第2章 2 用配方法求解一元二次方程-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

2用配方法求解一元二次方程 第1课时 直接开平方法与用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 已课内基础闯关 知识点③ 用配方法求解二次项系数为1的 知识点① 直接开平方法 一元二次方程 1.方程x2=5的解是 5.用配方法解一元二次方程x2一2x一2024= A.5 0时，将它转化为(x十a)=b的形式，则a B.25 的值为 () C.±25 D.±5 A.-2025 B.2025 2.下列方程中，能用直接开平方法解的是 C.-1 D.1 6.(2024一2025深圳期中)公元9世纪，阿拉伯 A.9x2-16=0 B.9x2+16=0 数学家阿尔·花拉子米在解方程x2十2x C.4x2=-4x D.-y2=2 35=0时采用的方法是构造如图所示的图 变式题具体值→求字母取值范国 形，一方面，正方形的面积为(x十1)2：另一 若关于x的一元二次方程(x十2)2=m一1 方面，它又等于35十1，据此可得方程的一个 可以用直接开平方法求解，则m的取值范 正数解为x=5.按照这种构造方法，我们在 围是 求方程x2十4x=5的一个正数解时，可以构 造图形 () 3.用直接开平方法解方程： 2女-8=0. 第6题因 (2)(x-4)2=25. 知识点② 配方 4.填空： 7.用配方法解方程：x2+2,厄x=4. (1)x2十4x+ =(x十 )2 (2)x2+ x+9=(x+ )2 (3)4x2+ +9=(2x+ )2 上册第二章 2金 巴课外拓展提高 田中种植的面积为741m2,小道的宽为多 8.如图所示的是一个简单的数值运算程序，则 少米？ 输人x的值为 ( 釉入王 (x-1) X(-3) 输出一9 第8题固 A.1+5 B.1-5 C.1+5或1-月 D.±5 9.将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加 a b 已综合能力提升 b 一条竖直线记成 e a 定义 ad- 12.阅读材料：若m2一2mm十2n2-2n+1=0, 求m,的值。 bc.若 x+1 6,则x 解：，m2-2mn十22-2n+1=0,.(m2 2mn十元2)十(n2-2n十1)=0， ∴.(m-n)2+(n-1)3=0,∴.(m-n)3=0, 10.解下列方程： (n-1)2=0,.n=1,m=1. 1072x-3)2-25=0. 根据材料，探究下面的问题： (1)已知x2+2xy十2y2+2y+1=0,求x,y 的值 (2)已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a +6=12a+8b-52,且△ABC是等腰三角 形，求c的值. (2)x2-2x=2x+1. 知识要点归纳 1,直接开平方法：利用平方根的定义直接解一元 11.(教材变式)在学校劳动基地里有一块长 二次方程的方法 2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 40m、宽20m的矩形试验田，为了管理方 的步骤：①移项：②配方，将方程化为(x十m)2=n 便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三 (n≥0)的形式：③用直接开平方法求解， 条等宽的小道，如下图，已知这块矩形试验 九年级数学BS版 第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 已课内基础闯关 5.跨物理学科一小球以15m/s的速度竖直向 上弹出，它在空中的高度h(单位：m)与时间t 知识点① 用配方法求解二次项系数不为1的 (单位：s)满足关系式h=15t-52.当t 一元二次方程 1如图，用配方法解方程号女-x一2=0的四 5时，小球高度为空 个步骤中，出现错误的是 ©课外拓展提高 6.已知P=4m-3,Q=4m2-1(m为任意实 2--20→x2-2x4→2-2x+1=5→e-15→=5+l 数)，则P,Q的大小关系为 () ① ② ③ 第1题周 A.P>Q B.P≤Q A.① B.② C.③ D.④ C.P<Q D,不能确定 2.用配方法解一元二次方程-3.x2+12x一2= 7.若一元二次方程4x2十12x一27=0的两根 0时，将它化为(x十a)2=b的形式，则a+b 为x1=a,x2=b,且a>b,则3a十b的值为 的值为 ) A兰 B号 c 8.新定义题关于x的一元二次方程a1(x m)2十k=0与a2(x一m)2十k=0称为“同族 3.用配方法解方程： 二次方程”.如2(x一3)2+4=0与3(x一3)2 (1)2x-3x-2=0. 十4=0是“同族二次方程”，现有关于x的一 元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+ (b一4)x十8=0是“同族二次方程”，那么代 数式ax+bx十2026能取的最小值是多少？ (2)y-Y1--1 2 知识要点归纳 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 知识点② 配方法的应用 的一般步骤：(1)将方程的二炎项果数化为1： 4.无论x取何值，代数式3x2-6x十11的值 (2)移项：(3)配方，把原方程化为(x十m2=n的 形式：(4)求解，当≥0时，用直接开平方法求出 A.总大于8 B.总不小于8 方程的解：当n<0时，直接判断方程无实数解 C.总不小于11 D.总大于11 上册第二章章末对点导练 1.C2.B3.▣ 4 4.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ,AB∥CD,.∠ABD=∠BDC :'BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC .∠BDC=∠DBC,.BC=CD,∴.□ABCD是菱形 (2)由(1)可知，四边形ABCD是菱形 BO=DO,∠DCA=∠BCA=∠BCD,AC1BD,AB∥ CD,∴.∠BCD=180°-∠ABC=180°-70'=110，∠DCE ∠ABC=70,∠ACD=3∠BCD=55 ∠ECM=15,∠DCM=∠DCE-∠ECM=0-15 55,∴.∠DCA=∠DCM DF ICM,BD LAC.:DODF=/5,..BD-2DO-2/5 5.A6.37.A 8.解，(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.BA∥CD, ∴∠BAE=∠FDE. E是边AD的中点，∴，AE=DE ∠BAE=∠FDE, 在△BEA和△FED中. AE=DE. ∠BEA=∠FED, ,△BEA2△FED(ASA),.EB=EF 又，AE=DE,四边形ABDF是平行四边形 ∠BDF=90,□ABDF是矩形」 (2)由(1)，得四边形ABDF是矩形， .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD AF=AD-DF=/-3=4, .S阳号DF=DF·AF=3X4=12,BD=AF=4. '四边形ABCD是平行四边形，，CD=AB=3, Sam=号BD:CD=子X4X3=6, ∴S=5e影DF十SAD=12+6=18. 9.C 10.解：(1)BM=CN BMLCN (2)成立.理由如下： 如图，延长BM交CN于点H, ,四边形ABCD为正方形 ∴.AD=AB=DC=BC,∠DCB= ∠CBA=∠DAB=∠ADC=9G. ,CM⊥DP,AN∥MC, AN⊥DP,.∠AND=∠DMC =90°， ∴.∠ADN+∠DAN=∠ADN+∠CDM=90°， .∠DAN=∠CDM ∠AND=∠DMC, 在△ADN和△DCM中， ∠DAN=∠CDM, LAD-DC. △ADN≌△DCM(AAS),·DN=CM ∠NDC+∠MCD=∠MCB+∠MCD=9O', .∠NDC=∠MCB. DC=CB, 在△DCN和△CBM中， ∠NDC=,∠MCB, DN=CM, '.△DCNa△CBM(SAS), ,CN=BM,∠DCN=∠CBM, ∴.∠DCN+∠NCB=∠CBM+∠NCB=90°， ∠BHC=9O°，∴BM⊥CN 4444 174 九年级数学BS版 11.A12.A13.B14.(-2,-1)15.216.5-/2 17.证明：：0是边AB的中点， ..OA=OB. ∠A=∠B=90 在△AOD和△BOC中，OA=OB, ∠AOD=∠BOC ∴.△AOD2△BOC(ASA),∴.AD=BC. ∠A=∠B=90°，.AD∥BC, ,四边形ABCD是平行四边形 :∠A=∠B=90°，四边形ABCD是矩形 18.解：示例：选择甲.证明：如图，连接AE AD=DC=- BC,E是BC的 中点， CE-BC-AD. ,AD∥BC,,四边形ADCE是平行四边形 ,AD=CD,,四边形ADCE是菱形. 第二章 一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.C2.-13.C变式题B4.D5.D变式题-2 6.解：(1)-5x=0 (2)(k|一5)x2+(k一6k十5)x一2=0是一元二次方程， ∴.1|一5≠0，解得k≠士5， 即当k≠±5时，(1k1-5)x2十(2-6k+5)x-2=0是一元 二次方程，它的二次项系数是|k|一5，一次项系数是2一6 十5，常数项是一2. 第2课时一元二次方程的解及其估算 1.D2.D变式题A3.C4.x2一4=0（答案不唯-一） 5.C6.A7.x=6 8.解：(1)一元二次方程3x2一4红一7=0是“风属方程”.理由 如下： 由题意，得a=3,b=一4，c=一7， ∴.a-b+c=3-(-40-7=0. 故一元二次方程3x-4x一7=0是“凤凰方程”， (2)由题意，得a=2,b=一m,c=5. 2x2一mx十5=0是关于x的“风凰方程”， .a-b十c■2-(-m)十5=0， 即2十m+5=0,解得m=一7. 2用配方法求解一元二次方程 第1课时直接开平方法与用配方法求 解二次项系数为1的一元二次方程 1.D2.A变式题m≥1 3.解：(1)方程可化为x2=16, 两边开平方，得工1=4x=一4. (2)两边开平方，得x一4=土5， 即x一4=5或x一4=一5,1=9，x=一1 4.(1)42(2)63(3)12x3 5.C6.B 7.解：配方，得x2+22x十2=4+2，即(x十2)2=6. 两边开平方，得x十/2=土6， 即x十厄=或x十2=一6， 1=6-E,x=-5-E 8.C9.±2 10.解：(1)整理方程，得(2x-3)2一75=0. 移项，得(2x一3)3=75， 开平方，得2x一3=土55， 解得n=3计55-3-55 2 2 (2)移项，得x2一4x=1. 配方，得2-4红+4=1十4，即(x-2)=5. 开平方，得x-2=±5，即x-2=5或x-2=一5 解得x1■2十5，x2=2一5 11,解：设小道的宽为xm,则剩余部分可合成长(40一x)m宽 (20一x)m的矩形.依题意，得(40一x)(20一x)=741,整理 得x2一60x十59=0，由配方法解得x1=1,x2=59.又，20 一x>0,.x<20,.x=1 故小道的宽为1m. 12.解：(1)：x2+2xy+2y2+2y+1=0, (x+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0, .(x+y)2十(y十1)°=0， x十y=0,y+1=0,.x=1,y=-1. (2).a2+=12a+8b-52, .(a2-12a十36)+(b-8b+16)=0, .(a一6)2十(6一4)2=0，解得a=6,b=4. :△ABC为等腰三角形，.三边长为6,6,4或4,4,6， 则c的值为4或6. 第2课时用配方法求解二次项系数 不为1的一元二次方程 1.D2.D 3解：1系数化为1，得2-音一专=6 3 移项，得父-子 配方：得(x一)》”-是 解得=3计压，=3二国 4 4 (2)整理，得y2一2y=2 配方，得(y-1)2=3. 解得4=1十5，y2=1一5. 4.B5.号或号6C7.0 8.解：2(x-1)8+1=0与(a十2)x2+(b-4)x十8=0是“同 族二次方程”，∴.(a+2)x2+(6-4)x+8=(a+2)(x-1)2+ 1,∴.(a+2)x2+(6-4)x十8=(a+2)x2-2(a+2)x十a+3, -一4“原得化0六e2+红+206 5x2-10x+2026=5(x-1)2十2021 (x-1)2≥0，∴.5(x-1)2+2021≥2021，即ax+bx十 2026的最小值为2021. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程 1.2x-9x+8=02-98179+厘9-回 2.-3 3.解：(1)移项，得x2一6x+5=0 :a=1,b=-6,c=5, .4=6-4ac=(-6)2-4X1×5=16>0, 六x=6±压-3士2，即=5，=1. 2 (2)整理，得x2一5x一12=0. a=1,b=-5,c=-12 ∴△=8-4ac=(-5)1-4X1×(-12)=73>0, x5±压，即=+压，=5二压 4.解：解答过程有铅误，正确的解答过程如下： 整理方程，得x2十3x一2=0， a=1,b=3,c=-2, .△=b2-4ac=32-4×1×(-2)=17>0, x=3生正，即4=3+亚，西=3应 2 2 2 5.B变式题C6.C7.A8.8或9 9.解：(1)证明：，a=m,b=一(m十2)，c=2, .△=b2-4ac=(m十2)2一8m=m2十4m十4一8m=m2一4m 十4=(m-2)2≥0， ,不论m为何值，方程总有实数根 (2)由题意知，x=m十2士/m2交-m+2士m-2 2m 2m 小1-m+2十m一2-1，=m十2m+2-名 2m 2m m :m是整数，方程有两个不相等的正整数根，“m=1, .当m=1时，方程有两个不相等的正整数根， 10.解：1)方程z”十2x十1=0是“勾系一元二次方程” 理由：Ec=2,∴c=E.a=1,b=1,a2十6=c2,.以 a,b,c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， .方程x2十2x十1■0是“勾系一元二次方程” (2)证明：：ax2十厄cz十b=0是“勾系一元二次方程”， ∴a,b,c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，∴ =a2十2.△=(2c)-4ab=2c2-4ab=2(a2十b2)-4ab =2(a一)2≥0，关于x的“勾系一元二次方程”ax2十 Ez十b=0必有实数根. (3),x=一1是“勾系一元二次方程”ax2十√/2cx十b=0的 一个根，，a一/2c十b=0,.a十b=2c,四边形ACDE的 周长是12，.2(a十6)十√2c=12,.22c十2c=12,.c= 22,a+b=E×22=4,(a+b)2=16,∴.a2+2ab+6 =16.a2十b=c2=(22)2=8,,2a6十8=16，.ab=4, 5ac=26=X4=2 第2课时公式法的应用 1.B2.C3.4或6变式题104.2变式题1 5,解：设原来圆形花坛的半径是x,则改造后半图形花坛的 半径为x十5)n.根据题意，得x=子r+5,解得= 5十52，x2=5一5√2（不合题意，舍去）. 故原来圆形花坛的半径为(5十5/2)m. 6.D7.C8.19.10 10.解：1)(-立x+30）m (②依题意，得(-之x+0)x-60, 整理，得x2一60x十800=0， 解得z1=20,x1=40. 故BC的长为20m或40m 11,解：由题意，得小等腰直角三角形的胺长与矩形的一边长 相等， 大等腰直角三角形的腰长与矩形的另一边长相等. 设矩形的另一边长为 由题直，得2×2x=号×2×2十号·x· 44444 上册参考答案 175