第2章 3 第2课时 公式法的应用&解题技巧专题 一元二次方程根的判别式的应用技巧-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

10.解：(1)整理方程，得(2x-3)2一75=0. 移项，得(2x一3)3=75， 开平方，得2x一3=土55， 解得n=3计55-3-55 2 2 (2)移项，得x2一4x=1. 配方，得2-4红+4=1十4，即(x-2)=5. 开平方，得x-2=±5，即x-2=5或x-2=一5 解得x1■2十5，x2=2一5 11,解：设小道的宽为xm,则剩余部分可合成长(40一x)m宽 (20一x)m的矩形.依题意，得(40一x)(20一x)=741,整理 得x2一60x十59=0，由配方法解得x1=1,x2=59.又，20 一x>0,.x<20,.x=1 故小道的宽为1m. 12.解：(1)：x2+2xy+2y2+2y+1=0, (x+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0, .(x+y)2十(y十1)°=0， x十y=0,y+1=0,.x=1,y=-1. (2).a2+=12a+8b-52, .(a2-12a十36)+(b-8b+16)=0, .(a一6)2十(6一4)2=0，解得a=6,b=4. :△ABC为等腰三角形，.三边长为6,6,4或4,4,6， 则c的值为4或6. 第2课时用配方法求解二次项系数 不为1的一元二次方程 1.D2.D 3解：1系数化为1，得2-音一专=6 3 移项，得父-子 配方：得(x一)》”-是 解得=3计压，=3二国 4 4 (2)整理，得y2一2y=2 配方，得(y-1)2=3. 解得4=1十5，y2=1一5. 4.B5.号或号6C7.0 8.解：2(x-1)8+1=0与(a十2)x2+(b-4)x十8=0是“同 族二次方程”，∴.(a+2)x2+(6-4)x+8=(a+2)(x-1)2+ 1,∴.(a+2)x2+(6-4)x十8=(a+2)x2-2(a+2)x十a+3, -一4“原得化0六e2+红+206 5x2-10x+2026=5(x-1)2十2021 (x-1)2≥0，∴.5(x-1)2+2021≥2021，即ax+bx十 2026的最小值为2021. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程 1.2x-9x+8=02-98179+厘9-回 2.-3 3.解：(1)移项，得x2一6x+5=0 :a=1,b=-6,c=5, .4=6-4ac=(-6)2-4X1×5=16>0, 六x=6±压-3士2，即=5，=1. 2 (2)整理，得x2一5x一12=0. a=1,b=-5,c=-12 ∴△=8-4ac=(-5)1-4X1×(-12)=73>0, x5±压，即=+压，=5二压 4.解：解答过程有铅误，正确的解答过程如下： 整理方程，得x2十3x一2=0， a=1,b=3,c=-2, .△=b2-4ac=32-4×1×(-2)=17>0, x=3生正，即4=3+亚，西=3应 2 2 2 5.B变式题C6.C7.A8.8或9 9.解：(1)证明：，a=m,b=一(m十2)，c=2, .△=b2-4ac=(m十2)2一8m=m2十4m十4一8m=m2一4m 十4=(m-2)2≥0， ,不论m为何值，方程总有实数根 (2)由题意知，x=m十2士/m2交-m+2士m-2 2m 2m 小1-m+2十m一2-1，=m十2m+2-名 2m 2m m :m是整数，方程有两个不相等的正整数根，“m=1, .当m=1时，方程有两个不相等的正整数根， 10.解：1)方程z”十2x十1=0是“勾系一元二次方程” 理由：Ec=2,∴c=E.a=1,b=1,a2十6=c2,.以 a,b,c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， .方程x2十2x十1■0是“勾系一元二次方程” (2)证明：：ax2十厄cz十b=0是“勾系一元二次方程”， ∴a,b,c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，∴ =a2十2.△=(2c)-4ab=2c2-4ab=2(a2十b2)-4ab =2(a一)2≥0，关于x的“勾系一元二次方程”ax2十 Ez十b=0必有实数根. (3),x=一1是“勾系一元二次方程”ax2十√/2cx十b=0的 一个根，，a一/2c十b=0,.a十b=2c,四边形ACDE的 周长是12，.2(a十6)十√2c=12,.22c十2c=12,.c= 22,a+b=E×22=4,(a+b)2=16,∴.a2+2ab+6 =16.a2十b=c2=(22)2=8,,2a6十8=16，.ab=4, 5ac=26=X4=2 第2课时公式法的应用 1.B2.C3.4或6变式题104.2变式题1 5,解：设原来圆形花坛的半径是x,则改造后半图形花坛的 半径为x十5)n.根据题意，得x=子r+5,解得= 5十52，x2=5一5√2（不合题意，舍去）. 故原来圆形花坛的半径为(5十5/2)m. 6.D7.C8.19.10 10.解：1)(-立x+30）m (②依题意，得(-之x+0)x-60, 整理，得x2一60x十800=0， 解得z1=20,x1=40. 故BC的长为20m或40m 11,解：由题意，得小等腰直角三角形的胺长与矩形的一边长 相等， 大等腰直角三角形的腰长与矩形的另一边长相等. 设矩形的另一边长为 由题直，得2×2x=号×2×2十号·x· 44444 上册参考答案 175 解得x1=4十25，x1=4-25. 故矩形的另一边长为4十23或4一23 解题技巧专题一元二次方程根的 判别式的应用技巧 1.D2D3.C4.无实数根5.1或26.B7.D8. 9.0(客案不唯一) 10.解：(1)正明：△=[一(m一1)]下一4×1×[一2(m十1)] =m2+6m+9=(m十3)2 (m十3)2≥0，即△≥0， .无论m取何值，该方程总有实数根 (2)由求根公式，得1-m-1)十m十-m十1， 2×1 m-1)-m+3 -=-2 2×1 当m=1时，方程的根为1=2，=一2 4用因式分解法求解一元二次方程 1.D2.A 3.解：(1)，2x(x-1)=1-x,.2x(x-1D+x-1=0, ∴(x-1)(2x+1)=0,x-1=0或2x+1=0, =1=- (2)(x-3)2-2=0,÷.(x-3+E)(x-3-2)=0, .x-3十2■0或x-3-/2=0, .x1=3-/2,x:=3十/2 4.C 5.解：(1)示例：选择x-3x十1=0. a=1,6=一3，c=1, 六4=(-32-4×1×1=9-4=5>0，z=3±5 4二6 即西1=3土E 2 2 (2)①移项，得x2十3x=10 配方得+3x+号-号(x+)》”9 开平方，得x叶是-士子每得=-一5函=2 ②，'a=4,b=-7,0=2, .4=(-7)2-4×4×2=49-32=17>0, x-生厘，即中厘-厘 8 8 8 ③因式分解，得x(x一3)=0， “x=0或x一3=0，解得=0，=3. 6.D7.A变式题C8.C9.D10.8 11.解：设垂下的长度BF为xcm,则AE=BF=xcm 根据圈意，得(120+2x)(60+受)=2×120×60， 整理，得x2十100x一2400=0，即(x一20)(x十120)=0. 解得1=20，x=一120（不符合题意，舍去）， 120+2x=120+2×20=160,60+号x=60+ ×2 =90, 故这块桌布的长为160cm,宽为90cm 12.解：(1)x十4x十3=(x十3)(x十1)=0， x十3=0或x十1=0，∴.x1=一3，x2=一1. (2)2x2+3x-20=(x十4)(2x-5)=0, x十4=0或2x-5=0,=-4,4=号 144443 176 九年级数学B$版 计算技巧专题一元二次方程的解法 1.解：，(x一3)2=2x一6，.(x-3)-2(x-3)=0, .(x-3)(x-3-2)=0,即(x-3)(x-5)=0, .x-3=0或x-5=0,.x1=3,x2=5. 2.解：开平方，得x一5=士4， 即x-5=4或x-5=-4,∴.4=9，=1. 3.解：移项，得x-4红=一1. 配方，得x2-4红十4=-1十4，即(x-2)2=3. 开平方，得x一2=土5，x1=2十5，x=2-√5. 4.解：整理，得2x2一9x-34=0, a=2,b=-9,=-34, ∴.4=（一9）-4×2×(-34)=353>0， “x=二6生-9±3愿 4 解得-9十 4 ,5=9/5 4 5.解：令2x2-3x=y,则原方程可化为y+5y十4=0， 解得1■一4，y■一1， 当y=-4时，2x2-3x=-4,即2x2-3x+4=0,此时△ (一3)2一4×2×4=-23<0，方程无实数根，舍去： 当y=-1时，2x2-3z=-1, 解得-名x4=1 故原方程的解为方=立，西=1 6.解：分两种情况： ⑧当2x十3>0，期>-子时，原方程化为一-22x+3》十 9=0, 整理，得x2-x十3=0，解得x1=1,x2=3: ②当2x+3<0,即x<-子时，原方程化为父+2(2x十3)+ 9=0,整理，得x2十4x十15=0. :△=4一4×1×15=一44<0，∴方程无实数根，舍去 综上所述，原方程的解是4=1，x=3. 5一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.B3.A 4.解：由题意，得△=16一4k十4≥0，k≤5. “,工是方程的两实数根， 六1十=-4，为·=k-1 “+)<2…号×(-4<20-1， 每得>子：<5，k的取值范围是子<<5， 5.A6.g+p+17.-2 8解：根据根与系数的关系， +(-2)=- 5 a3 得 3 aX(-2)=二 解得 3 =2 故k的值为，方程的另一个根。的值为子 ◆一题多解法《 把x=-2代入原方程，得3×（一2）2十5×(-2)一4 =0,解得及=2 故原方程为3x2+5x-2=0,解得4=一2，西=子 :“k的值为子，方程的另一个根。的值为子第2课时 公式法的应用 已课内基础闯关 变式题一面靠墙→两面靠墙 知识点 公式法的应用 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD),两 1.古代数学文化《九章算术》中记载了如下问 面靠墙(AD位置的墙的最大可用长度为 题：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不 27m,AB位置的墙的最大可用长度为 出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、 15m),另两面用木栏围成，中间也用木栏隔 广、邪各几何.”这段话的意思如下：今有门 开，分成两个场地及一处通道，并在如图所 不知其高宽，有竿不知其长短.横放，竿比门 示的三处各留1m宽的门（不用木栏），建成 宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺；斜放， 后木栏总长45m.若饲养场的面积为180m, 竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角 则饲养场的一边AB= m. 线的长各是多少.该问题中的门高是( A.6尺 B.8尺 4.如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上 C.12尺 D.13尺 修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的 2.某小区计划在一个长16m、宽9m的矩形场 部分铺上草坪.要使草坪的面积为540m2, 地ABCD上修建若干条同样宽的小路，竖直 则道路的宽为 m. 的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分 种草.已知种草部分的总面积为112m2,设 第4题图 变式题围 小路宽xm.若x满足方程x2一17x十16 0,则修建的示意图是 ( 变式题如图，某单位准备在长30m、宽20m 的矩形花园中修两条纵向平行和一条横向 弯折的小道（小道的宽度相等），剩余的地方 种植花草.要使种植花草的面积为532m2, 那么小道进出口的宽度为 m. 5,如下图，学校围墙外有一圆形花坛，在不改变 占地面积的情况下，准备将其改造成半圆形 已知改造后半圆形花坛的半径比原来圆形花 3.如图，利用30m长的篱笆（篱笆一面靠墙， 坛的半径多5m,求原来圆形花坛的半径， 墙足够长)围成中间隔有一道篱笆的矩形花 围.当花周的面积是72m2时，AB m 第3题 变式题围 32 九年级数学BS版 ⊙课外拓展提高 水库中围成如下图所示的三块矩形区域，且三 6.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其 块区域面积相等.设BC的长为xm 对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向 (1)AE的长为 (用含x 平移，得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部 的代数式表示). 分的面积为0.5cm2,则移动的距离AA'为 (2)当矩形ABCD的面积 D 为600m2时，求BC的长 区城① 区城 H 区城② 第6题 A.3cm B2± 4 -cm Ccm或cm D.生Ecm 2 7.如图①，将一张长20cm、宽10cm的长方形 已综合能力提升 硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成 11.如下图所示的六边形是由两个全等的矩形 如图②所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积为 和两个等腰直角三角形组成的，其中两个 48cm2,则该有盖纸盒的高为 矩形的面积和等于两个等腰直角三角形的 单位：cm 面积和.若矩形的一边长为2，求另一边长 周① 周②2 第7题图 A.4 cm B.3 cm C.2 em D.1 cm 8,(教材变式)如图，若由点A(a,0),O(0,0), B(一a,a+3)(a>0)确定的△AOB的面积 为2，则a的值为 80m 知识要点归纳 面积问题：应用“等积变形” 第8類国 第9题困 9.某学校有一矩形空地ABCD,长80m,宽40m, 计划在这块空地上划出如图所示宽度x(单位： m)相等的E形区域建成花圃.已知花圃的面积 等宽小路问题 镶边问题 为1700m2,则x的值为 10.为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤 2 3 岸足够长)为一边，用总长为120m的围网在 围越问题 上册第二章 33 解题技巧专题 一元二次方程根的判别式的应用技巧 题型① 不解方程，判断一元二次方程根的 7.(2024宿迁)规定：对于任意实数a,b,c,有 情况 【a,b】★c=ac十b,其中等式右边是通常的乘 1.以下一元二次方程有两个相等实数根的是 法和加法运算.如【2,3】★1=2×1+3-5. 若关于x的方程【x,x十1】★(mx)=0有两 A.x2-6x=0 B.x2-9=0 个不相等的实数根，则m的取值范围为 C.x2-6x+6=0 D.x2-6.x+9=0 2.(2024一2025南昌青山湖区月考)关于x的 Am<号 B.m 一元二次方程x2一√3x十1=0的根的情况 C.m>且m≠0 D.m<子且m≠0 说法正确的是 A.只有一个实数根 8.若关于x的方程号2-x十c=0有两个相等 B.有两个相等的实数根 的实数根，则c的值为 C.有两个不相等的实数根 D.无实数根 9.已知关于x的一元二次方程x2一2x十k=0 3.已知关于x的一元二次方程x2一mx一n2十 有两个不相等的实数根.请写出一个满足题 mm十1=0，其中m,n满足m一2n=3,关于 意的的值： 该方程根的情况，下列判断正确的是( 题型③ 用一元二次方程根的判别式进行 A.无实数根 证明 B.有两个相等的实数根 10.已知关于x的方程x2-(m一1)x-2(m十 C.有两个不相等的实数根 1)=0. D.无法确定 (1)求证：无论m取何值，该方程总有实 4.已知a,b,c是△ABC的三边长，那么关于x 数根. 的方程子2-(a一)x十2=0的根的情况 (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个 满足条件的m的值，并求出此时方程的根. 是 5.若直线y=一3x一a不经过第三象限，则关 于x的方程ax2一3x十1=0的解的个数为 题型② 已知方程根的情况求参数或确定参 数的取值范围 6.如果关于x的一元二次方程x2-2x十p=0 总有实数根，那么p应满足的条件是( A.p≥1 B.p≤1 C.p=1 D.p>1 34 九年级数学BS版