21.4 第2课时 “抛物线”模型问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（沪科版）

得4一n=(2一m)2,即n=一m2十4m. AC=4,.当m>4时，点C不在抛物线上， ∴.0<m<4,.n=一m2十4m(0<m<4) 方法技巧专题求二次函数表达式的方法 1.解：当x=0时，y=-1×0十3=3， ∴.一次函数y=一x十3的图象与y轴的交点坐标为(0,3)， 当y=0时，一x十3=0，解得x=3, ∴.一次函数y=一x十3的图象与x轴的交点坐标为(3,0). 将(1,4)，(0,3)，(3,0)代入y=ax2+bx十c, f4=a十b+c, a=-1, 得3=c, 解得b=2, 10=9a+3b十c, 【c=3, ·该抛物线的表达式为y=一x2十2x十3， 2.解：由题意，得二次函数的图象与x轴交于（一4,0），(2,0)两 点，且顺点的横坐标为一1. ,顶点在函数y一2x的图象上， ·y=2×(-1)=-2,∴.顶点坐标为(-1，一2). 设这个二次函数的表达式为y=a(x十1)3-2. 把2,0代人y=a红+1r-2,得0=9a-2,部得a=子 y+10-2-号+合-9 故这个二次函数的表达式为y号+亭x一兽 3.解：点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0)， .AO=1,OB=4,AB=A0+0B=1+4=5. .OC=AB=5,即点C的坐标为(0,5). 设二次函数的表达式为y=a(x十1)(x一4). 把(0,5代人，得5=-4a,解得4=-年， y=-音e+1z-, 即二次函数的表达式为y=-平+只x+5 4.A 5.解：1的图象经过点(1,1)， .2-2m十m十1=1，解得m=2, 六4=2x2-4x+3=2(x-1)°十1，为+为=2x2-4x十 十ax2十bx十c=(a十2)x2十(6-4)x十c十3. “十为与为关于x轴对称， .为十yg=-2(x-1)2-1=-2x2+4x-3, a+2=-2, a=-4, .6-4=4,解得6=8， c+3=-3, c=-6, ·二次函数为的表达式为为=一4x2十8虹一6， 21.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 1.B变式题>子21=-14=43B4C 5.(1)4(2)m=0或m>4 6.解：由题意可知，当y=0,即x2一2mx十m2一1=0时，有x1 两根，x1十xg■2m,1x=m2-1. 对十x=4,.xi十=(1十x2)2-2x1=4m2-2(m -1)=4, 解得m=1,m=一1 综上所述，m的值为1或一1. 第2课时二次函数与一元二次不等式 1.D变式题2<x3 2.-1<x<2变式题D3.A4.x<1或x>3 5.解：1)1或- (2)当k=1时，y=x2十x-2. 为>为，.x2十x-2>x十2. 整理，得(x十2)(x一2)>0，解得x<一2或x>2: 当=-时=-子子-2 “>%,--子-2>叶2 整理，得(x十2)(x十10)<0，解得-10<x<-2. 综上所述，当k=1时，x<一2或x>2:当= 号时，-10 x<-2 强化训练专题二次函数的图象与系数的关系 1.A2D3.D4.C5.B6.C7.B 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形面积的最值问题 1.B2.C变式题115变式题2200 3解：由题意得S-子12-)=一合+红-一合红一6+ 18,.当x=6cm时，S最大，最大面积是18cm2 4.解：如图，设AC,BD交于点O,四边形公园的面积为S S-SAAR+SAAAC BO+AC.DO =AC·BD, AC+BD=160,..AC=160-BD, 六S=壹(160-BD)·BD= (BD-160BD) 2(BD-80+320. :-令<0,0<BD<160,当BD=80时，S最大，即该四 边形公园的最大面积为3200m2, 5.c6号 7.解：0)：S=SBG=0G=2BC 设BG=b,则BC=2b S2=S1,BE·b=x·26,.BE=2x, .AE=AB十BE=x十2x=3x 3AD+AE十GH十DF=3AD+3x十2x十3x=12, AD-12与=4-号>0，解得<受 3 ∴x的取值范围为0<x<受 (2)由1)知，AD=4-号x,AE=3z,y=AD·AE=(4 是3z=-82+12z=-8(红-+号 -8<0, 六当x=子时y有最大值，此时最大值为号，y关于x的 表达式为y=-82+12x,面积的最大值为号m, 8.解：(1)y■x十4 (2)S关于x的函数表达式为S=是2-8x+64=是{x 号)'+64-号 S的最大值为56， 第2课时“抛物线”模型问题 1.D 2.解：由题意可知，该抛物线经过点(0,4)，（一4,0），(4,0). 可设该抛物线对应的函数表达式为y=ax十4 上册参考答案 147 将，0)代入，得16a+4=0,解得a=- 六该抛物线对应的函数表达式为y=一了十4 当=1时=-子×1+4=3.75， 3.75-0.5=3.25(m). 故该辆货车的最大高度应是3.25m, 3B40 5解：1)9 (2)表演成功.理由如下： 当x=4时y=-子×十3X4十1=34 即点B队，.)在抛物线y=一是十3x十1上， ,这次表演成功 6.C7.能 8.解：如图，建立平面直角坐标系」 由题意，得B(0,0.5),C(1,0). 设抛物线的函数表达式为y=ax2+c(a≠0)， 代人点BC的金标，得+标得但 {c=0.5, 抛物线的函数表达式为y=一0.5x2+0,5. 由题意可知，C的横坐标为0.2，C的横坐标为0.6 当x=0.2时，y=0.48:当x=0.6时，y=0.32. B,C+BaC+B,C+B.C.=2×(0,48+0.32)=1,6(m), 即需要不锈钢管立柱的总长度为1.6×50=80(m), BB B Ca0 C C.0.4 m C 2 9.解：(1)a= 六6=81 1 (2)由10，得y=一x+x =一(-15x+要）)+9 =(x-)‘+平0<<9， “火箭运行的最高点是km,9-1.35=-2.4(km, 4 24=-2十x,整理，得x-15x十36=0， 解得x1=12(不合题意，舍去)，x:=3. 由a0,得y=-合x+8.1, 六2.4=-之工十8.1，解得x=11.411.4-3=8.4(km 故这两个位置之何的距离为8.4km 第3课时实际问题中的一般最值问题 1.D2.C 3.解：设每平方米小香茄产量为Wkg, 根据题意，得W=x[4一0.5(x一2)]■x(一0.5x+5) -0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5. -0.5<0,∴当x=5时，W取得最大值，最大值为12.5. 故每平方米种植5株时，能获得最大产量，最大产量为 12.5kg. 4.解：根据题意，得=(80一x)(280十6x)(0<x≤20)， 即w=-+0x+20=-6(x-9）+29 44444 148 九年级数学HK版 :-6<0,0<1<20,“当x=婴时，0有最大值 ,x取正整数，.当x=17时，w有最大值，最大值为4066 5.C6.2407.C8.D 9.解：(1)设一次函数的表达式为y=kx十b 由题意，得函数y=kx+b的图象过(100,300)，(120,200)两 点， 0十仁8鲜得合8 120k+6=200, ∴.所求函数表达式为y=一5x十800。 份由超，得o≥20.1016 设商场获得的利润为， .w=(x-80)(-5x+800)=-5x2+1200x-64000= -5x-120)2+8000. ,-5<0,100≤x116 .当x=116时，利润最大，最大值为7920 故销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7 920元. 10.解：(1)设y=x十b(k≠0)， 十名-8年得仁 114k+b=52, .y关于x的函数表达式为y=一2x十80(10≤x≤40). (2)设日销售利润为阳元 em(x-10)(-2x+80)■-2x2+100x-800■-2(x- 25)2+450. 故糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大 利润是450元 (3)w=(x一10一m)(一2x十80) =-2x2+(100+2m)x-800-80m 最大利润为392元， :4X(-2)(-800-80m）-00+2m2=392, 4X(-2】 整理，得m2一60m十116=0，解得m1=2,m=58 当m=58时，该种楷果日销量获得最大利润时的销售单价 =54>40，m=58不合题意，舍去， x=一2a 故m的值为2. 教材变式专题二次函数中的最大利润问题 1.解：设文其的销售单价上涨了x元，月销售利润为y元。 ,x十30≤40，，x≤10. 由题意，得y=(240-10x)(30-20+x) =-10x2+140x+2400 =-10(x-7)2+2890. -10<0, .当x-7时，y大=2890， .销售单价为30+7=37（元） 答：文具的销售单价定为37元时可使月销售利润最大，最大 的月销售利润是2890元， 2.解：设销售单价为x元，每天可获得利润为y. 由题意，得y=(x一30)[60+2(70-x)]-500 =-2x2十260x-6500 =-2(x-65)2+1950630≤x≤70)】 -2<0,30<65<70 .当x■65时，y角大=1950 答：当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利 润为1950元 3.解：设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元 由医意，得y=(200-x)(60+4×贡) -号2+20x+1200第2课时“抛物线”模型问题 要固榄理 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要格当地把这些实际问题中的数据落实到 平面直角坐标果中的抛物线上，从而确定抛物线的表达式，通过表达式可解决一些测量问题与其他问题， 还可以利用二次函数解决与运动有关的“地物线”模型等问题 已课内基础闯关 知识点② 与运动有关的“抛物线”模型问题 知识点①与建筑有关的“抛物线”模型问题 3.(2024一2025池州青阳月考)一个球从地面 1.如图①，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不 竖直向上弹起时的速度为10m/s,经过t(单 完整的抛物线，建立如图②所示的平面直角 位：s)时球距离地面的高度h(单位：m)适用 公式h=15t一5，那么球弹起后又回到地面 坐标系，其函数表达式为y=一 之，当水面 所花的时间t是 () 离桥拱拱顶的高度DO为4m时，水面的宽 A.4s B.3s C.2s D.1s 度AB为 )1 4.如图，一位篮球运动员投篮 时，球从点A出手后沿抛物 线行进，篮球出手后距离地 面的高度y(单位：m)与篮球 第4题 图① 图② 距离出手点的水平距离x(单位：m)之间的 第1题围 A.4m B.8m C.25mD.20m 函数关系式是y=一(x-}+子篮球出 2.一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m、拱 手点距离地面的高度为 m. 高为4m的单行抛物线形隧道（从正中通 过)，建立如下图所示的平面直角坐标系.为 5.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端简子B处，其身体（看成 保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有 3 0.5m的距离，该辆货车的最大高度应是 一点)的路线是抛物线y=一 x+3x+1 多少？ 的一部分，如下图。 (1)演员弹跳离地面的最大高度为 m (2)已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中， 人梯到起跳点A的水平距离为4m,这次表演 是否成功？请说明理由。 y/m C x/m 40 九年级数学HK版 已课外拓展提高 6.如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽4m,则水面下降1m时，水面 宽度增加 ( A.1m B.2 m C.(26-4)m D.(6-2)m 已综合能力提升 -- +B 9.(2024武汉节选)某科技小组运用信息技术 模拟火箭“火龙出水”的运行过程.如下图， 以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地 第6题周 第7题图 面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分 7.情境应用一汽车停车棚棚顶的竖直高度y (单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距 别得到抛物线y=ar十x和直线y=- 离x(单位：m)近似满足函数关系y= 十b.其中，当火箭运行的水平距离为9km -0.02x2+0.3x+1.6,如图所示，点B(6, 时，自动引发火箭的第二级.若火箭第二级 2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车 的引发点的高度为3.6km. 棚下避雨，货车截面看作长CD=4m,高DE (1)直接写出a,b的值。 =1.8m的矩形，则可判定货车 (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度 完全停到车橱内（填“能”或“不能”）. 比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个 8.模型观念一块草坪的护栏由50段相同的抛 位置之间的距离。 物线形不锈钢管组成，每段护栏的形状如下 y/km4 图所示.为牢固起见，每段护栏中每隔0.4 (大箭第二级的引发点) 需加设不锈钢管做成的立柱，为了计算所需 不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图 (发射，点)0 地平线) (落地点)水m 所示的数据.求需要不锈钢管立柱的总 长度 0.4m 上册第21章