下图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD7.转化思想如右图，在菱形 ⊥BC于点D,E为直角边AC的中点，连接 ABCD中，∠ABC=60°，E ED并延长，交AB的延长线于点F,求证： 是射线CB上一点，F是CDE AB·AF-AC·DF. 上一点，且∠EAP=120,求证：铝0 题型③利用作辅助线法 8.(2024一2025上海浦东新区期中)如下图，在 6.如右图，已知△ABC的 菱形ABCD中，CF⊥AB,垂足为E,CE与 边AB上有一点D,边 BD相交于点F BC的延长线上有一点 ④求证能器 E,且AD-CE,DE交B (2)求证：DF·DB=2BC. AC于点F,求证：AB·DF=BC·EF 上册第22章 安徽热点专题 与黄金比有关的证明 题型与黄金比有关的证明 3.如右图，在正方形ABCD中，E 1.如下图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°， 为BC边的中点，AF平分 ∠ABC的平分线BD交AC于点D.求证：D ∠DAE交CD于点F,BD与 为线段AC的黄金分割点(AD=CD· AE交于点G,连接EF.求证： CA). 器5 4.如右图，在△ABC中， 2.(2025安庆迎江区期末改编)如下图，已知四 ∠ACB=90°，CD为AB 边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线 边上的高，∠ABC的平 上，AE=AD,EC与AD相交于点F,AF= 分线BE分别交CD,AC于点F,E.若BC AB求证器6 2 AD,求证噩- 九年级数学HK版