第4章 5-6 相似三角形判定定理的证明 利用相似三角形测高-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

C,脚是-器品怨 AC AC CD DE EC .△DCEO△DCE',∴，∠CED=∠CE'D' :DE∥BC,∴.∠CED+∠ACB=180°. 同，∠CE'D+∠ACB'=180°，，∠ACB=∠ACB 0-君品△ABC△ABC 模型构建专题巧用“基本图形” 探索相似的条件 1.B2.6 3.解：(1)，AE=4,AC=9,,CE=AC-AE=9-4=5. 'AB∥CD,∴∠ECD-∠A,∠CDE-∠ABE, △CDE△ABE,器-是， ∴cD=AB,CE_6X5-15 AE 4 2 @运阴荒=音号是号=子盖-是 又”∠A=∠A,.△ABE∽△ACB. 4.A 5.解：(1)∠ACB=90',AB=65,BC=6, .AC=AB-BC=12,..AE=AC-CE=9. AB∥CD,·∠D=∠ABE,∠DCE=∠A,△CDE △iBE,器-器cD=A8C=6X3=26. AE 9 (2)证明：∠ACB=90°，CE=3,BC=6, ..BE-CEFBC=3/5. :△CDE△ABE, 噩-∴DE-EC-, AE 0=4,器-品=子 ∠D=∠D,∴△CDE∽△BDC 6.D7.1 8.解：当AD-号时，△ABCn△ACD,理由如下： AB=6AC=,AD-号 ÷提-福-是又∠A=∠A..AAOAACD. 9.B 10.解：1Ac=5DE2BC=27 11.解：(1)证明：AB=AC,∠B=∠C ,∠ADC=∠1+∠EDC=∠B+∠BAD,∠1=∠B, .∠EDC=∠DAB,·△DCEC∽△ABD (②：△DCE△AD,÷器-8 -号，则cE x 6 CE=22=。兰，解得=6，=2 (3)分以下三种情况讨论：①当DA=DE时. ,△DCE0△ABD,.DC=AB=6,.x=8-6=2: ②当DA=AE时，∠1=∠AED, :'∠AED=,∠C十∠EDC=∠B十∠EDC,与∠AED=,∠ =∠B矛盾，，此种情况不戒立： ③当DE=AE时，∠EAD=∠1=∠B=∠C, ∴△DACn△ABC,小瓷-瓷即号=骨，解得x=子 综上所述，当x=2或？时，△ADE为等要三角形， 第4课时黄金分割 1A2B变武题《3A455D6一波2 7.解：：C,D都是线段AB的黄金分割，点， AC-BD-AB. 2 “AD=BC,CD=1,设AB=x,则AD=BC=会 DAC号+1x 2 解得x=5+2,即AB-5+2 5相似三角形判定定理的证明 1.C2.6 3.解：(1)相似.理由如下： '∠BAD=∠CAE, ·∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD, ∴，∠BAC=∠DAE :∠ABC=∠ADE,△ABC∽△ADE. :△ABCn△ADE,铝能2-0 ∠BAD=∠CAE,∴.△ABDD△ACE 4.解：(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例 (2)斜边和一条直角边对应成比例 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C=90°， 证同：设铝=品=，则AB=MB,AC-C AC 在Rt△ABC和R△A'B'C中， BC BC= AB—AC AB一ACT VABACT √AB-ACT ÷0-品-瓷R△ABCR△NgC BC 6 利用相似三角形测高 1.B 2.解：如图，过点G作GM⊥ED于点M, .∠EMG=90°.结合题意可得，四边形DF GM为矩形，∠B=∠E,∠A=90°：MD GF,MG=DF,△ABCo△MEG, -，即-∴EM=6m, ..ED=EM+MD=6+3=9(m). 故这棵大树的高DE是9m 一题多解法《 如图，延长EC,DF交于点H. 由题意可得，△ABC△DEH∽△FGH, 提篇0骺 号-品解得H=, ∴.DHDF+FH=8十4=12(m). 部=品品-最郴得E0=9口 故这棵大树的高DE是9m. 444 上册参考答案 183 3.64.13.5 5解：如图，，AB LBD,DE⊥BD, ∴∠ABC=∠EDC=90 ,∠ACB=∠ECD, .△ABCp△EDC, 提器即是品 .DE=8m. 故旗杆DE的高度为8m. 6.1.2 7.解：过点E作水平线交AB于点G,交 CD于点H,如图 :DB是水平线，CD,EF,AB都是铅 垂线， ..DH=EF=GB=0.5 m,EH=DF =2m,EG=BF=6m,.CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2 m), 根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG, △CHEn△GE,畏器，即号-是解得AG=6m .AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(m) 8.解：(1)，∠CEF=∠AEF,AB⊥BD,FE⊥BD,CD⊥BD, .∠AEB=∠CED,∠B=∠D=90°， △ABE∽△CDE,BEDE AB CD '.CD=1.7 m,BE=20 m,DE-2m, 小祭-号，解得AB-17口 (2)GB⊥BD,CD⊥BD,.∠B=∠D=90° ∠GE,B=∠CE,D,∴△GBE∽△CDEBE-DE GB CD ,DE1=2m,BD=10m, .BE1=BD-DE1=10-2=8(m) CD=1.79-号，解得GB=6.8m 2 ∠AEB=∠CE2D, AABEACDE∴e=S0 DE DE2=3.4m,BD=10m, .BE=BD-DE=10-3.4=6.6(m). CD=17m小祭-是g得A8=3, ∴.AG=GB-AB=6.8-3.3=3.5(m. 7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质 1.A2.C3.D4.B 5.解：(1)正明：四边形EFGH是矩形， ∴HG∥BC,∴∠AHG=∠ABC 又∠HAG=∠BAC,.△AHG∽△ABC 'AD⊥BC,HG∥BC,∴·AM⊥HG, AM是△AHG的边HG上的高，÷光肥 (2)设HE=xcm,则MD=HE=zcm .AD=30 cm,.'.AM=(30-x)cm. .HG=2HE,HG=2x cm. 中岩竖得的-箭每得=2 放宽HE的长度是12cm. 6.A 184 九年级数学BS版 7.解：如图，过点A作AF⊥BC于点F,交DE于点H ,DE∥BC, .AH⊥DE,∠ADE=∠ABC. ∠AED=∠ACB, ∴，△ADED△ABC 器 电战杆 由题意可得，AH=30m,DE= 24m,BC=60m, 六30十HF一箭，HF=45m故河的宽度为45口 30 24 8A9.1+E 10.解：分两种情况讨论： ①当△AED∽△ABC时，如图①，△AED与△ABC的相似 AC 比为光-C 由湘似三角形对应中线的比等于相叙比，得袋子 六AM=子AN=子×12=4： ① ②当△AEDC∽△ACB时，如图②，△AED与△ACB的相似 AD AC 比为 2 AC 3 由相似三角形对应中线的比等于相似比，得A兴-二 AN 3 AM=号AN=号×12=8 综上所述，AM的长为4或8. 11.解：(1)正明：，四边形EFGH是正方形，.EH∥BC, ∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,∴△AEHO△ABC (2)如图，设AD与EH交于点M 由题意可得，AM为△AEH的高， ·∠EFD=∠FEM=∠FDM ■90°， ∴，四边形EFDM是矩形， ∴EF=DM 设正方形EFGH的边长为x,则 DM=2,AM=30-z. ",'△AEH∽△ABC, 正方形ERGH的边长为罗am,周长为4X9-(am。 (3)24cm 第2课时相似三角形周长和面积的性质 1.B变式题B2.C3.12 4.解：：DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, '.△ADEp△ABC △ADE与△ABC的周长之比为23，.AD:AB=2:3. AD-4,..AB-6,.DB-AB-AD-2. 5.D6.37.27 8.解：(1)AC∥BD,∴∠A=∠B,∠C=∠D, △0BD△0AC,8器-8器-号*5 相似三角形判定定理的证明 已课内基础闯关 ©课外拓展提高 知识点相似三角形的判定定理 4.学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两 1.根据下列条件，可以判定△ABC与△A'BC 个直角三角形全等的条件所获得的经验，继 相似的条件有 续探索两个直角三角形相似的条件， ①∠C=∠C'=90°，∠A=25°，∠B=65°； (1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角 ②∠C=90°，AC=6cm,BC=4cm,∠C'= 对应相等，或两直角边对应相等，两个直角 90°，A'C'=9cm,B'C=6cm: 三角形全等.”类似地，你可以得到“满足 AB=10 cm,BC=12 cm,AC=15 cm, ,或 AB'=150cm,BC'=180cm,A'C'= ,两个直角三角形相似”. 225cm; (2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两 ④△ABC和△A'B'C'都是有一个角为80 个直角三角形全等.”类似地，你可以得到满 的等腰三角形 足 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 的两个直角三角形相似.请结合所给图形， 2.如图，在矩形ABCD中，E 写出已知，并完成证明过程， 是边AD上的任一点，连接 已知：如下图， BE,过点E作BE的垂线交 BC的延长线于点F,交CD 第2题厨 于点P,则图中共有 对相似三 证明：Rt△ABC∽Rt△A'B'C 角形 3.如下图，在△ABC和△ADE中，∠BAD ∠CAE,∠ABC=∠ADE. (1)△ABC和△ADE相似吗？为什么？ (2若△ABC△ADE,则铝-S-能成 立，据此你能说明△ABD和△ACE相似吗？ 知识要影点归纳 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已 有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本 图形的作用。寻找相似三角形的一般方法是通过 作平行线构造相似三角形；极据基本图形对图形 进行分解、组合；作辅助线构造相似三角形.判定 三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综 合运用 上册第四章 6 利用相似三角形测高 已课内基础闯关 知识点②用工具测高 知识点①利用阳光下的影子测高 3.古代数学文化《周牌算经》中记载了“偃矩 1.古代数学文化《孙子算经》中有首歌谣：“今 以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直 有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标 角的曲尺（图中的ABC).“偃矩以望高”的意 杆，长一尺五寸，影长五寸.问：竿长几何？” 思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如 意思是有一根竹竿不知道有多长，量出它在 图，点A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和 太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺 ∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测 五寸的小标杆，它的影子长五寸，则竹竿的 得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树 长为(1丈=10尺，1尺=10寸) 高PQ m. A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 2.一题多解法小宇同学想利用树影测量校园 F D 内的树高.如图①，他在某一时刻测得小树 第3题围 第4题围 的高AB为1.5m,其影长AC为2m.如图 4.应用意识九年级(1)班课外活动小组利用 ②，当他测量教学楼旁的一棵大树DE影长 标杆测量学校旗杆的高度.如图，已知标杆 时，因大树靠近教学楼，有一部分影子FG在 高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD 墙上.经测量，地面部分影长DF为8m,墙 =15m,人的眼睛与地面的高度EF 上影长FG为3m.求这棵大树的高DE. 1.6m,人与标杆CD的水平距离FD=2m, 则旗杆AB的高度为 m. 知识点③利用镜子的反射测高 5.如右图，数学活动课上，为测 图① 图② 量学校旗杆高度，小菲同学 在脚下水平放置一面平面 镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一 直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶 端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时 量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗 杆的水平距离为10m,求旗杆的高度。 74 九年级数学BS版 ⊙课外拓展提高 =1.7m,BE=20m,DE=2m.求建筑物 6.(教材变式)阳光通过窗口照射 AB的高度 到室内，在地面上留下2.7m宽 【活动探究】 的亮区（如图所示）.已知亮区。 (2)观察小军的操作后，小 27m 到窗口下墙脚的距离EC= 明提出了一个测量广告牌 第6题图 4.5m,窗口高AB=1.8m,则窗口底边离地 高度的做法（如图②）：他 面的高BC为 让小军站在点D处不动， m. 图② 7.某数学兴趣小组测量校园内 将镜子移动至E处，小军恰好通过镜子看 一棵树的高度，采用以下方 到广告牌顶端G,测出DE=2m;再将镜子 法：如右图，把支架(EF)放合月 移动至E处，恰好通过镜子看到广告牌的 在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F 底端A,测出DE=3.4m.经测得，小军的 处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E 眼睛离地面距离CD=1.7m,BD=10m.求 处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰 这个广告牌AG的高度. 好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别 测量BF,DF,EF,观测者目高(CD)的长，利 用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知 CD⊥BD于点D,EF⊥BD于点F,AB⊥BD 于点B,BF=6m,DF=2m,EF=0.5m,CD =1.7m.求这棵树的高度(AB的长) 巴综合能力提升 知识要点归纳 8.跨物理学科【问题背景】 1.利用阳光下的影子测高：同一时刻的太阳光下， (1)由光的反射定律可知， 被测物体的高度_参照物的高度 反射角等于入射角（如图 被测物体的彩长参照物的彩长 ①，∠CEF=∠AEF).小 2列用标杆测高：由于人、标杆及被测物体均与地 军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点 面垂直，因此三者平行，可构造相似三角形. 3利用镜子的反射测高：由于入射角等于反射角， E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在 人与被测物体都与地面垂直，因此可构造相似三 点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶 角形 端A.经测得，小军的眼睛离地面的距离CD 75 上册第四章