第1章 3 第2课时 正方形的判定-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

第2课时 已课内基础闯关 知识点①正方形的判定 1.(2024一2025深圳期中) 如图，在R:△ABC中， ∠A=90°，D,E,F分别是 边BC,CA,AB的中点.要 第1题图 使四边形AFDE为正方形，不添加辅助线， 可以添加的条件是 (添加 一个条件即可). 2.将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两 次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开，若 要剪出一个正方形，则剪口线与折痕所成夹 角∠ACB的度数为 第2题图 3.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点 C的直线MN∥AB,D为AB边上的点.过 点D作DE⊥BC交直线MN与点E,垂足 为F,连接CD,BE.若D为AB的中点，则 当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形.请说明理由. 王方形的判定 知识点②中点四边形 4.如图，E,F,G,H分别为四边形ABCD的边 AB,BC,CD,DA的中点，连接EF,FG,GH, HE,AC,BD,下列说法中不正确的是（) A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.若AC=BD,则四边形EFGH是菱形 C.若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形 D.若四边形ABCD是矩形，则四边形EF GH是正方形 第4题 第5题洞 知识点③正方形的性质与判定的综合应用 5.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC 上一点，过点P分别作PM⊥AD于点M, PN⊥AB于点N,E是AM上一点，且 ∠EPA=15°.若EP=2,则四边形PMAN 的面积为 6.如下图，已知菱形ABCD,E,F是对角线BD 所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF= BE,连接CE,AE,AF,CF. (1)求证：四边形AECF是正方形 (2)若BD-4,BE-3,求菱形ABCD的周长. 上册第一章 ⊙课外拓展提高 7.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,且AD∥BC,AD=BC.有下列条件： ①AB-CD:@AB-AD:③AC-BD:④AC ⊥BD.要使四边形ABCD为正方形，可以添 加的两个是 ( A.①② B.①③ C.②④ D.②③或③④ 8.如图，在四边形ABCD中， 0 ∠ADC=∠B=90°，AD= CD,DP⊥AB于点P.若四 边形ABCD的面积是18，则AP DP的长是 () 第8题周 A.3√ B.25 C.3瓦 D号 9.如下图，在□ABCD中，点E,F,G,H分别 在边AB,BC,CD,DA上，AE=CG,AH= CF,且EG平分∠HEF. (1)求证：△AEH≌△CGF (2)若∠EFG=90°，求证：四边形EFGH是 正方形 416 九年级数学B$版 ©综合能力提升 10,推理能力如图，在正方形ABCD中，E为 对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF ⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作 矩形DEFG. (1)求证：矩形DEFG是正方形 (2)当线段DE与正方形ABCD的某条边 的夹角是30时，求∠EFC的度数 各用国 知识要点归纳 正方形的判定方法： 互个角是立角 个角是角 对角城至朝 一本》是2且 、5种剁定 一姐椰过相等 “个角是克角,PFL⊥BD,PE⊥AC, ,∴.∠PFO=∠PEO=90°，，.∠EOF=∠PFO=∠PEO 90,∴，四边形PFOE为矩形，.PE=OF 又∠PBF=45, .∠BPF=90°-∠PBF=45,.PF=BF, ∴PE+PF=On+BF=OB=BD-号a (2):∠EOF=∠PEO=∠PFO=90°， ∴.因四边形PFOE为矩形，.PE=OF 又.∠PBF=∠ABO=45°， .∠FPB=90°-∠PBF=45°，.PF=BF, PE-PF=OR-BF=OB=。 第2课时正方形的判定 1.AB=AC(答案不唯一)2.45 3.解；当△ABC为等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方 形，理由如下： :D为AB的中点，∴.AD=BD DE⊥BC,∠CFE=90 :∠ACB=∠CFE,∴AC∥DE 又，N∥AB,四边形ADEC是平行四边形， ..CE=AD,..BD=CE. ,BD∥CE,.四边形BECD是平行四边形 又，DE⊥BC,,四边形BECD是菱形 四边形ADEC是平行四边形，∴.DE=AC 又AC=BC,DE=BC, ,因边形BECD是正方形 4.D5.3 6.解：(1)证明：如图，连接AC交BD于点O ,四边形ABCD是菱形，.AO=CO,BO =DO,AC⊥BD BE=DF,..BE+BO-DF+DO. ,EO=FO,.EF与AC垂直且互相平 分，.四边形AECF是菱形，.∠AEF =∠CEF 又，∠AED=45,∴.∠AEC=90 .四边形AECF是正方形 (2)四边形AECF是正方形，BD=4,BE=3, .OD=2,FD=3,.EF=10,.AC=10,.OC=5, ∴CD=/OD+OC=2+5=/29, .菱形ABCD的周长=4CD=4/②丽 7.D8.C 9.证明：(I):四边形ABCD是平行四边形，∠A=∠C AE-=CG, 在△AEH与△CGF中，∠A=∠C. AH=CF, ∴，△AEHQ△CGF(SAS), (2),'四边形ABCD是平行四边形 ∴，AD=BC,AB=CD,∠B=∠D AE-CG.AH-CF...EB-DG,HD-BF, △BEF2△DGH(SAS),',EF=GH. 又'△AEH2△CGF,.EH=GF, ",四边形EFGH为平行四边形， .EH∥FG,∴.∠HEG=∠FGE ,EG平分∠HEF,,∠HEG=∠FEG, ∴.∠FGE=∠FEG,,EF=GF, .平行四边形EFGH是菱形 又，∠EFG=90°，菱形EFGH是正方形 10,解：(1)证明：如图①，过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC 172 九年级数学B$版 于点Q。 四边形ABCD为正方形，.∠DCA=,∠BCA,∠BCD =90°， EQ=EP,∠PEQ-90°，∴∠QEF+∠FEP=90. ∠DEF=90,∠PED+∠FEP=90°， ∴.∠QEF=∠PED. ∠QEF=∠PED, 在△EQF和△EPD中，EQ=EP, N∠EQF=∠EPD-90, △EQF2△EPD(ASA), ∴，EF=ED,.矩形DEFG是正方形 因① 图② (2)①当线段DE与AD的夹角为30时，点F在BC边上， ∠ADE=30°，测∠CDE=90°-30°=60°，在四边形CDEF 中，由四边形内角和定理，得∠EFC=360°一90°一90°一60 =120°： ②当线段DE与DC的夹角为30时，点F在BC的延长线 上∠CDE=30°，设CD,EF交于点H,如图②.∠HC万 =∠DEF=9O°，∠CHF=∠EHD,.∠EFC=∠CDE= 30.统上所述，∠EFC的度数为120°或30 应用技巧专题特殊平行四边形 中的折叠问题 1.C2.A3.B4.D5.B6.(3,10)7.B8.25 解题技巧专题特殊平行四边形中的 分类讨论问题 1.(8,4)或(2,4)或(3,4)2.60或90或150 3.25或/T或34.2或2或/13+15.7或2 6.4或17.号或号835+3或3万-3 9.4或25或45 作图技巧专题特殊平行四边形中 利用无刻度直尺作图 1.解：(1)如图①，BD即为所求 (2)如图②，BM即为所求。 ① 图② 2.解：(1)如图①，BM即为所求， 阁① (2》如图②，CN即为所求（作法不难一） ②