第1章 特殊平行四边形 学业质量自我评价-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

第一章学业质量自我评价 1.D2.C3.B4.C5.B6.D 7.AD=AB(答案不难-)8.291310，后11.15，E 12.9或6或3.5 13.解：(1)：四边形ABCD是矩形， :AC-BD,OA-AC,OB-BD,AO-OB. 又∠AOB=56° ∴∠0BA-∠0AB-壹×080'-56的=62 :AE⊥BD,∴，∠AEB=90°， ∴.∠BAE=90”-∠ABE=28 (2)证明：CE∥BD,DE∥AC, ∴四边形CODE是平行四边形 :正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴.OD=OC,∠D0C=90, ∴.口CODE是正方形，∴.DE=CE 14证明：：四边形ABCD是菱形，∴AD=CD. :AE⊥CD,CF⊥AD,∴.∠AED=∠CFD=90 :∠D=∠D,∴△AED2△CFD,∴DE=DF .AD-DF=CD-DE.:.AFCE. 15.解：(1D如图①，菱形AFCE即为所求 ① (2)如图②，矩形BECG即为所求 16.解：，AB∥CD,AD∥BC, ,四边形ABCD是平行四边形 :AB=BC,.□ABCD是菱形 ∠ABC=90°，菱形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠CBE=90 ,BC=AB,BE=AF,∴.△BCE2△ABF(SAS), ∴.∠BCE=∠ABF ∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠CBF+∠BCE=90', ∴，∠BGC=∠EGB■90 ,点H在线段BG的垂直平分线上， ∴.HB=HG,∠HGB=∠HBG. ∠EHG=∠HBG+∠HGB=64, .∠HGB=∠HBG=32,÷∠EGH=90°-32°"=589 17.解：D证明：E为AD中点，AE=ED=子AD .AD=2BC,∴ED=BC AD∥EC,.四边形BCDE是平行四边形 ∠ABD=90,E为AD的中点， .BE=ED=AE,∴.□BCDE是菱形 (2)AC平分∠BAC,∴·∠BAC=∠DAC ,AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA, .∠BAC=∠BCA,.AB=BC 在Rt△ABD中，AB=BC=2,AD=2BC=4.根据勾股 理，得BD=/AD-AB=√=2=23 18.解：(1)证明：如图，连接BD,AC,AC与BD交于点Q AB∥CD,AD∥BC ,,四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 各边的中点， ∴.GF∥BD,HG∥AC ,四边形EFGH是矩形，·HG1GF,∴BD⊥AC, ,四边形ABCD是菱形 (2):四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点， GF=EH=BD,HG=EF=令AC 矩形EFGH的周长为22，，BD十AC-22 :四边形ABCD是菱形，即之BD+2AC-OA+OB-11, :四边形ABCD的面积为1O, ∴之BD·AC-=10,即20A·0B=10, ,(OA+OB)3=OA+2OA·OB十OB=121, ∴.QA+0B=121-10=111,∴AB=/OA+0E=/T. 19.,解：(1)正明：在正方形ABCD中，AD⊥CD,GE⊥CD, .∠ADE=∠GEC=90°，，AD∥GE,∠DAG=∠EGH (2)AH⊥EF理由如下： 连接GC交EF于点O,如图， 'BD为正方形ABCD的对角线 ∴.∠ADG=∠CDG=45° 又，DG=DG,AD=CD ∴△ADG≌△CDG(sAS),∠DAG =∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF=90 又，GE⊥CD,GF⊥BC, ,四边形FCEG为矩形，.OE=OC, ∴.∠OEC=∠OCE,∴.∠DAG=∠OEC 由(I1D,得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC, ∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°， .∠GHE=90°，AH⊥EF 20.解：(1)证明：：由尺规作图疼迹，得AC=CD,CB是∠FCE 的平分线，∠ACB=∠DCB. 又，AB∥CD,∴，∠ABC=∠DCB, ∴，∠ACB=∠ABC,∴AC=AB,,AB=CD,.四边形AC DB为平行四边形 又：AC=AB,□ACDB是菱形. :∠ACD与△FEC中的∠FCE重合，它的对角顶点B在 ∠FCE的对边EF上， ∴.四边形ACDB为△FEC的“亲密菱形” (2)如图，过点A作AG⊥CE于点G 由(1)知，四边形ACDB为菱形，∴BD∥CP,AC=CD=BD, ,∠DBE-=∠F-90°，∠BDE=∠FCE=60°， ∠E=90°-∠BDE=30°， :.DE=2BD=2CD. .CE=CD++DE=12 CD=4. ,∠ACG=60°，∠AGC=90, AC=CD=4, ·∠CAG-90°-∠ACG=30°，∴.CG-=zAC=2, 在R△ACG中，由勾股定理，得AG=√AC-CG-2尽， ·菱形ACDB的面积-CD·AG=4X25-8尽. 21.解：(1)正明：EH⊥BC,FG⊥BC,.EH∥FG. 由题意可知，BF=2tcm,EH=tcm ,在菱形ABCD中，∠ABC=60', 44444 上册参考答案 195 ∴∠CBD=30,FG=tBF=tcm,EH=FG, ,四边形EFGH是平行四边形， :∠FGH=90,∴四边形EFGH是矩形， (2)△BFC与△DCE能够全等。 理由：在菱形ABCD中，∠ABC=60',AB=25cm, .∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=25cm,AB∥CD, ∴∠CBD=∠CDB=30°，∠DCH=∠ABC=60 DH⊥BC,∴.∠CHD=90°， ÷∠CDH=90°-60°=30=∠CBF, .CH-CD-/5 em,:.DH-/CD-C-3 cm. BF=2t cm,EH=tcm,:.DE=(3-t)cm, ∴当BF=DE时，△BFC2△DEC,∴.2t=3-6,∴E=1. 22.解：(1)证明：如图①，过点E分别作EM ⊥AD于点M,EN⊥AB于点N. :四边形ABCD是正方形， ∠EAD=∠EAB. :EM⊥AD,EN⊥AB,EM=EN :∠EMA=∠ENA-∠DAN=90°， 图 .四边形ANEM是矩形，.∠MEN=90 EF⊥DE,∠MEN=∠DEF=90, .∠DEM=∠FEN '∠EMD=∠ENF=9O°，∴.△EMD≌△ENF(ASAD, .ED=EF. ,四边形DEFG是矩形，.四边形DEFG是正方形. (2),'四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， .DG=DE,DC=DA=AB=4,∠GDE=∠ADC=90°， ∠ADG=∠CDE,.△ADG2△CDE(SAS), ∴，AG=CE,∴AG十AE=EC十AE=AC=2AD=4E (3)如图②，连接DF :四边形ABCD是正方形，，AB=AD =4,AB∥CD. ,F是AB的中点，AF=FB, DF=√2+4=25， ·点E到DF的距离=之DF=厅， 图② 23.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形 .AD=AB,∠BAC=∠DAC=45 又，AP=AP,∴.△DAP2△BAP(SAS),.PB=PD. (2)①PD=EF,正明： 如图①，连接BP.由(1)知，PB=PD :四边形ABCD是正方形，.∠ABC=90 :PE⊥AB,PF⊥BC, .四边形PEBF为矩形 EF=BP,∴PD=EF ②2/5 (3)如图②，作点O关于AD的对称点O,连 接AO,OO,OM,OP,过点O0作OH⊥AO, 则AO=AO,OM=OM,∠OAD= ∠OAD, .PM+OM=PM+OM≥>OP, .当O,M,P三点共线时，PM十OM的 值最小为O'P的长. ② 又，P为AC上的动点， .当OP⊥AC时，OP最小，即点P与点H重合 ,菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°， AD=4,∠DA0=30',A010D,0D=2AD=2, 4344 196 九年级数学BS版 ∴.AO=AD-OD=25. ∠OAD=∠DAO=30',∠OA0=60°， ∴，△AO0为等边三角形，∴.AO=AO=25 0H⊥A0,4AH=受A0=F, ∴，OH=/OA一AH=3,,PM十OM的最小值为3. 第二章学业质量自我评价 1.B2.C3.C4.A5.B6.C 7-981(答案不唯-）9.-号10.21.-2 12.10或6或12 13.解：(1)，a=1,b=1,c=-12,:△=12-4×1×(-12)=49 >0x二仕会匹史，解得- 2a (2)因式分解，得(2x十12)(2x一12)=0， .2x+12=0或2x一12=0，解得x1=-6,x2=6. 14.解：将x=3代人x2-2x十a=0,得32一6十a=0, 解得a=一3. 将a=-3代入x2-2z十a=0,得x2-2x-3=0, 解得x1=3,x2=一1. 故a的值为一3，方程的另一个根为-1. 15.解：②直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根 正确的解答过程如下： 移项，得4(2x一1)”=25(x十1) 直接开平方，得2(2x-1)=土5(x十1)， 即2(2x-1)=5(x+1)或2(2x-1)=-5(x十1)， 解得=-1西=一子 16.解：(1)，方程有两个不相等的实数根， 4=2+1-使=使+1>0，解得>-子 (2)当是=1时，方程为x2十3x十1=0. ”十x=-3,1x=1, “十君=(n十)2一2通=9-2=7. 17.解：(1)设每个月盈利的增长率为x. 依题意，得6400(1十x)°=8100， 解得x1=0.125=12.5%,x2=一2.125（不合题意，舍去）. 因此，每个月盈利的增长率为12.5%， (2)8100×(1十12.5%)=8100×1.125=9112.5（元）. 因此，按照这个增长率，这家商店5月份的盈利将达到 9112.5元. 18.解：(1)：[a,b们"[c,d]=ac-bd, [2,4]=[3,-1]=2×3-4×(-1)-10. (2)[x,1-x]*[x+2,m=0, ,x(x十2)-m(1-x)=0. 把x=2代人方程， 得2×(2+2)-m(1-2)=0,解得m=一8. 19.解：(1)，四边形ABCD为平行四边形， 当AB=AD时，□ABCD为菱形. :AB,AD的长是关于x的方程2-m十罗-=0的两 个实数根， ∴4=(-m2-4X1×{受-）=0，即m-2m+1=0,解 得m=m=1,九年级数学G能上m 8.过图，正为形ABCD第因积为4，B,P,GH分别为边AB,BC,CD,AD剪中点， 15.如图，在口ABCD中，AD=2AB,∠B03”,E,F分满为透AD,C的中点，清 葛四玫形EFGH的喜天为 仅用无则夏的直尺分列疲下列要果面丽（保留面更夜，不写面达） 第一章学业质量自我评价 9,如图，BE,CF存是AABC的高，3为BC纳中从，速保EF,对AME.若EF=可 D如困①，直A,C为刚点量商形AFCE C=8,斯△EF月的周长是 ()蜘图华，以B,C为复点后矩形BECG (考试时用：1加分钟满分：1的分 1象图，在表彩AD中，对金候C,BD相交于点D,点B在线段O上，害相 AE吾CD=BE,∠AE-∠DEA,EO-1,则线aAE的共为 州名1 一，单项避择通事大题共小随，每小短3分，共3分) 1正方形具有膏矩丽不一定具有剪性质是 青① A.对角互补 且对角线相等 青华 16,如下图，在界边票ABCD中，AB=BC,ABGD,ADC,∠ABC=的点E, C对角线互相平分 鱼裤角线克相是言 1如图，在兼AD中，点E在AD上，海凸EC箱等边三角影时，∠AEB为 F分列在边BAD上CE每BF相交于友G,BE=AF,限C的垂直平数 线壁BE于点日，且∠EHG=4,熏∠DH的度数 11如围，正方彩AD的周原为0，以AB为限作等蘑么ABF,AB=AF,A2甲 C40 10 分∠DMF交DC于原G,交BF约玩长线于从E,走淡DE著BF=8,斯DG 11如国，在距形ACD中，AB一2，AD=1,是CD上书克样△AD2篇AE 折叠，使原D落在配立上的点F处：P是线及CB延长线上们一十动点，连接 2题 PA.寿△PAF是等限三角表，斯PB另长为 1日知区边港ABCD局平行四政彩，对角线AC,BD相史于点Q,下列都能中，鞋 三，解答日（本大脑共5小，每本器年分，共0分引 候能舞 A1D如下面，冠彩AD转对角线AC,D脑交于点0，AE1D,垂为E, A04-0C,0B=0 ∠A0格=5求∠B入E的度直 17.如为丽，度国边老ACD中，D8BC,AD=2BC:∠ABD )”,E为AD的中点，满摆AC,D.BE 长当AB=CD时，唇边形ACD是表表 1)求证国站形比高海参 C当∠AC=0时，四也形ABCD是花张 (2)莲接AC,若AC平登，∠4D,BC=2,求D的长 L当AC-BD RAC⊥BD时：四边形ABCD是正方形 4如E,在商聚ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,B=1,AC=12,球点D 作AC岭平作线交C的联长线干真E,真△CE势面积为 A.4 46 C4 线如图扫一张装老低片AD查自下方去详行青次折委：第一衣将DM边折叠 到DC边上得到DA,折算为D,座接AI,C第二代将△MBC用霸M℃折 (2)加下图，正方患ACD的对角线AC与BD相交于点Q过点C作CE 变，MB效格好落在D边上，若AD一1，再AB的长为 BD.过点D作D零放AC.CE与DE相交下点E.求任DE=C A B唇 C D.E-1 百，朝答做[本大题共3小整，每小数8分，共4分】 8.124云南1当B图，在压边影AD中，E,F,病H分南是 备流的中点，且ABD,AD9民C,瓦边着ERH整形 )家证四发老AD基差影 C2)若矩形FGH第耳装为2丝，图边形ACD整面积为 解惠周面 10,求AB的长 (如更所示的是由10根完全相民的棒骨接门反片丽形，情条在正中再景2粗与 14(24亲南)妇下图，在德形AC0中，AE⊥白D,香是为E,CF⊥AD,垂是为 需直定食阳同的个棒，使样控后的因形恰好有3个表毛.年接方法其有《 F.求E:AF=E A,3种 我4种 C:种 )G种 二，填空厘{率大题共6小题，每小题3分，共1分) T.(4西背)如圆，在气点形ABD中，D-BC,AB-CD,C与BD厢交干点 0请蒂加一个条件 ,能区边表ABCD魔表思 7 19,的下图，在正为别ACD中，G是对角线BD上剪一原（刚点B,D不厦合），G正L五，解答是（本大随共2小理，每个理分，共8分引 光，解蓄随本大植共12分》 D,GFLBC,景足分利为E,F速线EF,AG,井E长G突EF干AH L.如下击，在表形AD中，，∠ABC=了，A总一1Tm,技点D作C的量候，. 3,224一225丸红月考【月题防最1正为毛是现们聘罗的几刺图用，它有君 (ID求证，∠DMG-∠EGH. 室等的廷长线T点H,点F从点B也光指D方向息：(m:龄来度向点D 帝家到性质，已知正方著ACD的达长母4，P是对角找AC上一点. (2)判斯AH与EF是香面直，井花用理由 匀速运炎，同时，或E从此H金发沿D方宵以1m/:的速鸟点D匀速运 (1)如舌①，车接PD,P8.求蓬，FE一PD同 场，最点玉：F的疑动时间为：：且C日，过点F作FG上C于成日，齿 【数学男考】 线EF, ()①如图②，P君LA,PPI心，蓄是会别为E,P雀接PD,EF,里PD与 (1)像证，国边形EFGH是赛违， 学的装登关系：并证明降的用使： (2)违接FC,C,点F,E在裙南过程中，△BFC与△DCE是香能够金等？若 巴如唐③，M是D的中属，进接P,PD,则PM+PD的最小值为 生，滚出时的值：言不生，球悦明到由 【阅比探克】 1)如图①，已知委形ACP的边餐为4，∠B4D=4时，对雀视AC,BD框交于 成O,P是AC上的动点，M是AD上的0点，类接P,Oa,康P十OA(的最 区中名的 胡，如是一个菱秉的一个角与一个三角罪前一个角显合，线后它书对角顶成在这 个世合角的对诗上，即必样这个意老为试个三角形粉“亲唐毒形”如下西，在 △CFE中，CT一12：∠CE=,∠下一(，以点C为通心，任意长为中作 显，丹交G,E于点A,D,得分利以点A,D为里心，大于AD龄长为半程 正妇右图，正方彩ACD中，AB一4，E是对角线AC上的一点： 作%，河第交于一痛P,速接CP并范长，变EF于我B,连接B,BD,AB 室接DE,过点E你P⊥ED,交AN于点F以DE,EF为第 cD. 汽作灌港D下G,室接AG 1D求佳.国法表CDB为△FC的“家图南表” (1)零延，唇也形DEFG是王方形 (2)求区边形ACD港的面积 ()求AG十E的值 (3)寿E价为AB的中原，连接DF,果感EDF的距离 河 阳