第1章 1 第2课时 菱形的判定-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

参考答案 第一章特殊平行四边形 7.089 1菱形的性质与判定 9.解：四边形AEDF是菱形，理由如下： 如图，由第一次折叠可知，AD为∠CAB的平 第1课时菱形的性质 分线， 1.A2.C3.D4.D变式题10 .∠1=∠2 5.(-5,)6.装7.25 由第二次折叠可知，∠CAB=∠EDF, AE-ED,AF-FD, 8.正明：四边形ABCD是菱形， ∠1=∠3，∠2=∠4，∠3=∠4 ∴.DA=DC,∠DAC=∠DCA ∠1=∠2， :∠ADF=∠CDE, 在△AED和△AFD中，AD=AD ·∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF, ∠3=∠4. ∴∠ADE=∠CDF. .△AED2△AFD(ASA), ∠DAC=∠DCA ∴.AE=ED=FD=AF,,四边形AEDF是菱形. 在△DAE和△DCF中，DA-DC, 10.解：(1)：AD∥BC,.当AD=PE=5时，以P,A,D,E为 ∠ADE=∠CDF 顶点的四边形为平行四边形.分以下两种情况讨论： .∴，△DAa△DCF(ASA),',AE=CF. ①当点P在点E的左边时， 9.B10.105"或45" E是BC的中点，BE=6,.BP=BE-PE=6-5=1: 11,解：如图，连接AC,交BD于点O ②当点P在点E的右边时， 设连杆AB的长度为xcm. BP=BE+PE=6+5=11. ,四边形ABCD是菱形， 被当x的值为1或11时，以P,A,D,E为顶点的四边形为 .AB=AD=. 平行四边形 依题意可知，AC=36-6=30,BD= (2)能. 2x-10. 理由：由(1)可知，x=11时四边形AEPD为平行四边形，此 :菱形ABCD的对角线互相垂直平分， 时点P在点E的右边，如图。 :.ACLBD,OB-7BD-x (2x-10)-x-5,0A- 在Rt△CFD中，∠C=45°， ∴.CF=DF=4 子AC-子×0=15 CP=BC-BP=12-11=1, 在Rt△OAB中，OA十OB=AB ∴.PF=CF-CP=4-1=3, ∴152+(x-5)2=x2,解得x=25, 在R△PFD中，PD=PF+DF=√3+4F=5, .连杆AB的长度为25cm .PD-AD-5. 12.解：(1)AB=6,AC=65. .□AEPD是菱形 809 @aE=6-9 故点P在BC边上运动的过程中，以P,A,D,E为顶点的四 边形能构成菱形. 第2课时菱形的判定 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 1.AD∥BC(答案不难一)2.16 1.6变式题A2.43.97.54.C5.B6.B7.36 3.解：赞成小洁的说法 8.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 示例： .AB∥CD,AB=CD,.∠B=∠DCE. 补充条件：OA=OC. CF⊥AB,DELBC,∠CFB=∠DEC=90 证明：，OA=OC,OB=OD, 又，CF=DE,.△BFC≌△CED(AAS), 四边形ABCD是平行四边形. ∴BC=CD,∴四边形ABCD为菱形 又AC⊥BD,,口ABCD是菱形 (2):∠B=∠DCE=60°，∴∠CDE=30° 4.B 5.AC=BD 四边形ABCD为菱形，AD=6,.CDAD=6,CE=3 6.解：(1)如图，EF即为所求 9.B10.B (2)证明：如图，连接AF,CE,设AC与 11.解：(1)证明：？四边形ABCD是平行四边形， EF交于点O. ∴.AD∥BC,即AF∥BE. :EF垂直平分AC,·AE=CE,AF ∴，∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA CF.AO=CO. ,O为BF的中点，∴.BO=FO 四边形ABCD是平行四边形 ∴.△AOF2△EOB(AAS),.AF=EB. ,AD∥BC,∠EAO=∠OCF 又，AF∥BE,,四边形ABEF是平行四边形 :∠A0E=∠COF,A0=C0,∠EAO=∠0CF, 又，AB=AF,.四边形ABEF是菱形 .△AOE2△COF(ASA),.AE=GF, (2).AD=BC,AF=BE,.DF=CE=1. ∴AE=CE=CF=AF,.四边形AFCE为菱形 □ABCD的周长为22， 上册参考答案 169第2课时 菱形的判定 已课内基础闯关 知识点② 由边的关系判定菱形 知识点① 由对角线的关系判定菱形 4.如图，在△ABC中，AB=AC.△DBC是 1.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,ACI △ABC的轴对称图形，则能直接判定四边形 BD于点O.添加条件 ,可 ABDC是菱形的依据是 () 以使四边形ABCD成为菱形（写出一种情况 A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 即可). B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相平分的平行四边形是菱形 第1题困 第2题困 2.(教材变式)如图，口ABCD的对角线AC与 BD相交于点O,AB=10,AC=12.当BD= 第4题围 第5题图 时，口ABCD是菱形 5.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别 3.小惠自编一题：“如下图，在四边形ABCD 是AB,BC,CD,DA的中点.当对角线AC, 中，对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB BD满足条件 时，四边形 =OD.求证：四边形ABCD是菱形.”她将自 EFGH是菱形 己的证明过程与同学小洁交流 6.如下图，已知四边形ABCD是平行四边形. 小意： (1)利用尺规作对角线AC的垂直平分线 小洁： 话明：AC⊥BD,OB=OD ∴AC老直平分BD, 这个题日还缺少条件 EF,分别交AD,BC于点E,F(保留作图痕 .AB-AD,CBCD, 需要朴充一个条件才能 证明 迹，不写作法)。 “图边形ABCD是菱形. (2)在(1)的条件下，连接AF,CE.证明：四 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 边形AFCE为菱形. “、/”;若赞成小洁的说法，请你补充一个条 件，并证明. 上册第一章 已课外拓展提高 已综合能力提升 7.下列平行四边形中，根据图中所标出的数 10.如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E 据，不一定是菱形的是 ( 是BC的中点，DF⊥BC,垂足为F,AD= 30m 60 5,BC=12,DF=4,∠C=45°，P是BC边 530 上一动点，设BP的长为x B (1)当x的值为多少时，以P,A,D,E为顶 125 660丽 点的四边形为平行四边形？ 55 (2)点P在BC边上运动的过程中，以P, C D A,D,E为顶点的四边形能否构成菱形？ 8.如图，在□ABCD中，AD 请说明理由。 =9 cm,CD=3 cm, ∠B=45°，点M,N分别 第8题园 以点A,C为起点，以1cm/s的速度沿AD, CB方向运动.设点M,N运动的时间为ts(0 ≤t≤6)，连接AN,CM.当t的值为 时，四边形AMCN为菱形 9.(教材变式)将三角形纸片ABC(AB>AC)沿 过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上， 折痕为AD,展平纸片（如图①）：再次折叠该 三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为 EF,再次展平后连接DE,DF(如图②).判断 四边形AEDF的形状，并说明理由， 图① 图② 知识要点归纳 四边相等→菱形 四边形 一纽尔边相等→菱形 平行四边形 4对角线互相垂直→菱形 九年级数学BS版