22.2 第2-4课时 相似三角形的判定定理-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（沪科版）

第2课时相似三角形的判定定理1 y 要固榄理 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似 已课内基础闯关 3.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,AEI 知识点相似三角形的判定定理1 BC于点E,交BD于点F.下列三角形中，不 1.如图，在△ABC中，D是边 一定与△BCD相似的是 BC上的点，∠ADC= A.△BFE B.△AFD ∠BAC,则下列结论正确的 C.△ACE D.△BAE 第1题固 是 ( 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点 A.△ABC∽△DAB D在AC上，DE⊥AB于点E. B.△ABC∽△DAC 若AC=4,AB=5,AD=3,则 C.△ABD∽△ACD AE的值为 D.以上都不对 第4题图 5.(2025合肥包河区期末)如下图，在△ABC 变式题已知条件判定相似→已知相似补充 中，D为BC上一点，E为AD上一点.若 条件 ∠DAC=∠B,CD=CE,求证：△ACE (1)条件补充题(2024滨州)如图，在 C∽△BAD. △ABC中，点D,E分别在边AB,AC上.请 添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个 条件可以是 (不添加 字母及辅助线). 变式题(1)图 变式题(2)图 (2)如图，已知∠B=∠D=90°，请添加一个 6.将两个全等的等腰直角三角形摆放成如下 条件使△ABC与△DCE相似： 图所示的样子（图中所有的点、线都在同一 (不添加字母及辅助线). 平面内).求证：△BAE△CDA. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥ AC交AC于点D,则图中相似的三角形有 A.1对B.2对 C.3对 D.4对 第2题闹 第3题周 52 九年级数学HK版 已课外拓展提高 综合能力提升 7.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB, 10.推理能力(2024一2025六安裕安区月考) AC上，DE∥BC,∠ACD=∠B.下列判断 (1)如图①，在矩形ABCD中，E为AB边 中，不正确的是 上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交 A.△ADE∽△DBCB.△CDE∽△BCD BC于点F. C.△ADE∽△ACDD.△ADE∽△ABC ①求证：△AEDC∽△BFE; ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，则 BF的长为 (2)分类讨论思想如图②，在△ABC中， 第7题围 第8题图 ∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边 8.如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别在 上一点（点E不与点A,B重合），连接CE, 边BC,AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC, 过点E作∠CEF=45°交BC于点F.当 DE=2.4,则AD的长为 △CEF为等腰三角形时，BE的长为多少？ A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 变式题如图，△ABC是等边三 角形，点D在边AB上，以CD 为边作等边三角形CDE,DE 与BC交于点F.如果AP=1 DB2, 变式题 AC=6,那么BF的长为 9.转化思想如下图，在△ABC中，∠ACB 90°，P为△ABC内部一点，且始终满足 ∠ACP=∠CBP,延长BP交AC于点D. 1)求证：CD=DP·DB. (2)若∠APB=90°+∠CBA, 求证：AD=CD 上册第22章 53△ 第3课时相似三角形的判定定理2 8y 要固榄理 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已课内基础闯关 知识点相似三角形的判定定理2 1.如图，下列三角形中，与△ABC相似的是 第5题围 变式题图 变式题如图，在△ABC中，D,E分别在 BA,CA的延长线上.已知AB=4,AC=5, BC=BD=6,AE=2.5,则ED的长为 ( A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 530 6.(2024广州)如下图，点E,F分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF =2.求证：△ABE∽△ECF 754 6 第1题图 第2题图 2.(2024一2025合肥瑶海区期中）如图，已知 ∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍 无法判定△ABC∽△ADE的是 () A铝罡 B.∠B=∠D c铝能 D.∠C=∠AED 3.如图，在△ABC中，AC是BC,DC的比例中 7.如右图，在△ABC和△ADE 项，则△ADC 中，∠BAD=∠CAE,∠ABD =∠ACE.求证：△ADE C∽△ABC 第3题图 第4题围 4.(2024一2025六安金安区月考)如图，在四边 形ABCD中，AC平分∠BAD,且AB=4, AC=6.当AD的长为 时，△ABC ∽△ACD. 5.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB, AC上.若AB=2AE,AC=2AD,DE=3,则 BC的长为 54 九年级数学HK版 ⊙课外拓展提高 (2)连接DG,求证：AB一A正 DG AG 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC 3.下列虚线表示的三角形与△ABC不相似 的是 9.(2024一2025合肥长丰期中)如图，点M,N 分别在△ABC的边AB,BC上，BM= 2AM,BN=2CN.已知∠A=75°，∠BNM =60°，则∠B的度数为 A.35°B.40° C.45 D.55 已综合能力提升 12.推理能力(2025六安舒城期末)如下图，点 A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角 三角形ABC和等腰直角三角形ADE, ∠ABC=∠AED=90°，CD与BE,AE分 第9题图 第10题图 别交于点P,M 10.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和 (1)求证：△BAE∽△CAD △DEF的顶点都在边长为1的小正方形的 (2)连接AP,求证：AP⊥CD 顶点上 (1)∠ABC的度数为 ,∠DEF 的度数为 (2)这两个三角形 相似三角形 (填“是”或“不是”) 11.如下图，在△ABC中，点D在边BC上，AE ∥BC,BE与AD,AC分别相交于点F,G, 贸 (1)求证：△CAD∽△CBG 上册第22章 55△ 第4课时 相似三角形的判定定理3 要固梳理 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似 已课内基础闯关 5.如下图，在△ABC中，D,E,F分别是AB, 知识点相似三角形的判定定理3 BC,CA的中点.求证：△ABCc∽△EFD, 1.如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的 是 B60 第1题围 冷 B 浴 公 6.如下图，四个乡镇A,B,C,D之间建有公路 D 已知AB=12km,BC-33km,CD=27km, 变式题已知三边长判断相似→找寻相似的 AD=22km,BD=18km.试判断AB与CD 的位置关系，并说明理由. 条件 已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm, 9cm,△DEF的一边长为4cm,要使这两个 三角形相似，△DEF的另两边长可以是 ( A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm.6 cm D.6 cm,7 cm 2.若△ABC的每条边长都增加各自的10%得 7.(2024一2025滁州期中)如下图，在边长为1 到△AB'C',则∠B的度数与其对应角∠B 的小正方形组成的网格中，△ABC和 的度数相比 △DEF的顶点都在格点上.求证：△ABC A.增加了10% B.减少了10% Co△DEF. C.增加了110% D.没有改变 3.△ABC的三边长分别为6,8,12，△AB,C的三 边长分别为2,3,2.5，△ABC2的三边长分别 为6,3,4，则△ABC与 相似. 4.已知三角形的三边长分别为4,5,6，画出与 它相似的另一个三角形，使它的一边长为2， 可以画出 个这样的三角形 56 九年级数学HK版 已课外拓展提高 8.如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中 的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是 短综合能力提升 第8题图 第9题围 12.如右图，在Rt△ABC 9.在如图所示的象棋棋盘（各个小正方形的边 中，∠ACB,=90°，点A. 长均相等)中，根据“马走日”的规则，若使 A1在y轴上，且AO= “马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角 C 2A1O,连接BO并延长至 形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的 点B,使BO=2BO,连接CO并延长至点 三角形相似，“马”应落在 C,使C0=2CO A.①处B.②处C.③处D.④处 (1)求证：△ABC∽△A1B1C. 易错点因对应边不确定而致错 (2)若∠B1A1C1=30°，A1(0,-1.5), 10.在如图所示的5×5网格中，每个小 C(-/3,-1.5),求△ABC中边AB 正方形的顶点称为格点，作以格点 的长 A,B,C为顶点且和△OAB相似（相 似比不为1)的△ABC,则点C的坐标 是 第10题图 11.(2025铜陵铜官区期末)如下图，在正方形 网格中，每个小正方形的边长均为1，点A, B,C,D,E都在格点上，连接AB,AE,CE, CD.求∠EAB-∠ECD的度数. 上册第22章FG∥BN,瓷-既=子 GC-3NG. 设EN=NG=a,则GC=3a,.EC=EN+NG+GC=5a, AB-号， AC=AE十EC= 3a+5a=20 aC2 22.2相似三角形的判定 第1课时平行线与相似三角形 1.C2.A 3.解：(1)，△OAC∽△OBD, ÷△0AC与△0BD的相假比是号器=2 (2)△QAC∽△OBD,0A=4,AC=2,0B=2, :器-品脚告-品条得B0=1, 4.C5.D6.37.10.5 a证明：DN∥BM,△ANDn△AMB,器=8 ,NE∥MC,∴.△ANE△AMC, 瓷器器提 9.A10.C11.2÷512.15 13.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,.△EGP△EAB, ÷贸-器期9-异解得c0-1. 2 (2)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥CB,AB∥CD: ,△AFD∽△EFB,△DFG∽△BFA, -器爵器…紧蛋， .AF2=FG·EF 14.解：(1)正明：如图，取CD的中点G,逢接EG,测DG= D. 1 :AE是BC边上的中线，即E为BC的中点， EG是△CED的中位线，∴EG∥BD, ADPAGE.器-是 AD-AF,.AG-AE,..EF-DG DG-CD,EF-CD. (2)由(1)，得EG∥BD, △CEGACBD,品-器-号 设EG=x,则BD=2x. DF=2,,BF=2x-2. 由(1)可得△ADF∽△AGE 裙-能-器-兰c-是 AD 2 AD D6=c6,品-畿9- 解得x2十√2.经检验，x=2十√2是原分式方程的根， .BF=2x-2=2+2 第2课时相似三角形的判定定理1 1.B 变式题(1)∠ADE=∠C(答案不难-〉(2)∠A=∠DCE (答案不唯一) 154 九年级数学HK版 2.03.D4.号 5.证明：CD=CE,∴∠CDE=∠CED. ,∠ADB=180°-∠CDE,∠CEA=180°-∠CED. ∴.∠ADB=∠CEA 又∠DAC=∠B,△ACE∽△BAD 6.证明：，△BAC和△AGF都是等腰直角三角形， ∠B=∠FAG=∠C=45°，∠BAE=45°+∠BAD 又：∠CDA=∠B+∠BAD=45"+∠BAD, ∴.∠BAE=∠CDA ,'∠B=∠C,∴·△BAEn△CDA 7.A8.C变式题号 9.证明：(1)，∠ACP=∠CBP,∠CDP=∠CDB, ∴△CDPABDC,器-8CD=DP,DB (2):∠APB=90°十∠CB4, .∠APD=180°-(90°十∠CBA)=90°-∠CBA ∠ACB=90.∴.∠CAB=90°-∠CBA, ∴.∠DPA=∠DAB. :∠ADP=∠BDA,△ADP△BDA, 小品器AD=DpDB 又CD=DP·DB,∴AD=CD 10.解：1)①证明：，四边形ABCD是炬形，EF⊥DE, ,.∠A=∠DEF=∠B=90°， ',∠ADE十∠AED=∠BEF十∠AED=90, ∴∠ADE=∠BEF,∴△AEDn△BFE. ②超 6 (2),∠ACB=90°，AC=BC,,∠CAB=∠CBA=45, ,∠CEF=45°， ∴.∠ACE+∠CEA=∠BEF+∠CEA=135°， ∴.∠ACE=∠BEF, '.△ACE∽△BEF,∴.AC:BE=CE:EF AC=BC,AB=4,∴AC十BC=AB2=42,解得AC=BC =2/2. “,△CEF为等腰三角形，且∠ECF≠90°， 分以下两种情况讨论： ①当EC=EF时，AC:BE=1,即BE=AC=2J2； ②当FC=FE时，∠ECF=∠CEF=45,∴.∠CFE=90°， 'CE=/EF十C=ECF,∴.ACBE=CE:CF=E, ∴.BE=2. 综上所述，BE的长为22或2 第3课时相似三角形的判定定理2 1.C2.C3.△BAC4.95.6变式题A 6.证明：BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9. ,四边形ABCD是正方形， AB=BC=9,∠B=∠C=90 瓷-号-号，器-号，小能-器△ABB△BCR 7.证明：∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE, △ABD△AcE,2-铝铝怨 ,∠BAD+∠DAC=∠DAC十∠CAE,即∠BAC=∠DAE .△ADEC△ABC 8.D9.C10.(1)135°135°(2)是 1.正明，：2-紧∠AFG=∠EFA, △FAGP△FEA,∠FAG=∠E AE∥BC,∠E=∠EBC,·∠FAG=∠EEC 又：∠C=∠C,∴△CADk△CBG. (:△CADACBG,器-器器-器 又：∠C=∠C,△cD0ACAB,%-器 AE/BC△A0ACBG铝-瓷即器0 器怨 12.正明：(1)：△ABC和△ADE都是等患直角三角形，∠ABC =∠AED=90°，AC=√EAB,AD=√EAE,∠BAC= ∠EAD=4,器-罡 :∠BAC=∠EAD, .∠BAC十，∠CAE=∠EAD十∠CAE,即∠BAE= ∠CAD,.△BAE∽△CAD. (2),△BAEP△CAD,∴.∠BEA=∠CDA 又'∠PME=∠AMD, ∴△PNE△AMD器器器畿 PM AM 又.'∠PMA=∠EMD,∴.△PMACO△EMD, ∴∠APM=∠DEM=90,∴.AP⊥CD 第4课时相似三角形的判定定理3 1.D变式题C2.D3.△A2B2C24.3 5.正明：D,E,F分别是AB,BC,CA的中点， .DF,EF,DE是△ABC的中位线， DF-7 BC,EF-AB,DE-TAC, :畏-器-是=含∴△ABc△ED 6.解：AB∥CD.理由如下： 由题意，得品酱=兰-号-子瓷-器=子， ÷品-畏-是ADC. .∠ABD=∠BDC,∴AB∥CD 7.正明：由题意，得AB=5,EF=2. 根据勾股定理，得AC=5,BC=0,DE=o,DF=E. :DE=@,毁=2=画DF-区-@ AB5'C而5'AC5 5 器-器-÷△ABcn△DER 8.A9.B10.(3,2)或(4,0) 11.解：如图，连接AD,EF AE=2+1平=5，EC=√+3 =/10,AD=√E,DE=1,EF=√E,CF 瓷-0咒-， .△EADo△ECF,∴·∠EAD=∠ECD, ,.∠EAB-∠ECD=∠EAB-∠EAD=∠DAB=45 12都：①证明：由题意，得8-器-g∠A0B-∠A0a, △A0BAA08∴-欲=2 民可得，瓷-器-瓷器-2 0=器-瓷-2△MC△AG (2)A1(0,-1.5),C(-5,-1.5),AC1=5 ∠A1C1B1=90°，∠B1AC■30°， .设B1C=x,则A1B=2x 根据勾股定壅，得x2十《B)2=(2x2, 解得x=1(负值已舍去)， A品=2红=2由0D,得名资=2，AB= 第5课时直角三角形相似的判定 1.A变式题10 2.解：(1)Rt△ABC与Rt△A'B'C相似.理由如下： ∠C=∠C=90,.Rt△ABC∽Rt△A'B'C' (2)Rt△ABC与Rt△AB'C不相似.理由如下： 在Rt△AB'C'中，∠C=90°，A'C'=JAB-BCT= √35)-(/30=/5. 又品尧器 ,Rt△ABC与R△A'B'C'不相似. 3.解：在Rt△ACD中，AC=,AD=2, .CD=ACAD= :∠ACB=∠D=0,分以下两种情况讨论： ①当指-是时，△ACDn△ABC,AB=品 AD 3: ②当能-是，△ACDn△BAC.BA--品=3E 综上所述，当AB的长为3或3E时，△ACD与△ABC 相似. 4.A5.D6.D7.C 8家，证明：AB·BD=AD,BC,0-器 ,∠ABC=∠ADB=90',,△ABC∽△ADB. (2):∠BDE=180°-∠ADB=90°，∠ABE=180°-，∠ABC =90°， ∠E=∠ABD=90°-∠DBE ,△ABC∽△ADB,.∠C=∠ABD, .∠C=∠E,∴.AE-AC=10. '∠BDE=∠ABE,∠E=∠E, △BDEn△AE,荒-器 :BE-DE-器号-号 9.解：(1)不相似.库由如下： '∠A=∠D=90°，AB=DE=3,AC=2DF=4, r=祭=号能- 品≠品△AC与ADEP不相数 (2)能作辅助线进行分割 证明：如图，作∠BAM一∠E,AM交BC于点M:作∠NDE =∠B,DN交EF于点N,则△BAMC∽△DEN, :∠BAM=∠E,∠NDE=∠B,∠AMC=∠BAM+∠B, ∠FND=∠E+∠NDE. .∠AMC=∠FND. :∠FDN=90°-∠NDE,∠C=90-∠B, ∴.∠C=∠FDN,∴.△AMCx∽△FND 故能作辅助线进行分割 22.3相似三角形的性质 第1课时相似三角形的性质定理1 1.D2.C3.号4.7.5 5.解：AF是∠BAC的平分线，D,E分别是边AB,AC上的 44 上册参考答案 155