第4章 7 第2课时 相似三角形周长和面积的性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

3.64.13.5 5解：如图，，AB LBD,DE⊥BD, ∴∠ABC=∠EDC=90 ,∠ACB=∠ECD, .△ABCp△EDC, 提器即是品 .DE=8m. 故旗杆DE的高度为8m. 6.1.2 7.解：过点E作水平线交AB于点G,交 CD于点H,如图 :DB是水平线，CD,EF,AB都是铅 垂线， ..DH=EF=GB=0.5 m,EH=DF =2m,EG=BF=6m,.CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2 m), 根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG, △CHEn△GE,畏器，即号-是解得AG=6m .AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(m) 8.解：(1)，∠CEF=∠AEF,AB⊥BD,FE⊥BD,CD⊥BD, .∠AEB=∠CED,∠B=∠D=90°， △ABE∽△CDE,BEDE AB CD '.CD=1.7 m,BE=20 m,DE-2m, 小祭-号，解得AB-17口 (2)GB⊥BD,CD⊥BD,.∠B=∠D=90° ∠GE,B=∠CE,D,∴△GBE∽△CDEBE-DE GB CD ,DE1=2m,BD=10m, .BE1=BD-DE1=10-2=8(m) CD=1.79-号，解得GB=6.8m 2 ∠AEB=∠CE2D, AABEACDE∴e=S0 DE DE2=3.4m,BD=10m, .BE=BD-DE=10-3.4=6.6(m). CD=17m小祭-是g得A8=3, ∴.AG=GB-AB=6.8-3.3=3.5(m. 7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质 1.A2.C3.D4.B 5.解：(1)正明：四边形EFGH是矩形， ∴HG∥BC,∴∠AHG=∠ABC 又∠HAG=∠BAC,.△AHG∽△ABC 'AD⊥BC,HG∥BC,∴·AM⊥HG, AM是△AHG的边HG上的高，÷光肥 (2)设HE=xcm,则MD=HE=zcm .AD=30 cm,.'.AM=(30-x)cm. .HG=2HE,HG=2x cm. 中岩竖得的-箭每得=2 放宽HE的长度是12cm. 6.A 184 九年级数学BS版 7.解：如图，过点A作AF⊥BC于点F,交DE于点H ,DE∥BC, .AH⊥DE,∠ADE=∠ABC. ∠AED=∠ACB, ∴，△ADED△ABC 器 电战杆 由题意可得，AH=30m,DE= 24m,BC=60m, 六30十HF一箭，HF=45m故河的宽度为45口 30 24 8A9.1+E 10.解：分两种情况讨论： ①当△AED∽△ABC时，如图①，△AED与△ABC的相似 AC 比为光-C 由湘似三角形对应中线的比等于相叙比，得袋子 六AM=子AN=子×12=4： ① ②当△AEDC∽△ACB时，如图②，△AED与△ACB的相似 AD AC 比为 2 AC 3 由相似三角形对应中线的比等于相似比，得A兴-二 AN 3 AM=号AN=号×12=8 综上所述，AM的长为4或8. 11.解：(1)正明：，四边形EFGH是正方形，.EH∥BC, ∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,∴△AEHO△ABC (2)如图，设AD与EH交于点M 由题意可得，AM为△AEH的高， ·∠EFD=∠FEM=∠FDM ■90°， ∴，四边形EFDM是矩形， ∴EF=DM 设正方形EFGH的边长为x,则 DM=2,AM=30-z. ",'△AEH∽△ABC, 正方形ERGH的边长为罗am,周长为4X9-(am。 (3)24cm 第2课时相似三角形周长和面积的性质 1.B变式题B2.C3.12 4.解：：DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, '.△ADEp△ABC △ADE与△ABC的周长之比为23，.AD:AB=2:3. AD-4,..AB-6,.DB-AB-AD-2. 5.D6.37.27 8.解：(1)AC∥BD,∴∠A=∠B,∠C=∠D, △0BD△0AC,8器-8器-号 08=4心高-号0A=6 (2)由(1)，得△OBD△OAC, -(8器=（号）- 9woc=6,530=g ACM=16. 9.A10.号 11,解：如图，：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠C=∠D=90°， .∠1+，∠3=90° 由折叠可知，∠EPQ-∠A=90, ∠1+∠2=90°， .∠2=∠3，∴.△PCG∽△EDP 设ED=x,则AE=2一x 由折叠可知，EP=AE=2一x ,P是CD中点，.DP=PC=1. ∠D=90°，∴ED2+DP=EP2, 即2十1=2-，解得x=是，ED-是 △P0△EDP器-是-言 4 :△PCG与△EDP周长的比为43. 12,解：(1)CP=2E. (2)存在. PQ的长为号或器 解题技巧专题证比例式或等积式的技巧 1,证明：(1)BD=2AD,CE=2AE, AB-8AD,AC-AE,即铝怎-子 又：∠A=∠A,.△ADE∽△ABC (2),△ADE△ABC ∠ADE=∠ABC,DE∥BC, ∠DEF=∠CBF,∠EDF=∠BCF, △DEFACBF,8器-器， 即DF·BF=EF·CF, 2.证明：如图，连接PM,PN, :MN是AP的垂直平分线， ..MA=MP:NA=NP, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. :△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=∠1+∠3=60°， ∴∠2+∠4=60°，.∠5+∠6=120. 又∠6+∠7-180-∠C-120,∴∠5=∠7， ∴△BPMACNP,÷照-器 即BP·CP=BM·CN. 3.证明：如图，过点D作DG∥BC,交AC于点G. ,'DG∥BC, ,∠ADG=∠B,∠DGF=∠ECF, 又，∠A=∠A,∠DFG=∠EFC, .△ADGP△ABC,△DGF△ECF 铝瓷器-器品畿 A0=c,器-器提-器， 即AB·PF=BC·EF. 4.证明：作AH∥BC交CF的延长线于点 H,如图， ,DE∥BC,.AH∥DE,.∠CEG= ∠CAH,∠CGE=∠H, ACEG0ACAH,器-器 E为AC的中点， .CA=2CE,∴.AH-2EG. AH∥DG,∴∠H=∠DGF,∠HAF=∠GDF, △AHFn△DGF,提-品：瓷- DF' 即2DF·EG=AF·DG. 5.证明：AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∠OAB=∠OCD, △A0△c0D,2-8器 BE∥AD,∴∠ODA=∠OBE,∠OAD=∠E, △A00A808,器-8器小器-8器 .0A3=0℃.OE 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB∥DC,AD∥BC,∴.∠BAF=∠G,∠DAF=∠BEF 又∠AFB=∠GFD,∠AFD=∠EFB, ∴△ABFD△GDF,AAFD∽△EFB, 隐-器部-铝紧能期A=F,G (2由（①，得△AFD△EFB,AF产=EF·FG-是×号 ,且AF>0AF=22-器-是-子 'BEE下 2 即BE-DA-PC,∴BC-BC-8E-BC,-3, 7.解：(1)证明：，四边形AEDF为菱形， .DE=DF,DE∥AF,DF∥AE ∴·∠BDE=∠C,∠B=∠CDF, △BDEADCF,咒-8器FO,BE=DE:DR DE=DF,.FC·BE=DE (2)设AE=x,则AF=DE=x. AB=3,AC=2,BE=3-x,CF=2一x.由(1)，得(3 x)2-)-,解得x-号，即AE的长为号 8.解：(1)证明：AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC= 9o°，∴.∠AEP+∠PED=∠DEC+∠PED,∠EAP+ ∠ADE=90°，.∠AEP=∠DEC '四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90,AB=DC, .∠ADE+∠EDC-9O,∴∠EAP=∠EDC, △AEP∽△DEC,罪-DC: AE AP AB=DC,AE·AB=DE·AP (2):四边形ABCD是矩形， ∴.BC=AD=2,∠BAD=90 .BD=√AB+AD-√/1+2-5. AELBD,Sa-号BD:AE-号AB:AD, 即5AE=2X1,廊得AE=25 5 0E=aDE-√B-(-5 5 AE,AB=DE·AP,AP=AE·AB DE 45 21 5 上册参考答案 185null