第2章 3 第1课时 用公式法求解一元二次方程-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程 已课内基础闯关 即x1=-2,x2=-1. 知识点① 用公式法解一元二次方程 请你分析以上解答过程有无错误，如有错 误，请写出正确的解答过程. 1.将方程2x2十8=9x化为一般形式是 ,其中a= :b ,C= ,则b2-4ac= 用求根公式可得x= ,x= 2.求方程x2+3x十2=0的根时，根据求根公 式，列式为xm士1X区，则m的值 2X1 为 3.用公式法解下列方程： (1)x2-2x=4x-5. 知识点②一元二次方程的根的判别式 5.(2024一2025儋州期中)下列一元二次方程 中，没有实数根的方程是 () A.x2-2x-3=0 B.x2-2x十3=0 C.x2-2x十1=0 D.x2=3.x 变式题不解方程，判断关于x的方程x2+ kx十k一1=0的根的情况是 (2)x(x+3)=12+8x. A.随k值的变化而变化 B.有两个不相等的实数根 C.有两个实数根 D.无实数根 6.定义新运算“※”：对于实数mn,p,q有[m, p]※[q,]=mm十pg,其中等式右边是通常的 加法和乘法运算.例如：[2,3]※[4,5]=2×5 十3×4=22.若关于x的方程[x2+1,x]※[5 4.纠错题解方程x2=一3x十2时，有一名同 一2k,k]=0有两个实数根，则的取值范围 学的解答过程如下： 是 () 解：，a=1,b=3,c=2, .b-4ac=32-4×1×2=1, A<号且k0 B号 x=-b士4c=-3±五=-3±1 2a 2×1 2, C长号且k0 D.AS 30 九年级数学BS版 已课外拓展提高 方程称为“勾系一元二次方程” 7.(2024一2025南昌期中)定义：cx2十bx十a= 请解决下列问题： 0是一元二次方程ax3十bx十c=0的“倒方 (1)试判断方程x2十2x十1=0是否是“勾 程”.下列四个结论错误的是 ) 系一元二次方程”，并说明理由， A.如果ac>0,那么这两个方程一定都有两 (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程” 个不相等的实数根 a.x2十厄cx十b-0必有实数根 B.如果x=2是x2+2x十c=0的“倒方程” (3)若x=一1是“勾系一元二次方程”ax2 的解，那么c=一 十瓦cx十b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是12，求△ABC的面积. C.如果一元二次方程ax2一2x十c=0无解， 那么它的“倒方程”也无解 D.如果x=t(t≠0)是一元二次方程ax2十bx 十c=0的根，那么x=}也是“倒方程 cx2十bx十a=0的根 8.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是 关于x的方程x2一6x十n=0的两个根，则n 的值为 9.已知关于x的一元二次方程mx2一(m十2)x 十2=0. (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根. (2)当m为何整数时，方程有两个不相等的 正整数根？ 知识要点归纳 1.求极公式：一般地，对于一元二次方程ax2十bx +c=0(a≠0)，当b-4ac≥0时，它的根是x =-b±-4a 2a 已综合能力提升 2.公式法：用求根公式解一元二次方程的方法 10.新定义题如下图，四边形ACDE是证明勾股 3.一元二次方程根的判别式：4=b一4ac.当△> 定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和 0时，方程有两个不相等的实数根：当△=0时，方 Rt△BED的边长，易知AE=√2c,这时我们把 程有两个相等的实数根：当△<0时，方程凌有实 数根。 关于x的形如ax2十瓦cx十b=0的一元二次 上册第二章10.解：(1)整理方程，得(2x-3)2一75=0. 移项，得(2x一3)3=75， 开平方，得2x一3=土55， 解得n=3计55-3-55 2 2 (2)移项，得x2一4x=1. 配方，得2-4红+4=1十4，即(x-2)=5. 开平方，得x-2=±5，即x-2=5或x-2=一5 解得x1■2十5，x2=2一5 11,解：设小道的宽为xm,则剩余部分可合成长(40一x)m宽 (20一x)m的矩形.依题意，得(40一x)(20一x)=741,整理 得x2一60x十59=0，由配方法解得x1=1,x2=59.又，20 一x>0,.x<20,.x=1 故小道的宽为1m. 12.解：(1)：x2+2xy+2y2+2y+1=0, (x+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0, .(x+y)2十(y十1)°=0， x十y=0,y+1=0,.x=1,y=-1. (2).a2+=12a+8b-52, .(a2-12a十36)+(b-8b+16)=0, .(a一6)2十(6一4)2=0，解得a=6,b=4. :△ABC为等腰三角形，.三边长为6,6,4或4,4,6， 则c的值为4或6. 第2课时用配方法求解二次项系数 不为1的一元二次方程 1.D2.D 3解：1系数化为1，得2-音一专=6 3 移项，得父-子 配方：得(x一)》”-是 解得=3计压，=3二国 4 4 (2)整理，得y2一2y=2 配方，得(y-1)2=3. 解得4=1十5，y2=1一5. 4.B5.号或号6C7.0 8.解：2(x-1)8+1=0与(a十2)x2+(b-4)x十8=0是“同 族二次方程”，∴.(a+2)x2+(6-4)x+8=(a+2)(x-1)2+ 1,∴.(a+2)x2+(6-4)x十8=(a+2)x2-2(a+2)x十a+3, -一4“原得化0六e2+红+206 5x2-10x+2026=5(x-1)2十2021 (x-1)2≥0，∴.5(x-1)2+2021≥2021，即ax+bx十 2026的最小值为2021. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程 1.2x-9x+8=02-98179+厘9-回 2.-3 3.解：(1)移项，得x2一6x+5=0 :a=1,b=-6,c=5, .4=6-4ac=(-6)2-4X1×5=16>0, 六x=6±压-3士2，即=5，=1. 2 (2)整理，得x2一5x一12=0. a=1,b=-5,c=-12 ∴△=8-4ac=(-5)1-4X1×(-12)=73>0, x5±压，即=+压，=5二压 4.解：解答过程有铅误，正确的解答过程如下： 整理方程，得x2十3x一2=0， a=1,b=3,c=-2, .△=b2-4ac=32-4×1×(-2)=17>0, x=3生正，即4=3+亚，西=3应 2 2 2 5.B变式题C6.C7.A8.8或9 9.解：(1)证明：，a=m,b=一(m十2)，c=2, .△=b2-4ac=(m十2)2一8m=m2十4m十4一8m=m2一4m 十4=(m-2)2≥0， ,不论m为何值，方程总有实数根 (2)由题意知，x=m十2士/m2交-m+2士m-2 2m 2m 小1-m+2十m一2-1，=m十2m+2-名 2m 2m m :m是整数，方程有两个不相等的正整数根，“m=1, .当m=1时，方程有两个不相等的正整数根， 10.解：1)方程z”十2x十1=0是“勾系一元二次方程” 理由：Ec=2,∴c=E.a=1,b=1,a2十6=c2,.以 a,b,c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， .方程x2十2x十1■0是“勾系一元二次方程” (2)证明：：ax2十厄cz十b=0是“勾系一元二次方程”， ∴a,b,c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，∴ =a2十2.△=(2c)-4ab=2c2-4ab=2(a2十b2)-4ab =2(a一)2≥0，关于x的“勾系一元二次方程”ax2十 Ez十b=0必有实数根. (3),x=一1是“勾系一元二次方程”ax2十√/2cx十b=0的 一个根，，a一/2c十b=0,.a十b=2c,四边形ACDE的 周长是12，.2(a十6)十√2c=12,.22c十2c=12,.c= 22,a+b=E×22=4,(a+b)2=16,∴.a2+2ab+6 =16.a2十b=c2=(22)2=8,,2a6十8=16，.ab=4, 5ac=26=X4=2 第2课时公式法的应用 1.B2.C3.4或6变式题104.2变式题1 5,解：设原来圆形花坛的半径是x,则改造后半图形花坛的 半径为x十5)n.根据题意，得x=子r+5,解得= 5十52，x2=5一5√2（不合题意，舍去）. 故原来圆形花坛的半径为(5十5/2)m. 6.D7.C8.19.10 10.解：1)(-立x+30）m (②依题意，得(-之x+0)x-60, 整理，得x2一60x十800=0， 解得z1=20,x1=40. 故BC的长为20m或40m 11,解：由题意，得小等腰直角三角形的胺长与矩形的一边长 相等， 大等腰直角三角形的腰长与矩形的另一边长相等. 设矩形的另一边长为 由题直，得2×2x=号×2×2十号·x· 44444 上册参考答案 175