21.2.3 二次函数表达式的确定&方法技巧专题 求二次函数表达式的方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（沪科版）

"21.2.3二次函数表达式的确定 要固梳理 1二次函数的表达式有三种常见形式：(1)一数式，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)：(2)项点式，y=a (x一h)+(a,h,k是常数，a≠0)，其中(h,k)为顶点坐标；(3)夫点式，y=a(x-x1)(x-)(a是常数， a≠0). 2.一殷地，当已知抛物线上三，点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线 的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解：当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其表 达式为交点式来求解 已课内基础闯关 变式题二次函数表达式唯一→二次函数表 知识点①用一般式求二次函数的表达式 达式不唯一 1.已知二次函数y=x2+bx十c的图象经过 若某二次函数图象的形状与抛物线y=3x A(0,1),B(2,一1)两点，则这个二次函数的 相同，且顶点坐标为(0，一2)，则它的表达式 表达式为 为 A.y=x2+3x+1 B.y=x2-3x-1 C.y=x2-3x+1 D.y=x2+3x-1 5.(2024一2025安庆大观区月考)已知二次函 2.已知二次函数y=ax2十bx一3的图象经过 数y=ax2+bx十c(a≠0)中的x和y满足 点(-1,0)和点(2，一3)，求这个二次函数的 下表： 表达式 ·012 345 y…30-10m8 (1)m的值为 (2)求这个二次函数的表达式 3.(教材变式)已知一个二次函数的图象经过 (1,10),(-1,4),(一2,7)三点，求这个二次 函数的表达式。 知识点③ 用交点式求二次函数的表达式 6.若抛物线与x轴交于点（一2,0）和点(3,0)，且 知识点②用顶点式求二次函数的表达式 可由抛物线y=一x2平移得到，则该抛物线的 4.已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为 函数表达式为 (1,3),则抛物线对应的函数表达式为( 7.(2024一2025无为月考)已知一条抛物线分 A.y=(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3 别经过（一3,0），(1,0)，(0,3)三点，则该抛物 C.y=(x-1)3-3D.y=(x+1)2-3 线对应的函数表达式为 12 九年级数学HK版 已课外拓展提高 已综合能力提升 8.已知一个二次函数，当x>1时，y随x的增 13.如下图，在平面直角坐标系中，抛物线C1:y 大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大， =x2与抛物线C2:y=一x2十bx十c(b,c为 该二次函数的表达式可以是 常数)相交于点A,B,点A,B的横坐标分 A.y=3(x+1)2B.y=3(x-1)2 别为一2和1.过点A作AC∥x轴，与抛物 C.y=-3(x十1)2D.y=-3(x-1) 线C相交于点C,分别以AC,AC的长为 9.已知某抛物线与二次函数y=52的图象的 开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为 边长向AC上方作矩形ACDE. (一1,2025)，则该抛物线对应的函数表达式 (1)求抛物线C2的函数表达式。 为 ) (2)将矩形ACDE先向左平移m个单位长 A.y=-5(x-1)2+2025 度，再向下平移n个单位长度，得到矩形 B.y=5(x-1)2+2025 A'CD'E',点C的对应点C'在抛物线C C.y=-5(x+1)2+2025 上.求n关于m的函数表达式，并直接写出 D.y=5(x+1)2+2025 自变量m的取值范图。 10.下列各函数表达式中，是如图所示的抛物 线对应的函数表达式的是 A.y=-x-z+2B.y=-x+x+2 C.y=x2+x+2 D.y=-2+x-2 第10题图 第11题图 11.(2025阜阳临泉期末)如图，抛物线y=ax 十bx一3与y轴交于点C,与x轴交于A,B 两点，且OB=OC=3OA,则该抛物线的表 达式是 12.已知二次函数y=(m2一2)x2一4mx十n图 象的对称轴是直线x=2,且最高点在直线 y一x十1上，求这个二次函数的表达式 上册第21章 3△ 方法技巧专题 求二次函数表达式的方法 题型①利用一般式求二次函数的表达式 题型③ 利用交点式求二次函数的表达式 1.(2024一2025南昌期中)已知二次函数y= 3.如右图，二次函数的图象过 ax2十bx十c(a≠0)的图象过点(1,4)，并经 A,C,B三点，点A的坐标为 过一次函数y=一x十3的图象与x轴、y轴 (一1,0)，点B的坐标为(4， 的交点，求该抛物线的表达式 0).若点C在y轴正半轴上， 且AB=OC,求二次函数的表达式 题型④利用几何变换求二次函数的表达式 4.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2一4x十5 与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中 题型②利用顶点式求二次函数的表达式 心对称的抛物线的函数表达式为() A.y=-x2-4x+5B.y=x2+4x十5 2.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点 C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x-5 A,B关于直线x=一1对称，且AB=6,该二 5.(教材变式)已知关于x的二次函数1=2x 次函数图象的顶点在函数y=2x的图象上， 一2mx十m十1和=ax2十bx十c,其中边的 求这个二次函数的表达式. 图象经过点(1,1).若为十2与为关于x轴 对称，求二次函数2的表达式. 九年级数学HK版设抛物线的表达式为y=a(x一2)2 把品(4,2代入，得4a=2,解得a=之， “抛物线的表达式为y=受红一2 (2)(0,2),(3一5,3-5) 12.解：(10y=（x-2)2 (2)存在，联立直线AB与抛物线的表达式，得 y 3=1, 解得 x=4, g-÷-2 A1,）,B4,1. 如图，作点B关于直线（的对称点B 连接AB交直线！于点P,此时PA十 PB取得最小值 B(4,1),直线1为y=-1, .B(4,-3) 设直线AB的表达式为y=kx十b. 将A1,子）B4,一3代人y-红+6 4点+b=-3, b- 直线AB的表达式为y=一是十子 当y=-1时，一是+合=-1，解得x=器 P(器- 第3课时二次函数y=a(x十h十k的图象和性质 1.B2.D3.D4.y=-(x十3)3+2（答案不唯一） 5.y=2(x十2)2-2变式题B6.B7.B8.D9.5或1 10.解：(1)7 (2):平移后的抛物线的表达式为y=一(x一3)2， .平移后的顶点的坐标为(3,0) :平移前抛物线的顶点的坐标为(6,4)， .胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4 个单位，，点P移动的最短路程=/3十4=5， 1.解：a=-6= (2)S=-x2+8x(2<x<6) S的最大值为16， 第4课时二次函数y=a十br十e的图象和性质 1.A2.D 3.解：1)填表如下 x… 23 y 0 一30… 地物线如图所示。 144414 146 九年级数学HK版 (2)-4≤y<5 4.A变式题y=x2+4x-35.B6.D7.C 8.B9.(1,4)10.-2 11.解：1)一1 (2)根据平移的性质可知，4=1. 当x<2时，y随x的增大而减小，.≥2. 平移后的图象经过原点O, ∴0=(0—h)2+k,即k=一 ≥2，h2≥4，一h2≤一4，k≤一4 12解：1)：抛物线y=-之十6缸的顶点横坐标为多， y=一2+2红的顶点横坐标为1，乡-1=1，解得6=4 (2),点A(31,为)在抛物线y■一x2十2x上， y=-xi十2x1. :点B(x1十1，为十h)在抛物线y=一x+4x上， y1十h=-(十)2+4(x1十0， .-x号十2x1十h=一(x1十t)2十4(x1十1)， ,h■-F-2xt十2x1十4x. 将x1=t-1代人h=一1一2x11十2的十41， 得=-3+-2=-3(-专)广+9 :-3<0∴当=手，即五=子时，h取最大值号 21.2.3二次函数表达式的确定 1.C 2标：由题营得-， 整集，得。解得侣2 /a=1, .这个二次函数的表达式为y=x2一2x一3 3.解：设这个二次函数的表达式为y=ax2十br十c, 把(1,10)，(-1,4)，(-2,7)代人y=ax2十a+c,得 a十b+十4=10， fa=2, a一b十c=4,解得b=3, 4a-26+c=7,c=5, 这个二次函数的表达式为y=2x2十3x十5. 4.A变式题y=3x-2或y=-3x2-2 5.解：(1)3 (2)由题意可知，函数图象的顶质点坐标为(2，一1)，，可设这 个二次函数的表达式为y=4(x一2)一1. 将(1,0)代入上式，解得a■1. 故这个二次函数的表达式为y=(x一2)2一1. 6.y=-(x十2)(x-3)7.y=-x2-2x十38.D9.C 10.B11.y=x2-2x-3 12.解：把x=2代入y=合x+1,得y=号×2+1=2， “二次函数y=(m2一2)x2一4mx十n图象的顶点坐标为 2,2,心22=2，解得州=1，m=2. 最高点在直线上，，m2一2<0，m=一1， ”,y=-x2十4x十元 将(2,2)代入y=一x2十4x十n,得2=一4十8十n,解得n= 一2，，这个二次函数的表达式为y=一x2十4x一2. 13.解：(1)当x=一2时，y=x2=4,当x=1时，y=x2=1, .点A,B的坐标分别为（一2,4），1,1) 将点A,B的坐标代人抛物线C的表达式， 每任仁-+8”年得2 .抛物线C的表达式为y=一x2-2x十4 (2)由(1)可知，点C的坐标为(2,4)，∴AC=4,平移后点C 的坐标为(2一m,4一n), 将点C的坐标代入抛物线C:的表达式， 得4一n=(2一m)2,即n=一m2十4m. AC=4,.当m>4时，点C不在抛物线上， ∴.0<m<4,.n=一m2十4m(0<m<4) 方法技巧专题求二次函数表达式的方法 1.解：当x=0时，y=-1×0十3=3， ∴.一次函数y=一x十3的图象与y轴的交点坐标为(0,3)， 当y=0时，一x十3=0，解得x=3, ∴.一次函数y=一x十3的图象与x轴的交点坐标为(3,0). 将(1,4)，(0,3)，(3,0)代入y=ax2+bx十c, f4=a十b+c, a=-1, 得3=c, 解得b=2, 10=9a+3b十c, 【c=3, ·该抛物线的表达式为y=一x2十2x十3， 2.解：由题意，得二次函数的图象与x轴交于（一4,0），(2,0)两 点，且顺点的横坐标为一1. ,顶点在函数y一2x的图象上， ·y=2×(-1)=-2,∴.顶点坐标为(-1，一2). 设这个二次函数的表达式为y=a(x十1)3-2. 把2,0代人y=a红+1r-2,得0=9a-2,部得a=子 y+10-2-号+合-9 故这个二次函数的表达式为y号+亭x一兽 3.解：点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0)， .AO=1,OB=4,AB=A0+0B=1+4=5. .OC=AB=5,即点C的坐标为(0,5). 设二次函数的表达式为y=a(x十1)(x一4). 把(0,5代人，得5=-4a,解得4=-年， y=-音e+1z-, 即二次函数的表达式为y=-平+只x+5 4.A 5.解：1的图象经过点(1,1)， .2-2m十m十1=1，解得m=2, 六4=2x2-4x+3=2(x-1)°十1，为+为=2x2-4x十 十ax2十bx十c=(a十2)x2十(6-4)x十c十3. “十为与为关于x轴对称， .为十yg=-2(x-1)2-1=-2x2+4x-3, a+2=-2, a=-4, .6-4=4,解得6=8， c+3=-3, c=-6, ·二次函数为的表达式为为=一4x2十8虹一6， 21.3二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 1.B变式题>子21=-14=43B4C 5.(1)4(2)m=0或m>4 6.解：由题意可知，当y=0,即x2一2mx十m2一1=0时，有x1 两根，x1十xg■2m,1x=m2-1. 对十x=4,.xi十=(1十x2)2-2x1=4m2-2(m -1)=4, 解得m=1,m=一1 综上所述，m的值为1或一1. 第2课时二次函数与一元二次不等式 1.D变式题2<x3 2.-1<x<2变式题D3.A4.x<1或x>3 5.解：1)1或- (2)当k=1时，y=x2十x-2. 为>为，.x2十x-2>x十2. 整理，得(x十2)(x一2)>0，解得x<一2或x>2: 当=-时=-子子-2 “>%,--子-2>叶2 整理，得(x十2)(x十10)<0，解得-10<x<-2. 综上所述，当k=1时，x<一2或x>2:当= 号时，-10 x<-2 强化训练专题二次函数的图象与系数的关系 1.A2D3.D4.C5.B6.C7.B 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形面积的最值问题 1.B2.C变式题115变式题2200 3解：由题意得S-子12-)=一合+红-一合红一6+ 18,.当x=6cm时，S最大，最大面积是18cm2 4.解：如图，设AC,BD交于点O,四边形公园的面积为S S-SAAR+SAAAC BO+AC.DO =AC·BD, AC+BD=160,..AC=160-BD, 六S=壹(160-BD)·BD= (BD-160BD) 2(BD-80+320. :-令<0,0<BD<160,当BD=80时，S最大，即该四 边形公园的最大面积为3200m2, 5.c6号 7.解：0)：S=SBG=0G=2BC 设BG=b,则BC=2b S2=S1,BE·b=x·26,.BE=2x, .AE=AB十BE=x十2x=3x 3AD+AE十GH十DF=3AD+3x十2x十3x=12, AD-12与=4-号>0，解得<受 3 ∴x的取值范围为0<x<受 (2)由1)知，AD=4-号x,AE=3z,y=AD·AE=(4 是3z=-82+12z=-8(红-+号 -8<0, 六当x=子时y有最大值，此时最大值为号，y关于x的 表达式为y=-82+12x,面积的最大值为号m, 8.解：(1)y■x十4 (2)S关于x的函数表达式为S=是2-8x+64=是{x 号)'+64-号 S的最大值为56， 第2课时“抛物线”模型问题 1.D 2.解：由题意可知，该抛物线经过点(0,4)，（一4,0），(4,0). 可设该抛物线对应的函数表达式为y=ax十4 上册参考答案 147