21.4 第1课时 几何图形面积的最值问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（沪科版）

21.4二次函数的应用 第1课时几何图形面积的最值问题 要固梳理 利用二次函数解决几何图形面积的最值问题：利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面 积的二次品数表达式，并利用函数的图象确定最大或最小面积。 已课内基础闯关 3.(教材变式)小磊要制作一个三角形的模型， 知识点几何图形面积的最值问题 已知在这个三角形中，长度是x(单位：cm)的 1在一个边长为5的正方形中挖去一个边长 边与这条边上的高之和是12cm,这个三角形 为x(0<x<5)的小正方形，如果设剩余部分 的面积是S(单位：c).当x是多少时，这个 的面积为y,那么y关于x的函数表达式是 三角形的面积S最大？最大面积是多少？ A.y=z2 B.y=25-x2 C.y=x2-25 D.y=25-2x 2.如图，假设篱笆（虚线部分） A 的长度为16m,则所围成 的矩形ABCD的最大面积 第2题围 是 4.如下图，某公园的示意图是对角线互相垂直 A.60m B.63m 的四边形ABCD,已知AC+BD=160m,求 C.64m D.66m 该四边形公园的最大面积 变式题1条件相似，所求内容不同 (2024泰安改编)如图，小明的父亲想用长 为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成 个矩形菜园ABCD.已知房屋外墙足够长， 当矩形ABCD的边AB m时， 菜园的面积最大 麦式题1图 支式题2图 变式题2条件有别，所求内客相同 如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边 利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边 除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m, 门宽为2m.这个矩形花围的最大面积为 m2. 九年级数学HK版 课外拓展提高 (2)若窗框AEFD的面积为ym,求y关于 5.如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其 x的表达式以及面积的最大值. 两条隔断EF,GH的总长为am,且隔断 EF,GH分别与矩形的两条邻边平行.设BC 的长为xm,矩形ABCD的面积为ym3,y 关于x的函数图象如图②，则下列说法正确 的是 A.矩形ABCD的最大面积为8m B.当x=4时，矩形ABCD的面积最大 C.a的值为12 D.以上说法均错误 AG D ⊙综合能力提升 8.应用意识如下图，学校准备在长 为16m、宽为12m的矩形草地上 规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉， 图① 图② 第5题图 第6题图 正方形AEFG和正方形CHMN面积相等， 6.(教材变式)如图所示的是一个用8m长的 且各有两边与矩形ABCD的边重合，矩形 铝合金条制成的矩形窗框，若要使窗户的透 MOFP是这两个正方形的重叠部分.设PM 光面积最大，则AD的长为 为xm(2x4),PF为ym m. (1)y关于x的函数表达式为 7.(2024一2025合肥蜀山区期中)如下图，用长 (不用写出自变量的取值范围). 为12m的铝合金材料做一个如图所示的矩形 (2)设甲、乙、丙的总面积为Sm2,求S关于x 窗框AEFD,其中S=S2=S.设AB=xm. 的函数表达式及其最大值. (1)用含有x的式子表示AE的长，并求出x 的取值范围。 上册第21章 19金得4一n=(2一m)2,即n=一m2十4m AC=4,.当m>4时，点C不在抛物线上， ∴.0<m<4,∴.n=-m2+4m(0<m<4). 方法技巧专题求二次函数表达式的方法 1.解：当x=0时，y=-1×0十3=3， ,一次函数y=一x十3的图象与y拍的交点坐标为(0,3). 当y=0时，一x十3=0，解得x=3, ,一次函数y=一x十3的图象与x轴的交点坐标为(3,0). 将(1,4)，(0,3)，(3,0)代入y=ax+6x十c, 4=a十b十c, fa=-1, 得3=c, 解得=2， l0m9a十3b十c, c=3, 该抛物线的表达式为y=一x2+2x十3， 2.解：由题意，得二次函数的图像与x拍交于（一4,0），(2,0)两 点，且煎点的横坐标为一1 ·顶点在函数y=2x的图象上， ∴y=2×(一1)=一2，∴顶点坐标为（一1，一2）. 设这个二次函数的表达式为y=a(x+1)2一2. 把2,0代人y-a+1D-8,得0-9a-2,解得a-号， y号x+-=+-9 故这个三次函数的表达式为y一号+台一号 3.解：”点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(4,0)， ,,A0=1,OB=4,AB=A0+OB=1十4=5， .OC=AB=5,即点C的坐标为(0,5). 设二次函数的表达式为y-a(x十1)(x一4). 把(0,5)代人，得5=一a,解得a=一气， y=-号x+1x-4 即二次函数的表达式为=-卓十只：十5. 4.A 5.解：的图象经过点(1,1)， ,2-2m十m十1=1，解得m=2, ∴h=2x2-4x+3=2(x-1)°十1，为十为=2x2-4x十 十ax2+6z十c=(a十2)x2十(b-4)x+c+3. ”n十y1与关于x轴对称， ∴1+为=-2(x-1)2-1=-2x2+4x-3, f4+2=-2, a=-4, .6-4=4,解得6=8， lc+3=-3, c=-6, 二次函数的表达式为归=一4z2十8x一6 21.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 1.B变式题>号2.=-1，=43.B4.C 5.(1)4(2)m=0或m>4 6.解：由题意可年，当y=0,即x一2mx十m2一1=0时，有x1 两根，x1十=2m,1=m3-1 :x十x星=4，x+x是=（约十2）2-21x=4m2-2(m -1)=4, 解得m1=1,m2=一1， 综上所述，m的值为1或一1 第2课时二次函数与一元二次不等式 1.D变式题2<x<3 2.-1x<2变式题D3,A4.x<1或x>3 5.解：11攻-号 (2)当=1时，边=x2十x一2. 为>为，∴x十x-2>x十2. 整理，得(x十2)(x一2)>0，辑得x<-2或x>2: 当k=一 时=--子-2 :%>为-2-子-2>x计2. 整理，得(x十2)(x十10)<0，解得-10<x<-2. 综上所述，当=1时，x<-2或x>2:当=一号时，一10 <x-2 强化训练专题二次函数的图象与系数的关系 1.A2.D3.D4.C5.B6.C7.B 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形面积的最值问题 1.B2.C变式题115变式题2200 3.解：由题意，得S-受12-0)=一号2十6红=一之红-6+ 18,.当x=6cm时，S最大，最大面积是18cmm 4.解：如图，设AC,BD交于点O,四边形公园的面积为S S=5aAx+5aae=号AC·B0+2AC·D0 AC.BD. .AC+BD=160,.AC=160-BD, S=含160-8Dy·D=-合(BD-1608D) -号(BD-80+320. :-名<0,0<BD<160,∴当BD=80时，5最大，即该四 边形公园的最大面积为3200m, 5.c6号 7.解，1：S=SdBG=00=号BC 设BG=b,则BC-26 S2=S1.BE·b=x·26,.BE=2x, ∴.AE=AB+BE=x+2x=3x 3AD+AE+GH+DF=3AD+3+2+3x=12, 5AD-12与旺=4-景>0，解得<受 3 “x的取值范围为0<x<受 ②由a第AD=4-号，AE=3z,y=AD·AE=( 号)小3z=-82+12x=-8(x-)了+号 -8<0, ∴当x一是时，y有最大值，此时最大值为号y关于x的 表达式为y=一8x+12红，面积的最大值为号m. 8.解：(1)y=x十4 2)S关于x的函袋表达式为5-受2-8x+64-号{红 号)》'+4-婴 S的最大值为56， 第2课时“抛物线”模型问题 1.D 2.解：由题意可知，该抛物线经过点(0,4)，（一4,0），(4,0). 可设该地物线对应的函数表达式为y=ax2+4, 上册参考答案 147