第1章 1 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

参考答案 第一章特殊平行四边形 7.c89 1菱形的性质与判定 9,解：四边形AEDF是菱形.理由如下 如图，由第一次折叠可知，AD为∠CAB的平 第1课时菱形的性质 分线， 1.A2.C3.D4.D变式题10 ∴.∠1=∠2. 5.(-5,)6号725 由第二次折叠可知，∠CAB=∠EDF, AE=ED,AF=FD. 8.证明：，四边形ABCD是菱形， .∠1=∠3，∠2=∠4，∠3=∠4 .DA=DC,'.∠DAC=∠DCA ∠1=∠2， ∠ADF=∠CDE, 在△AED和△AFD中，AD=AD, .∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF, ∠3=∠4， ,∠ADE=∠CDF, ,△AED2△AFD(ASA), ∠DAC-∠DCA ·AE=ED=FD=AF,.四边形AEDF是菱形. 在△DAE和△DCF中，DA=DC, 10.解：(1)AD∥BC,∴.当AD=PE=5时，以P,A,D,E为 ∠ADE=∠CDF 顶点的四边形为平行四边形.分以下两种情况讨论： ∴.△DAE2△DCF(ASA),,AE=CF. ①当点P在点E的左边时， 9.B10.105或45° E是BC的中点，，BE=6,.BP=BE-PE=6-5=1: 11.解：如图，连接AC,交BD于点Q. ②当点P在点E的右边时， 设莲杆AB的长度为xcm. BP=BE+PE=6+5=11. 四边形ABCD是菱形， 故当x的值为1或11时，以P,A,D,E为顶点的四边形为 ∴.AB=AD=x 平行四边形， 依题意可知，AC=36一6=30，BD= (2)能. 2x-10. :菱形ABCD的对角线互相垂直平分， 理由：由Q)可知，x=11时四边形AEPD为平行四边形，此 时点P在点E的右边，如图 ∴ACLBD,0B=号BD=号×(2x-10)=x-5,0A= 在Rt△CFD中，.'∠C=45 .CF=DF=4. 告AC=音×0=15. CP=BC-BP=12-11=1, 在Rt△OAB中，OA2十OB2=AB, ∴PF=CF-CP=4-1=3. ∴.152+(x-5)2=x2,解得x=25, 在R△PFD中，PD=PF+DF产=3十不=5， ∴.连杆AB的长度为25cm ..PD=AD=5, 12解：(1)AB=6,AC=65 .□AEPD是菱形 2)①33 2 ②BE-6-4E 故点P在BC边上运动的过程中，以P,A,D,E为页点的四 3 边形能构成菱形， 第2课时菱形的判定 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 1.AD∥BC(答案不难一)2.16 1.6变式题A2.43.97.54.C5.B6.B7.36 3.解：赞成小洁的说法。 8.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 示例： ,AB∥CD,AB=CD,.∠B=∠DCE. 补充条件：OA=OC CF⊥AB,DE LBC..∠CFB=∠DEC=90 证明：OA=OC,OB=OD 又CF=DE,∴，△BFC≌△CED(AAS), ,四边形ABCD是平行四边形 .BC=CD,四边形ABCD为菱形 又，AC⊥BD,,□ABCD是菱形. (2):∠B=∠DCE=60°，∴.∠CDE=30 4.B 5.AC=BD 四边形ABCD为菱形，AD=6,CD=AD=6,,CE=3. 6.解：(1)如图，EF即为所求 9.B10.B (2)证明：如图，连接AF,CE,设AC与 11.解：(1)正明：四边形ABCD是平行四边形， EF交于点O. ∴.AD∥BC,即AF∥BE, :EF垂直平分AC,六AE=CE,AF ∴，∠AFB=,∠EBE,∠FAE=,∠BEA CF,AO=CO. O为BF的中点，，BO=FO, :四边形ABCD是平行四边形， △AOF2△EOB(AAS),.AF=EB .AD∥BC,.∠EAO=∠OCF. 又AF∥BE,四边形ABEF是平行四边形 :∠AOE=∠COF,AO=CO,∠EAO=∠OCF 又AB=AF,.四边形ABEF是菱形. .△AOE≌△COF(ASA),.AE=CF, (2).AD-BC,AF-BE,..DFCE-1. “AE=CE=CF=AF,∴四边形AFCE为菱形. ,口ABCD的周长为22， 44444 上册参考答案 169 ·菱形ABEF的周长为22-2=20， ,四边形ABEF是菱形， :G是EF的中点，AG=EF=FG,·∠F=∠GAR. ∴BE=AB=20÷4=5,∠BAE=子∠BAD=子X120 EF=2AB...AG=AB, 2 ∴∠ABG=∠AGB-∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF, 60°，.△ABE是等边三角形，.AE=AB=5 ∴.∠ABC=3∠CBF, 12.解：(1)正明：，四边形ABCD是菱形， ,射线BF是∠ABC的一条三等分线： ∠B十∠C=180",∠B=∠D,AB=AD (2)取AC的中点H,连接BH,如图 :∠PAQ=∠B,∴∠PAQ+∠C=180°， ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠APC+∠AQC=180 ∴.∠CBA=∠CBE=90 .AP⊥BC,∴.∠APC=∠APB=90° :BF是∠CBE的平分线， ∴∠AQD=∠AQC=90°，∴∠APB=∠AQD, △APB2△AQD(AAS),∴AP=AQ ∴∠FBE=7∠CBE=合×90*=45. (2)成立.正明：如图，过点A作AE ∠FBE=∠FAB+∠F,∴∠FAB+∠F=4S ⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F, :∠CBA=90°，H是AC的中点， 则∠AEP=∠AEB=∠AFC= BH=AH=BF=之AC, ∠AFQ=90 在△ABE和△ADF中， ∴∠FAB=∠HBA,∠BHF=∠F, ∠AEB=∠AFD, ∠BHF=∠FAB+∠HBA=2∠FAB,∠F= ∠B=∠D, 2∠FAB,∠FAB=号∠F,∠F+∠F=45, AB=AD. .∠F=30. .△ABE≌△ADF(AAS),,AE=AF 由(1)可知，∠APC+∠AQC=180°. 第2课时 矩形的判定 :∠APC=90"+∠EAP,∠AQC=90°-∠FAQ, 1.∠ABC=90(答案不难一) ∴.90°+∠EAP+90-∠FAQ=180°， 2.证明：BE∥AC,CE∥DB ∠EAP=∠FAQ ,四边形OBEC是平行四边形 ∠AEP=∠AFQ, 又：'四边形ABCD是菱形，AC⊥BD 在△AEP和△AFQ中，AE=AF, ∴.∠BOC=90°，.四边形OBEC是矩形 ∠EAP=∠FAQ, 3.C4.对角线相等的平行四边形是矩形 .△AEPe2△AFQ(ASA),AP=AQ 5.解：(1)证明：线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中 线，D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， (3)四边形APCQ的面积为45. .线段DF与EF也为△ABC的中位线， 2矩形的性质与判定 .DF∥AC,EF∥AB,',四边形ADFE是平行四边形， .AF与DE互相平分. 第1课时矩形的性质 1.45°2.303.C4.20° (2)当AF=壹BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下： 5.证明：：四边形ABCD是矩形， .AB=DC,∠B=∠C=90', ”线段DE为△ABC的中位线，∴DE=受BC ,'BE=CF,,BE十EF=CF十EF,即BF=CE 由1)知，四边形ADFE为平行四边形， ∴△ABF2△DCE(SAS),∴AF=DE. 若回ADFE为矩形，则AF=DE, 6.C7.D 当AF=专BC时，四边形ADFE为矩形， 8.解：，四边形ABCD是矩形， .CD=AB=6,OA=OC=OD=OB,∠BCD=90° 6.A7.矩形 又∠DBC=30°，.，∠BDC=60,.△ODC为等边三角形 8.证明：：AB=AC,AD⊥BC,·∠ADB=∠ADC=90, ∴0C=CD=6,∴AC=20C-12 ∠BAD-∠CAD-Z∠BAC 9.B变式题40°10.A11,C 12.解：(1)证明：，四边形ABCD为矩形，.∠D=90°，DC∥ :AE平分∠BAR,∠BAE=∠BAE AB,.∠BAN=∠AMD :∠BAC+∠BAF=180,∠BAD+∠BAE=90°，即 BN⊥AM,.∠BNA=90°，∠BNA=∠D ∠DAE=90 I.∠BAN=∠AMD, BE∥AD,∴∠EBD=∠ADC=90', 在△ABN和△MAD中， ∠BNA=∠D, .四边形ADBE是矩形. AB=MA: 9.D10.C11.3 ∴.△ABN☑△MAD(AAS). 12.解：(1)OE=OF.理由如下： (2),△ABN2△MAD,∴.BN=AD=2 MN∥BC,∠OEC=∠ECB. 在RtAABN中，AB=AN+BW=+2=25, 'CE平分∠ACB,∴.∠ACE=∠ECB,.∠OEC=∠ACE 六S0第m=2X2,5=45,Sa0=5aN-乞X2X4 ..OE=OC. 同理，得OC=OF,.OE=OF 4,Sw第3w=S表cD一S△AN一S△如=4，厅-8 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理 13.解：(1)证明：四边形BCAD是矩形， 由如下： .AD∥BC,∠DAC=90', 由1)可知，OE=OF=OC. ∠F=∠CBF,∠EAF=90 O为AC的中点，.OA=OC, 434 170 九年级数学BS版null