第21章 情境应用专题 二次函数的实际应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（沪科版）

情境应用专题 二次函数的实际应用 题型① 几何图形面积的最值问题 (2)若要求制作的长方体容器的底面长不大 1.某社区决定把一块长50m、宽30m的矩形 于底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈 空地建成居民健身广场，设计方案如下图 处理，侧面的处理费用为每平方分米0.5 阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形 元，底面的处理费用为每平方分米2元.当 状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四 裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最 周的4个出口宽度相同，其宽度不小于 低？最低为多少？ 14m,不大于26m.设绿化区较长边为xm, 活动区的面积为ym2, (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自 变量x的取值范围。 (2)求活动区的最大面积. 3.某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生 产并销售，每日产销x件.已知A产品成本 价m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价8 元/件，每日最多产销500件，同时每日支付 专利费30元：B产品成本价12元/件，售价 题型②费用最优化及利润最大化问题 20元/件，每日最多产销300件，同时每日支 2.工人师傅将一块长为10dm、宽为6dm的矩 付专利费y元，y与每日产销x(单位：件)满 形薄铁皮的四角各裁掉一个相同的正方形 足关系式y=80+0.01x2.〔利润=（售价一 (如图①)，然后把四周折起来焊成一个长方 成本)×产销数量一专利费】 体容器（如图②，薄铁皮厚度不计） (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为 元、元，请分别写出，边与x之间 的函数关系式，并写出x的取值范围。 ① 图② (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利 (1)若长方体容器的底面面积为12dm2,则 润(A产品的最大日利润用含m的代数式表 裁掉的正方形的边长为多少？ 示) 26 九年级数学HK版 (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产5.如下图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的 销哪种产品？ 截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形 的三边AE,ED,DB组成.已知河底ED是 水平的，且ED=16m,AE=8m,抛物线的 顶点C到ED的距离是11m,以ED所在的 直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平 面直角坐标系。 ym号 年睡 E 0 D x/m (1)求抛物线对应的函数表达式， (2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底 ED之间的距离h(单位：m)随时间t(单位：h) 的变化满足函数表达式h=一 28t-19)2+8 (0≤≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于 5m时，禁止船只通行.在这40h内，有多少 小时禁止船只通行？ 题型③其他抛物线型问题 4.跨物理学科“水幕电影”的工作原理是把影 像打在抛物线形状的水幕上，通过光学原理 折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水 柱组成的（如下图），水柱的最高点为P,AB =2m,BP=10m,水嘴高AD=6m.若以A 为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所 在的直线为y轴建立平面直角坐标系 (1)求图中抛物线的表达式， (2)求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC. 4(0 上册第21章=-号x-25+12250. 200-x≥180，.x≤20， ∴当x=20时ak=-号×(20-253+12350=1240 (元)， 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润 为12240元. 教材变式专题与二次函数有关的几何 图形面积最值问题探究 1,解：设矩形土地ABCD的面积为Sm2,AB=xm,则BC 7(900-3z s=x·(900-3z=-(2-30x)= 2 (x- 150)2十33750 x>0,900-3x>0,.0<x<300 又-是<0当x-150时，Saa-3750, ÷AB=150m,BC=7(900-3x)=25m 答：当AB,BC的长分别是150m,225m时，矩形土地ABCD 的面积最大，最大面积是33750m 2.解：设劳动实践基地的面积为Sm2,BC=xm,则AB= 0兰-(20-）m, 3 s=z(20-号）=-号x-60a)=-子x-30y+30. :-子<0,0<x<35,当x=30时，5a相=300. 答：当基地长度BC为30m时，该劳动实酸基地的面积最大， 最大值为300m2, 3.解：设矩形苗图ABCD的面积为Sm,它的一边AB的长为 xm,则BC的长为32-3x十2×2=(36一3x)m: ∴.S=x(36-3x)=-3x2+36x=-3(x-6)2+108. .-3<0, .当x>6时，S随x的增大而减小 7x>0,36-3x<14,>号 号>6当x-号时，S有最大值，S-婴 答：当AB的长为号m时，矩形苗眉ABCD的面积最大，最 大面积为婴位 情境应用专题二次函数的实际应用 1.解：(1)根据题意，得每块绿化区的宽为[30一(50一2x)]÷2 =(x-10)m, ∴.y=50×30-4x(x-10)=-4x2十40x十1500. :出口宽度不小于14m,不大于26m,∴14≤50-2x≤26， .12x≤18， ∴.y=-4x2十40x十1500(12≤x≤18) (2)y=-4x2+40x十1500=-4(x-5)3+1600. a=一4<0，.抛物线的开口向下， .当12≤x≤18时，y随x的增大而减小， .当x=12时，y0支■1404， 故活动区的最大面积为1404m2 2.解：设裁掉的正方形的边长为xdm. (1)由题意，得10一2x)(6-2x)■12，解得x1■2，x■6（不 合题意，舍去)， 即裁掉的正方形的边长为2dm. (2)设总费用为y元， 则y=210-2x)(6-2x)十0.5[2x(10-2x)十2x(6-2x)] =4(x-6)3-24. .5 由题意，得10一2x≤5(6-2x),解得x≤之 根据二次函数的性质可知，当边长为受加时，总费用最低， 录低为4×（停一-6）-24=25（元 4 3.解：(1)根据题意，得=(8一m)x一30(0≤x≤500)， =(20-12)x-(80+0,01x2)=-0.01x2+8x-80(0≤x ≤300). (2)8一m>0,.随x的增大而增大 又0≤x≤500， ,当x=500时，有最大值，h量大=一500m十3970. %■-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2十1520，且 -0.01<0,对称轴为直线x=400, ∴当0≤x≤300时，两随x的增大而增大， ·当x=300时，量*=-0,01×(300-400)2+1520 =1420. 故A产品的日利润为（一500m十3970》元，B产品的日利润 为1420元. (3)①若w最大=大，即-500m十3970=1420，解得m= 5.1: ②若m*>*,即一500m十3970>1420，第得m<5.1: ③若m大<0大，即-500m十3970<1420，解得m>5,1 又，4≤m≤6，，为获得最大日利润： 当m=5,1时，选择A,B产品产销均可： 当4≤m<5.1时，造择A种产品产销： 当5,1<m≤6时，选择B种产品产销. 4.解：(1)由题意，得地物线顶点P(2,10),D(0,6), 设抛物线的表达式为y=a(x一2)2+10. 将D0,6)代人，得4a十10=6，解得a=-1, 抛物线的表达式为y=一(x一2)产十10， (2)当y=0时，0=-(x-2)2+10, 解得x=2十/0，x:=2-/10(舍去)， .C(2十/10,0)， .水柱落点C与水霸底部A的距离AC为(2十/I0)m. 5.解：(1)，点C到ED的距离是11m, .0C=11m. 设抛物线对应的函数表达式是y=azx2+11. 由题意，得B(8,8). 将点B的坐标代入y■ax+11,得64a十11=8， 部得a-一备y-一高十1 (2)由题意，得水而与河底ED之间的距离至多是11一5 6(m),船只才能通行. 1 令6=一1z-19》2+8, .(t-19)=256,解得t1=35,t1=3. 35-3=32h), 即在这40h内，有32h禁止船只通行 21.5反比例函数 第1课时反比例函数 1 1.B2.-名x0 3解：()R=9,是反比例函数。 (2)W=1.5t,是正比例函数. (3)y=”且m≠0，是反比例函数. 4.C变式题y= 4444444 上册参考答案 149