第1章 2 第1课时 矩形的性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

null,菱形ABEF的周长为22-2=20 ,四边形ABEF是菱形， 六BE-AB=20÷4=5,∠BAE=子∠BAD-之X120° 2 60°，∴.△ABE是等边三角形，.AE=AB=5. 12.解：(1)证明：，'四边形ABCD是菱形， ∴，∠B十∠C=180",∠B=∠D,AB=AD :∠PAQ=∠B,∠PAQ十∠C=180°， ∴.∠APC+∠AQC=180°. .AP⊥BC,∴.∠APC=∠APB=90 ∠AQD=∠AQC=90°，∴∠APB=∠AQD, '△APB2△AQD(AAS),·AP=AQ (2)成立.正明：如图，过点A作AE ⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F: B 则∠AEP=∠AEB=∠APC= ∠AFQ=90 在△ABE和△ADF中， ∠AEB=∠AFD, ∠B=∠D, LAB-=AD. .△ABE≌△ADF(AAS),,AE=AF 由(1)可知，∠APC+∠AQC=180 :∠APC=90"+∠EAP,∠AQC=90-∠FAQ, ∴.90°+∠EAP+90-∠FAQ=180 ∠EAP=∠FAQ ∠AEP=∠AFQ 在△AEP和△AFQ中，AE=AF, ∠EAP=∠FAQ ,△AEPe2△AFQ(ASA),.AP=AQ (3)四边形APCQ的面积为45. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.45°2.303.C4.20 5.证明：：四边形ABCD是矩形， .AB=DC,∠B=∠C=90' ,BE=CF,∴，BE十EF=CF十EF,即BF=CE .△ABF2△DCE(SAS),.AF=DE. 6.C7.D 8.解：，四边形ABCD是矩形 .CD=AB=6,OA=OC=OD=OB,∠BCD=90°. 又'∠DBC=30°，.，∠BDC=60,.△ODC为等边三角形 .O℃=CD■6，∴.AC=20℃=12 9.B变式题40°10.A11,C 12.解：(1)证明：，四边形ABCD为矩形，.∠D=90°，DC∥ AB,∠BAN=∠AMD BN⊥AM,.∠BNA=90°，∠BNA=∠D. I.∠BAN=∠AMD, 在△ABN和△MAD中，∠BNA=∠D, AB=MA: ∴.△ABN☑△MAD(AAS). (2),'△ABN2△MAD,∴.BN=AD=2. 在Rt△ABN中，AB=AN+BN=/+2=25, 六Se靠am=2X25=45,5Ao=SaN=方X2X4 4,.Sma春w=S惠AacD一S△n一S△Mb=45一8. 13.解：1)证明：四边形BCAD是矩形， .AD∥BC,∠DAC=90', ∠F=∠CBF,∠EAF=90 44444 170 九年级数学BS版 :G是EF的中点，AG=合EF=FG,·∠F=∠GAR EF=2AB..AG=AB. ∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF, .∠ABC=3∠CBF ∴射线BF是∠ABC的一条三等分线. (2)取AC的中点H,连接BH,如图. :四边形ABCD是矩形， .∠CBA=∠CBE=90 'BF是∠CBE的平分线， 4∠FBE=7∠CBE=号X90=45 ∠FBE=∠FAB十∠F,∴∠FAB十∠F=45°. ,'∠CBA=90°，H是AC的中点， ∴BH=AH=BF=合AC, ∴∠FAB=∠HBA,∠BHF=∠F, ∠BHF=∠FAB+∠HBA=2∠FAB.∠F= 2∠FAB,∠FAB=号∠F,∠F+∠F=45, .∠F=30° 第2课时 矩形的判定 1.∠ABC=90(答案不难-) 2.证明：：BE∥AC,CE∥DB, ∴，四边形OBEC是平行四边形 又：四边形ABCD是菱形，∴，AC⊥BD ,∠BOC=90°，∴四边形OBEC是矩形 3.C4.对角线相等的平行四边形是矩形 5.解：(1)证明：线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中 线，D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， 线段DF与EF也为△ABC的中位线， ,.DF∥AC,EF∥AB,.四边形ADFE是平行四边形， .AF与DE互相平分. (2)当AF=2BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下 ”线段DE为△ABC的中位线，DE=受BC 由1)知，四边形ADFE为平行四边形. 若□ADFE为矩形，则AF=DE, 当AF=方BC时，四边形ADFE为矩形， 6.A7.矩形 8.证明：AB=AC,AD⊥BC,六∠ADB=∠ADC=90°， ∠BAD-∠CAD-Z∠BAC :AE平分∠BAP,∠BAE=子∠BAR :∠BAC+∠BAF=180,∠BAD+∠BAE=90°，即 ∠DAE=90° :BE∥AD,∴∠EBD=∠ADC=90', 四边形ADBE是矩形. 9.D10.C11.3 12.解：(1)OE=OF.理由如下： MN∥BC,∠OEC=∠ECB. CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB,·∠OEC=∠ACE, ..OE=OC. 司理，得OC=OF,,OE=OF (2)当，点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理 由如下： 由(1)可知，OE=OF-OC. 'O为AC的中点，.OA=OC: