第1章 3 第1课时 正方形的性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

null.四边形AECF是平行四边形，AC=EF, ,.四边形AECF是矩形。 13.解：(1)平行四边 (2)四边形MNPQ为矩形.理由如下： MN=PQ=3 m:NP=MQ=4 m, .四边形MNPQ为平行四边形 又，MP=NQ,.四边形MNPQ为矩形 (3)司意.理由如下： MN=3 m,NP=4 m,MP=5m, ∴.MN2十NP=MP2,∴.∠MNP=90 四边形MNPQ为平行四边形，∴.四边形MNPQ为矩形 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 1.B2.B3.5 4.解：(1)正明：：△OAB是等边三角形， ∴.∠ABO=60,OA=OB. :四边形ABCD是平行四边形， :OB-OD-BD,0A-OC-ACBD-AC, .□ABCD是矩形 (2):□ABCD是矩形，∴.∠BAD=90°. ∠ABO=60°，.∠ADB=90-∠AB0=30°， .BD=2AB=8. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=BD一AB ®-4F=45. 5.解：1)正明：BF∥CE,CF∥BE .四边形BECF是平行四边形. :BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠EBC=Z∠ABC,∠ECB=∠BCD, :四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, ∴.∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠EBC+∠ECB=7∠ABC+∠BCD)=90, ∠BEC=90',.四边形BECF是矩形 (2)BE平分∠ABC,∠ABC=60,∠EBC=30 由(1)可知，∠BEC=90,CE=2BC=3 ,BE=BC-CE=/6-3=35」 四边形BECF是矩形，∴.BE=CF=3√3，BF=CE=3, ∴.矩形BECF的周长=2(BE+CE)=2BE+2CE=65十6 6A79 8.解：(1)正明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,.∠BAD+∠ABC=180 :∠BAD=∠ABC,∠BAD=2X180'=90 ,四边形ABCD是矩形 (2)BC=5AB,理由如下： :四边形ABCD是矩形，·∠B=90° ∠ACB=30°，∴AC=2AB. 在Rt△ABC中，由勾股定事，得BC=/AC-AB /2AB--AB■5AB. 9.解：(1)正明：AB=AC,D是BC的中点 .ADL BC,∴.∠ADC=90 :CE∥AD,∴.∠ECD=180°-∠ADC=90 又AE⊥AD,∠EAD=90, ,四边形ADCE是矩形， (2)由(1)知，四边形ADCE是矩形， ∴.AE=DC,CE=AD=3,∠AEC=90 :D是BC的中点，BC=4,∴DC=AE=号BC=2 在Rt△ADC中，根据勾股定理， 得AC=AD+DC=3+2=图 :EF⊥AC,∴2EF·AC=2AE,CE, 即EF·压=子×2X3∴EF=6图 13 3 正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1,正方形2.A3.B变式题45或135°4.号 5.证明：在正方形ABCD中，AD=AB=CD,∠BAD=90°， ∠ADB=∠CDB=∠ABD=4S AD-CD 在△ADE和△CDE中，∠ADE=∠CDE, DE=DE. ,.△ADE≌△CDE(SAS),.AE=CE AF⊥AE,∴.∠EAF=∠BAD=90°， ∴.∠EAF-,∠BAE=∠BAD-∠BAE,即∠BAF=∠DAE 'BFLBD,∠ABD=45', .∠ABF=45”,.∠ADE=∠ABF I∠ADE=∠ABF 在△ADE和△ABF中，AD=AB, ∠DAE=,∠BAF .△ADE△ABF(ASA),∴.AE=AF,AF=CE 6解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴，AB=DC,∠BCD=∠ABC=90 :△BCE是等边三角形， .BE=CE,∠EBC=∠ECB=60°， ∴∠ABE=∠DCE=30°，∴.△ABE2△DCE(SAS) (2),△BCE是等边三角形，∴.CE=BC ,四边形ABCD是正方形，，CD=BC,.CE=CD, ·∠CDE=7X180-309)=75 AB∥CD,∴∠AFD=∠CDE=75 7.A 8.解：，四边形ABCD是正方形 ,AD=DC,∠ADE=∠DCF=90 (AD=DC, 在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF, DE=CF, ,.△ADE≌△DCF(SAS), ∴∠DAE=∠CDF :∠CDF+∠ADF=∠ADC=90, .∠DAE十∠ADF=90°， .∠APD=180°-（∠DAE+,∠ADF)=90 如图，取AD的中点O,连接OP,则OP= 之AD=号×2=1，是定值 故当C,P,O三点共线时，线段CP的值 最小 在Rt△COD中，由勾股定理，得OC=√CD+OD= 2+下=5， ∴CP-OC-OP■5-1.故线段CP的最小值为5-1. 9.解：(1DPE十PF的值是定值. :四边形ABCD为正方形，且边长为a, .AC⊥BD,BD=/2a,∠PBF=45”,.∠AOB=90 上册参考答案 171 ,PFL⊥BD,PE⊥AC ∴.∠PFO=∠PEO=90°，.∠EOF=∠PFO=∠PEO= 90°，.四边形PFOE为矩形，.PE=OF 又∠PBF=45, .∠BPF=90°-∠PBF=45°，，∴.PF=BF, ∴PE+PF=OF+BF-OB-BD-号 (2)∠EOF=∠PEO=∠PFO=90°， .四边形PFOE为拒形，.PE=OF 又，∠PBF=∠ABO=45, .∠FPB=90-∠PBF=45,.PF=BF, PE-PF-OF-BF-08- 24 第2课时正方形的判定 1.AB=AC(答案不难一)2.45 3.解：当△ABC为等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方 形.理由如下： ,D为AB的中点，.AD=BD DE⊥EBC,∠CFE=90' :∠ACB=∠CFE,∴，AC∥DE 又"MN∥AB,∴.四边形ADEC是平行四边形， ..CE=AD,..BD-CE. :BD∥CE,.四边形BECD是平行四边形 又，DE⊥BC,,四边形BECD是菱形. "四边形ADEC是平行四边形，，DE=AC 又AC=BC,∴，DE=BC, ·四边形BECD是正方形 4.D5.3 6.解：(1)证明：如图，连接AC交BD于点O ,四边形ABCD是菱形，.AO=CO,BO =DO,AC⊥BD .BE=DF,..BE+BO=DF+DO, .EO=FO,.EF与AC垂直且互相平 分，.四边形AECF是菱形，.∠AEF =∠CEF 又"∠AED=45,∴.∠AEC=90 .四边形AECF是正方形. (2):四边形AECE是正方形，BD=4,BE=3, .OD=2,FD=3,.EF=10,.AC=10,∴.OC=5, .CD=/OD+OC=/②+5=/2④ .菱形ABCD的周长=4CD=4②丽 7.D8.C 9.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C (AE=CG. 在△AEH与△CGF中，∠A=∠C, AH=CF, ∴，△AEH2△CGF(SAS). (2),四边形ABCD是平行四边形 ,AD=BC,AB=CD,∠B=,∠D AE-CG.AH-CF,..EB-DG,HD-BF, △BEF2△DGH(SAS),.EF=GH 又，△AEH2△CGF,.EH=GF, ,四边形EFGH为平行四边形， .EH∥FG,,∠HEG=∠FGE :'EG平分∠HEF,∴，∠HEG=∠FEG, ∠FGE=∠FEG,.EF=GF, ∴平行四边形EFCH是菱形 又，∠EFG=90”,.菱形EFGH是正方形 10,解：(1)证明：如图①，过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC 44444 172 九年级数学BS版 于点Q ,四边形ABCD为正方形，.∠DCA=∠BCA,∠BCD =90°， ∴.EQ=EP,∠PEQ=90°，∴∠QEF+∠FEP=90. ∠DEF=90',∠PED+∠FEP=90, .∠QEF=∠PED ∠QEF=∠PED, 在△EQF和△EPD中，{EQ=EP, ∠EQF=∠EPD=90°， .△EQF2△EPD(ASA), ,EF=ED,∴.矩形DEFG是正方形 (2)①当线段DE与AD的爽角为30°时，点F在BC边上， ∠ADE=30°，则∠CDE■90'一30°=60°，在四边形CDEF 中，由四边形内角和定理，得∠EFC=360°-90°一90°一60 =120°： ②当线段DE与DC的夹角为30"时，点F在BC的延长线 上，∠CDE=30°，设CD,EF交于点H,如图②.：∠HCF =∠DEF-9O,∠CHF-∠EHD,∴∠EFC=∠CDE 30'.综上所述，∠EFC的度数为120'或30° 应用技巧专题特殊平行四边形 中的折叠问题 1.C2.A3.B4.D5.B6.(3,10)7.B8.25 解题技巧专题特殊平行四边形中的 分类讨论问题 1.(8,4)或(2,4)或(3,4)2.60或90或150 3.25或√/T或34.2或2月或/g+15.7或2 6.4或17.普或号83厅+3或3F-3 9.4或25或45 作图技巧专题特殊平行四边形中 利用无刻度直尺作图 1.解：(1)如图①，BD即为所求 (2)如图②，BM即为所求 图① 2解：(1)如图①，BM即为所求 思① (2)如图②，CN即为所求（作法不难一）， 县2