第2章 5 一元二次方程的根与系数的关系&6 第1课时 一元二次方程在数字及几何问题中的应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

*5 一元二次方程 已课内基础闯关 知识点① 利用根与系数的关系求两根之 和、两根之积 1.已知关于x的一元二次方程x2十4x一5=0 的两个实数根分别为和x2,则x1十x2十 x·x2的值为 () A.-9B.-1 C.9 D.1 2.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解 道一元二次方程时，小影在化简过程中写错 了常数项，因而得到方程的两个根是6和1： 小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因 而得到方程的两个根是一2和一5.原来的方 程是 () A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 知识点②利用根与系数的关系求字母的值 或取值范围 3.若关于x的方程x2十(m2-4)x=0的两根 互为相反数，则m的值为 () A.土2B.-2 C.2 D.4 4.已知关于x的一元二次方程x2十4x十k一1 =0.若，x是方程的两实数根，且满足 }(十)<2面，求表的取值范围. 九年级数学B$版 的根与系数的关系 已课外拓展提高 5.已知关于x的方程x8一(2m一1)x十m2=0 的两实数根为x1,x2,若(x1十1)(x2十1)= 3,则m的值为 () A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3 6.若关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两 根之和为p,两根之积为9，则关于y的方程 a(y-1)+b(y-1)十c-0的两根之积是 7.已知x1,x2是关于x的方程x2一x一2=0 的两个实数根，则xx2十1x号= 8.一题多解法已知关于x的一元二次方程 3x2十5x一4k=0的一个根是-2，求表和方 程的另一个根x的值. 知识要点归纳 1.一元二次方程的根与系教的关系：如果一元二 次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两个根分别为 b ,x2,那么x1十=一 2.重要的变形：(1)x元十x=(x十x)-21: (2)1-)2=(十a)2-44(3)1+1 十，（4)4+丝=十)-22 x1艺 x: x1x: (5)|w1-z2=√（1+2)9-412， 6 应用一元二次方程 第1课时 一元二次方程在数字及几何问题中的应用 已课内基础闯关 A.π(x+3)2-x2=72 知识点① 数字问题 B.x(受+3)'-x2=72 1.已知两个连续整数的积为42，则这两个数的 C.π(x十3)2-x2=36 和为 2.2025年7月1日是建党104周年纪念日，在 D.x(受+3}°-x=36 本月月历表上可以用一个方框圈出4个数 4.一题多解法在宽为20m、长为32m的长方 (如下图所示).若圈出的4个数中，最小数 形地面上铺540m2的草坪，并留出如下图所 与最大数的乘积为84，求这个最小数. 示的宽度相同的通道，通道的宽度为多少？ 2025年07月 日一二三四五 12345 67餐91012 3145167189 20212223242526 2728293031 5.如下图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC= 12cm,点P从点A出发沿AB以1cm/s的 速度向点B移动：同时，点Q从点B出发沿 BC以2cm/s的速度向点C移动.经过多少 秒后，△DPQ的面积为28cm2? 知识点②几何图形问题 3.古代数学文化我国古代数学 著作《增删算法统宗》记载了 “圆中方形”问题：今有圆日 一段，中间有个方池.丈量日 地待耕犁，恰好三分在记，池 单位：步 面至周有数，每边三步无疑. 第3题图 其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方 形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积 恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距 3步远.如图，设正方形的边长是x步，则可 列方程为 () 上册第二章 39△ ⊙课外拓展提高 6.一个两位数等于其各数位上数字的积的3 倍，且个位上的数字比十位上的数字大2，则 这个两位数为 ( ) A.24 B.35 C.42 D.53 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4 16cm,BC=6cm,点P从点A出 发沿AB以3cm/s的速度向点B 移动，到达点B停止；同时，点Q B 第7题园 从点C出发沿CD以2cm/s的速 度向点D移动（点P停止时点Q也停止） 设运动时间为ts,当PQ=10cm时，t的值 为 8.有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮 (1)如图①，如果在铁皮的四个角裁去四个 边长一样的正方形后，将其折成底面积为 280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方 形的边长。 (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体 盒子.为了合理利用材料，某学生设计了如 图②所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来 的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方 形，问能否折出底面积为180cm2的有盖盒 子，如果能，请求出盒子的体积；如果不能， 请说明理由。 图① 图② 440 九年级数学B$版 已综合能力提升 9.如下图所示，一根木棍OE垂直平分柱子 AB,AB-200cm,OE=260cnm.一只老鼠C 由柱子底端点A以2cm/s的速度向顶端点 B爬行；同时，另一只老鼠D由点O以 3cm/s的速度沿木棍OE爬行.当老鼠C在 线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老 鼠与点O组成的三角形的面积为1800c2? 若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明 理由 知识要点归纳 1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、 解、验、答 2.检验所列方程的解是否符合题意，一般需橙验 其解的正确性与合理性。null