第4章 解题技巧专题 证比例式或等积式的技巧-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

0B=4心六-号0A=6 (2)由(1)，得△OBD△OAC, -(哭)-（号）=÷ 9%0xe=06560= 9,Sam0=16. 9.A10号 11,解：如图，四边形ABCD是正方形， ,.∠A=∠C=∠D=90, .∠1+∠3=90 由折叠可知，∠EPQ=∠A=90°， .∠1十∠2=90°， ∴.∠2=∠3，.△PCG∽△EDP 设ED=x,则AE=2一x. 由折叠可知，EP=AE=2一x, P是CD中点，.DP=PC=1 ∠D=90°，.ED2+DP2=EP2, 即2十1=(g-x,解得x=子D-是 △PQG△EDP,器-是-青， .△PCG与△EDP周长的比为4t3. 12.解：(1)CP=2E」 (2)存在. PQ的长为器或器 解题技巧专题证比例式或等积式的技巧 1.证明：(1)BD=2AD,CE=2AE, ∴AB=8ADAC=AE,即铝怨-子 又：∠A=∠A,△ADEO△ABC. (2):△ADE∽△ABC ,.∠ADE=∠ABC,.DE∥BC, .∠DEF=∠CBF,∠EDF=∠BCF, ∴△DE△cBR,2=-器， 即DF·BF=EF·CF, 2.证明：如图，连接PM,PN MN是AP的垂直平分线， ∴.MA=MP,NA=NP, ∴∠1=∠2，∠3=∠4. :△ABC是等边三角形 .∠B=∠C=∠1+∠3=60°， ∴∠2+∠4=60°，∠5+∠6=120. 又∠6十∠7=180°-∠C=120°，.∠5=∠7， △BPMACNP,÷器-器 即BP,CP=BM,CN 3.证明：如图，过点D作DG∥BC,交AC于点G, :DG∥BC ,∠ADG=∠B,∠DGF=∠ECF 又：∠A=∠A,∠DFG=∠EFC, .△ADGP△ABC,△DGF△ECF, 鋁瓷器器瓷畿 AD=cE,器-器畿-器 即AB·DF=BC·EF. 4.证明：作AH∥BC交CF的延长线于点 H,如图 :DE∥BC,.AH∥DE,.∠CEG= ∠CAH,∠CGE=∠H, △CBCn△CAH黑-器 :E为AC的中点， ,CA=2CE,∴.AH=2EG. 'AH∥DG,∴∠H=∠DGF,∠HAF=∠GDF, △AH0△DGR,提-景甍景. 即2DF·EG=AF·DG. 5.证明：：AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∠OAB=∠OCD, △A0BAc0D,÷-8器 BE∥AD,∴∠ODA=∠OBE,∠OAD=∠E, △A00△B0B,8器-8器2-8器 ∴.OA=O℃·OE 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,AD∥BC,∠BAF=∠G,∠DAF=∠BEF 又：∠AFB=∠GFD,∠AFD=∠EFB, ∴，△ABFC∽△GDF,△AFD∽△EFB, 隐-器部-需紧部围A=Er·G 2)由I),得△AFDn△EFB,AF=EF,FG=是×号 且A>0a-2器景-是-子 2 即BE=2DA=÷BC,EC=BC-BE=子BC =3. 7,解：(1)正明：四边形AEDF为菱形， .DE=DF,DE∥AF,DF∥AE ∠BDE=∠C,∠B=∠CDF, △BDEO△DCF,六咒-器FC,BE=DE,DR :DE=DF,FC·BE=DE (2)设AE=x,UAF=DE=x AB=3,AC=2,∴BE=3-x,CF=2-x.由(1)，得(3- x)2-x)=2,解得x=号，即AE的长为号 8.解：(1)证明：：AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC= 90',∴.∠AEP+∠PED=∠DEC+∠PED,∠EAP+ ∠ADE=90°，∴∠AEP=∠DEC. :四边形ABCD是矩形，∴.∠ADC=90,AB=DC, ∴∠ADE+∠EDC=9O,∴∠EAP=∠EDC, △AEPADEC,六是-瓷 AB=DC,AE·AB=DE·AP (2):四边形ABCD是矩形， .BC=AD=2,∠BAD=90 ∴BD=AB+AD=+2=5. :AE⊥BD,SaA=登BD:AE=合AB:AD, 即/FAE=2X1,解得AE=25 51 AE.AB=DE.AP,:.AP=AE AB=5X1 DE 45 444 上册参考答案 185解题技巧专题 证比例式或等积式的技巧 题型①三点定型法 题型③构造平行线法 1.如下图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC 3.如下图，已知△ABC的边AB上有一点D, 上的点，且BD=2AD,CE=2AE.求证： 边BC的延长线上有一点E,且AD=CE, (1)△ADEP△ABC. DE交AC于点F.求证：AB·DF=BC (2)DF·BF=EF·CF. ·EF 题型②构造相似三角形法 4.如下图，在△ABC中，点D,E分别在边AB, 2.如下图，在等边三角形ABC中，P是BC边 AC上，DE∥BC,点F在边AB上，CF与 上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB, DE相交于点G.当E为AC中点时，求证： AC于点M,N.求证：BP·CP=BM·CN. 2DF·EG=AF·DG 九年级数学B$版 题型④等比过渡法 (2)若AB=3,AC=2,求AE 5.如下图，已知梯形ABCD中，AB∥DC,AC, 的长 BD相交于点O,BE∥AD交AC的延长线 于点E.求证：OA2=OC·OE. 6.如下图，在口ABCD中，点G在边DC的延 长线上，AG交边BC于点E,交对角线BD 于点F 8.如下图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E, (1)求证：AF=EF·FG P是边AD上一点，连接PE,CE （②)如果EF-多FG-号求既的值 (1)若PE⊥EC,求证：AE·AB=DE·AP. (2)在(1)的条件下，若AB=1,BC=2,求 AP的长 题型⑤等线段代换法 7.如下图，过菱形AEDF的顶点D作直线，交 AE的延长线于点B,交AF的延长线于 点C. (1)求证：FC·BE=DE. 上册第四章 0△