第一单元 长方体和正方体的表面积和体积（应用题易错题精选）-【数学帮】六年级上册高频易错题（苏教版）

学科网（北京）股份有限公司 1 第一单元 长方体和正方体的表面积和体积（应用题易错题精选） 一．解答题 1．某会议大厅里有 4 根同样的长方体柱子，每根柱子高 5m，底面为边长 6dm 的正方形（如图），要给这 4 根柱子涂上漆（只涂侧面）。 （1）涂漆部分的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米需要 7.5 元的油漆，买油漆一共需要多少钱？ 2．小明要制作一个灯笼（没有上面和下面，如图）。 （1）先用木条钉灯笼的框架，需要木条多少分米？ （2）然后再将灯笼的侧面糊上宣纸，其中有一个接头，黏合处需要 30cm2，共需要宣纸多少平方分米？ 3．一个长 8m、宽 5m、深 2m 的长方体水池里立着两根长 3m、宽 2m、高 4m 的石柱子，并且水池中注满了水。 现在，将两根石柱子从水池中取出来后，这时水池中的水深多少？ 学科网（北京）股份有限公司 2 4．已知一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，且长方体的长是 8 厘米，宽是 6 厘米，高是 10 厘米， 这个正方体的表面积是多少平方厘米？ 5．油糕因口感软滑香甜，富含维生素，备受人们喜欢。萌萌想把家乡的油糕寄给在西安上班的舅舅，她先 挑选了一个长 4dm，宽 2.5dm，高 3dm 的长方体礼品盒，装好油糕后，售货员用彩带帮她把礼品盒扎起来， 打结处彩带长 2dm，一共需要多长的彩带？ 6．一个长方体的玻璃缸，长 8dm，宽 5dm，高 4dm，水深 2.6dm。（如图）如果投入一块棱长 4dm 的正方体 铁块，缸里的水是否会溢出？请说明理由。 7．芳芳家想制作一个无盖玻璃水族箱，从里面量数据如下：（单位：cm） （1）一共需要多少 cm2的玻璃？ （2）向水族箱中倒入 6.3L 水后，水深是多少 cm？（玻璃厚度忽略不计） （3）放入假山后，水深是 16cm，这个假山体积是多少 cm3？ 学科网（北京）股份有限公司 3 8．一个长方体水箱，从里面量长是 40cm，宽是 35cm，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深 15cm。取 出钢球后，水深 12cm。这个钢球的体积是多少立方厘米？ 9．一种礼品盒，长 5cm，宽 4m，高 3cm。小贝想把这样的四个礼品盒包装成一个长方体。问：最少需包装 纸多少平方厘米？（忽略重叠部分） 10．蛋糕店用要用彩带包装下面的蛋糕盒，接头处彩带长 27 厘米，一共要用多少厘米彩带？ 11．一个正方体玻璃缸，从里面量棱长是 20 厘米，缸内水深 12 厘米。把一块石块浸入水中后，水面上升 了 6 厘米，石块的体积是多少立方厘米？ 12．一辆汽车的油箱从里面量长 5dm，宽 4dm，高 2dm。 （1）这个油箱最多可以装汽油多少升？ （2）如果每行驶 100km 需耗 8 升汽油，那么这辆汽车加满油最多可以行驶多少 km？ 13．一个玻璃鱼缸的形状是正方体（如图），内侧棱长为 3dm，放入鱼后水面高度 2dm。已知倒入鱼缸的水 只有 12L，则这些鱼的体积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 4 14．中型货车在高速上行驶时，所载货物最高点距离地面不得超过 4m。一辆中型货车车厢的内部长 4.1m、 宽 2m ， 车 厢 内 部 的 底 面 距 离 地 面 1m 。 这 辆 车 的 车 厢 最 多 能 装 多 少 立 方 米 的 货 物 ？ 15．用丝带捆扎一个长 35 厘米，宽 25 厘米，高 10 厘米的长方体礼盒（如图）。打结处的丝带长 40 厘米。 捆扎这个礼盒至少需要多少米长的丝带？ 16．一个长方体的密封玻璃缸里面长 40 厘米宽 30 厘米、高 25 厘米，水深 20 厘米。如果把宽和高所在的 面朝下，水深多少厘米？ 17．在一个长 10 分米、宽 7 分米、高 4分米的水槽中注满水后，放入两根长 4 分米、宽 2.3 分米、高 3 分 米的小石柱，水槽溢出的水的体积是多少升？ 18．一张长方形铁皮（如图），在它的 4个角各剪去一个边长为 15cm 的小正方形后，弯折焊接成一个盒子， 这个盒子的容积是多少？ ​ 学科网（北京）股份有限公司 5 19．如图所示，这是一包厚 50mm 的 A4 复印纸的包装上截下来的信息。根据图中信息，解决以下问题： （提示：计算时可把 297mm 看成 300mm） （1）你从如图中发现了哪些数学信息？至少写 3 条。 （2）请你算一算这包纸的体积是多少？ （3）如果从这样的一张纸的四个角各剪去一个边长为 4cm 的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒（忽略 纸的厚度），这个纸盒的容积是多少？ ​ （4）笑笑说：“从这张纸的四个角剪去的正方形越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也就越大。”你同意 这样的说法吗？说说你的理由。 20．白塔公园准备新安装 50 个混凝土凳子（如图所示）。凳面的长、宽、高分别是 100cm、50cm、5cm，凳 腿的长、宽、高分别是 50cm、6cm、35cm。做这些凳子至少用多少方混凝土？ 学科网（北京）股份有限公司 6 21．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、4 厘米、5 厘米， 正方体的棱长是多少厘米？表面积和体积各是多少？ 22．十一国庆节，阳东区某小学组织学生用棱长 0.3 分米的正方体积木在龙山公园搭一面长 60 分米，厚 21 分米，高 42 分米的市民心愿墙。搭这面墙一共需要用多少块积木？ 23．有一个正方形硬纸板，边长是 15cm。如果在硬纸板的四个角上各减去一个正方形，将它做成一个无盖 的正方体纸盒。 （1）这个纸盒的容积是多少立方厘米？ （2）如果正方形纸板的边长是 a 厘米，这个纸盒的容积是多少立方厘米？（只列式不计算） 24．梦歌同学想制作一个长方体的小盒子，方便大家存放闲置的小物品，他把小盒子裁开发现这个长方体 的侧面（包括前、后、左、右面）展开和底面都是正方形，已知这个长方体的底面积是 3 平方分米。请大 家帮忙算一算这个长方体的表面积？ 25．茶厂工人要将长、宽各为 20cm，高为 10cm 的长方体茶叶盒装入棱长为 30cm 的正方体纸箱，最多能装 几盒？怎样才能装下？ 学科网（北京）股份有限公司 7 参考答案 一．应用题 1．【答案】（1）48 平方米（2）360 元。 【分析】（1）根据题意可知：涂漆的部分是长方体的侧面，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入 公式求出一根柱子的 4 个侧面的面积再乘 4求出涂漆的面积； （2）用涂漆的面积乘每平方米用油漆的钱数即可求出买油漆一共需要多少钱。 【解答】解：（1）6分米＝0.6 米 0.6×5×4×4 ＝3×4×4 ＝12×4 ＝48（平方米） 答：涂漆部分的面积是 48 平方米。 （2）7.5×48＝360（元） 答：买油漆一共需要 360 元。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行 计算解答问题。 2．【答案】（1）24 分米； （2）18.3 平方分米。 【分析】（1）需要木条多少分米求的是这个长方体灯笼的棱长总和，根据棱长总和＝（长+宽+高）×4， 代入数字即可求解； （2）灯笼没有上面和下面，根据长方体的侧面积＝（长×高+宽×高）×2，求出长方体的侧面积，再加上 黏合处的 30 平方厘米，即可求解。 【解答】解：（1）（1.5+1.5+3）×4 ＝6×4 ＝24（分米） 答：需要木条 24 分米。 （2）30 平方厘米＝0.3 平方分米 （1.5×3+1.5×3）×2+0.3 ＝9×2+0.3 学科网（北京）股份有限公司 8 ＝18+0.3 ＝18.3（平方分米） 答：共需要宣纸 18.3 平方分米。 【点评】本题主要考查长方体棱长总和公式及侧面积公式的应用，要特别注意单位不统一的必须先化成统 一单位。 3．【答案】1.4m。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出水和两根石柱子 2m 高的体积和；因为水池 中注满了水，所以把将两根石柱子从水池中取出来后，剩下的就是水的体积，再除以长方体水池的底面积 即可求解。 【解答】解：（8×5×2﹣3×2×2×2）÷（8×5） ＝（80﹣24）÷40 ＝56÷40 ＝1.4（m） 答：这时水池中的水深 1.4m。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4．【答案】384 平方厘米。 【分析】先求出长方体的棱长和，除以 12 得出正方体的棱长，再利用 S＝6a2求出正方体的表面积。 【解答】解：（6+8+10）×4 ＝24×4 ＝96（厘米） 96÷12＝8（厘米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 答：这个正方体的表面积是 384 平方厘米。 【点评】本题考查了正方体表面积的计算，需熟记公式准确计算。 5．【答案】27 分米。 【分析】根据长方体的特征，12 条棱分为 3 组，每组 4 条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度等 于两条长+两条宽+4 条高再加上打结用的 2分米，据此解答。 【解答】解：4×2+3×4+2.5×2+2 学科网（北京）股份有限公司 9 ＝8+12+5+2 ＝27（分米） 答：一共需要 27 分米的彩带。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，关键是弄清如何捆扎的，确定是求哪几条棱的长度和。 6．【答案】缸里的水会溢出。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，求出玻璃缸内无水部分的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3， 求出铁块的体积，铁块的体积与玻璃缸内无水部分的体积进行比较，即可解答。 【解答】解：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 8×5×（4﹣2.6） ＝40×1.4 ＝56（立方分米） 64 立方分米＞56 立方分米 答：缸里的水会溢出。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积公式的灵活运用，关键是明白：铁块的体积与玻璃缸内无水 部分的体积进行比较。 7．【答案】（1）2170 平方厘米；（2）14cm；（3）900 立方厘米。 【分析】（1）根据长方体的表面积的计算方法，由于鱼缸无盖，缺少上面，所以求它的 5 个面的面积即可 解答； （2）把 6.3L 转化成体积，根据 V÷（ab）＝h 求出高； （3）根据长方体的体积公式：V＝abh，解答即可。 【解答】解：（1）25×18+18×20×2+25×20×2 ＝450+720+1000 ＝2170（平方厘米） 答：制作这个鱼缸需要 2170 平方厘米的玻璃。 （2）6.3L＝6300 立方厘米 6300÷（25×18） ＝6300÷450 学科网（北京）股份有限公司 10 ＝14（厘米） 答：水深是 14cm。 （3）25×18×（16﹣14） ＝450×2 ＝900（立方厘米） 答：这块假山石的体积是 900 立方厘米。 【点评】此题属于长方体的表面积公式、体积公式的实际应用，注意：容积单位与体积的换算。 8．【答案】4200 立方厘米。 【分析】因为钢球完全浸没，所以钢球的体积等于 15﹣12＝3 厘米高的长方体的体积，根据长方体体积＝ 长×宽×高计算出钢球的体积。 【解答】解：40×35×（15﹣12） ＝40×35×3 ＝4200（立方厘米） 答：这个钢球的体积是 4200 立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握特殊物体太简单测量方法及应用，长方体的体积公式及应用。 9．【答案】236 平方厘米。 【分析】要想使包装纸最省，那么只要把礼品盒的最大面相粘合，使它们粘合在一起后的表面积减少的最 多即可：由此先把四个礼品盒 2 盒分成 1 组，两个礼品盒的最大面（4×5）面相粘合，再把两个长方体拼 组后得到最大面（3+3）×5面相粘合，这样拼组后的长方体比原来四个长方体答表面积之和减少的表面积 最多，所以得到的大长方体的表面积最小，最能节省包装纸，由此再利用长方体的表面积公式即可解答。 【解答】解：根据题干分析可得，按照上面图示进行包装最能节省包装纸，最少需要的包装纸是： 4+4＝8（厘米） 3+3＝6（厘米） （8×6+5×8+5×6）×2 ＝（48+40+30）×2 学科网（北京）股份有限公司 11 ＝118×2 ＝236（平方厘米） 答：最少需要包装纸 236 平方厘米。 【点评】此题主要根据长方体的拼组方法和长方体的表面积的计算方法解决问题，关键是根据拼组方法得 出表面积最小的拼组方法。 10．【答案】251 厘米。 【分析】彩带的总长包括 2 条长、2 条宽、4 条高的总长度加接头处的长度即可。 【解答】解：30×2+30×2+26×4+27 ＝120+104+27 ＝224+27 ＝251（厘米） 答：一共要用 251 厘米彩带。 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题。 11．【答案】2400 立方厘米。 【分析】根据题意可知，把石块放入玻璃缸中，上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积 公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：20×20×6 ＝400×6 ＝2400（立方厘米） 答：石块的体积是 2400 立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 12．【答案】（1）40 升；（2）500 千米。 【分析】（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 （2）首先根据“等分”除法的意义，用除法求出每千米的耗油量是多少升，再根据“包含”除法的意义， 用除法解答。 【解答】解：（1）5×4×2 ＝20×2 ＝40（立方分米） 40 立方分米＝40 升 答：可以装汽油 40 升。 学科网（北京）股份有限公司 12 （2）40÷（8÷100） ＝40÷0.08 ＝500（千米） 答：这辆汽车可以行驶 500 千米。 【点评】此题主要考查长方体的容积公式的灵活运用，“等分”除法、“包含”除法的意义及应用。 13．【答案】6立方分米。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出水与鱼的体积和，然后减去水的体积就是 鱼的体积。 【解答】解：12 升＝12 立方分米 3×3×2﹣12 ＝18﹣12 ＝6（立方分米） 答：这些鱼的体积是 6 立方分米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式及应用，关键 是熟记公式。 14．【答案】24.6 立方米。 【分析】用 4m 减去 1m，求出货物高度，再根据长方体体积＝长×宽×高即可解答。 【解答】解：4.1×2×（4﹣1） ＝8.2×3 ＝24.6（立方米） 答：这辆车的车厢最多能装 24.6 立方米的货物。 【点评】本题考查的是长方体体积，熟记公式是解答关键。 15．【答案】200 厘米。 【分析】根据长方体的特征：12 条棱分为互相平行的 3 组，每组 4 条棱的长度相等，由图形可知：需要彩 带的长度等于 2条长+4 条高+2 条宽+打结用的 40 厘米即可。 【解答】解：35×2+25×2+10×4+40 ＝70+50+40+40 ＝200（厘米） 答：至少需要 200 厘米的丝带。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和的计算方法。 学科网（北京）股份有限公司 13 16．【答案】32 厘米。 【分析】水的体积＝长×宽×水深，那么如果把宽和高所在的面朝下，水深＝水的体积÷（宽×高），据 此作答即可。 【解答】解：40×30×20 ＝1200×20 ＝24000（平方厘米） 24000÷（30×25） ＝24000÷750 ＝32（厘米） 答：水深 32 厘米。 【点评】本题考查的是长方体体积，熟记公式是解答关键。 17．【答案】55.2 升。 【分析】因为水槽中注满水，水槽溢出的水的体积就是两根长 4 分米、宽 2.3 分米、高 3 分米的小石柱的 体积，根据长方体体积＝长×宽×高即可解答。 【解答】解：4×2.3×3×2 ＝9.2×6 ＝55.2（立方分米） 55.2 立方分米＝55.2 升 答：水槽溢出的水的体积是 55.2 升。 【点评】本题考查的是长方体体积，熟记公式是解答关键。 18．【答案】126000 立方厘米。 【分析】通过观察图形可知，这个盒子的长是（150﹣15×2）厘米，宽是（100﹣15×2）厘米，高是 15 厘 米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：（150﹣15×2）×（100﹣15×2）×15 ＝120×70×15 ＝8400×15 ＝126000（立方厘米） 答：这个盒子的容积是 126000 立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 19．【答案】（1）这个包装纸的长是 297mm，宽是 210mm，高是 50mm。（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 14 （2）1144 立方厘米。 （3）通过比较发现：四个角减去的正方形边长值逐渐增大时，折成的无盖长方体纸盒的容积也逐渐增大， 所以我同意乐乐的说法。 【分析】（1）写出发现的数学信息即可；（答案不唯一） （2）这个包装纸的长是 297mm，宽是 210mm，高是 50mm，根据长方体体积公式：V＝abh，代入数据即可解 答。 （3）折成的无盖长方体纸盒的长是纸的长减去 2 个 4 厘米，宽是纸的宽减去 2 个 4 厘米，高是 4厘米，利 用长方体体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。 （4）正方形的边长就是折成的长方体的高，假设笑笑所做的纸盒的高是 1 厘米、2 厘米，或 3 厘米，根据 长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式分别求出三个纸盒的容积，进行比较即可。 【解答】解：（1）从图中我发现：这个包装纸的长是 297mm，宽是 210mm，高是 50mm。（答案不唯一） （2）297×210×50 ≈300×210×50 ＝3150000（立方毫米） 3150000 立方毫米＝3150 立方厘米 答：这包纸的体积是 3150 立方厘米。 （3）把 297 毫米看作 300 毫米计算。 300 毫米＝30 厘米 210 毫米＝21 厘米 （30﹣4×2）×（21﹣4×2）×4 ＝22×13×4 ＝1144（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是 1144 立方厘米。 （4）正方形边长为 1 厘米时： （30﹣1×2）×（21﹣1×2）×1 ＝28×19×1 ＝532（立方厘米） 正方形边长为 2厘米时： （30﹣2×2）×（21﹣2×2）×2 ＝26×17×2 学科网（北京）股份有限公司 15 ＝884（立方厘米） 正方形边长 3 厘米时： （30﹣3×2）×（21﹣3×2）×3 ＝24×15×3 ＝1080（立方厘米） 532＜884＜1080 通过比较发现：四个角减去的正方形边长值逐渐增大时，折成的无盖长方体纸盒的容积也逐渐增大，所以 我同意乐乐的说法。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用。 20．【答案】2.3 方。 【分析】通过观察图形可知，一个这样的凳子是由 3 个长方体组成的，根据长方体的体积公式：V＝abh， 把数据代入公式求出做一个凳子需要混凝土的体积，然后再乘做的个数即可。 【解答】解：100×50×5+50×6×35×2 ＝5000×5+10500×2 ＝25000+21000 ＝46000（立方厘米） 46000×50＝2300000（立方厘米） 2300000 立方厘米＝2.3 方 答：做这些凳子至少用 2.3 方混凝土。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。注意：立方厘米与立方米（方）之 间的进率及换算。 21．【答案】5厘米，150 平方厘米，125 立方厘米。 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和 ÷12，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱 长，把数据代入公式解答。 【解答】解：（6+4+5）×4÷12 ＝15×4÷12 ＝60÷12 ＝5（厘米） 5×5×6 学科网（北京）股份有限公司 16 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 答：正方体的棱长是 5 厘米，表面积是 150 平方厘米，体积是 125 立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运 用，关键是熟记公式。 22．【答案】1960000 块。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式分别求出每块积木 的体积，这道墙的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 【解答】解：60×21×42÷（0.3×0.3×0.3） ＝1260×42÷0.027 ＝52920÷0.027 ＝1960000（块） 答：搭这面墙一共需要用 1960000 块积木。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 23．【答案】（1）125 立方厘米； （2） �3 27 立方厘米。 【分析】（1）根据题意可知，把边长是 15 分米的正方形硬纸板的四个角上各减去一个正方形，将它做成 一个无盖的正方体纸盒。也就是剪去的正方形的边长是原来正方形边长的三分之一，再根据正方体的体容 积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答。 （2）如果正方形纸板的边长是 a 厘米，那么做成的无盖正方体的棱长是原来正方形边长的三分之一，根据 正方体的容积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）15÷3＝5（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是 125 立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 17 （2）（a÷3）3= � 3 27 （立方厘米） 答：这个纸盒的容积是 �3 27 立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及应用，正方体的体积（容积）公式及应用，关键是熟 记公式。 24．【答案】54 平方分米。 【分析】由题意可知：这个长方体的侧面展开是一个正方形，说明底面周长和高相等，设底面边长为 a 分 米，则高是（4a）分米，因为正方形的面积＝边长×边长据此可以求出侧面积，再加上两个底面的面积即 可解答问题。 【解答】解：设底面边长为 a分米，则高是（4a）分米。 4a×4a+3×2 ＝16a2+6 ＝16×3+6 ＝48+6 ＝54（平方分米） 答：这个长方体的表面积是 54 平方分米。 【点评】此题主要考查正方形的周长公式、正方形的面积公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是 熟记公式。 25．【答案】6盒，下面一层平着放 1盒，立着放 2 盒，上面一层放置时，如果下面是平着放的，上面就立 着放，如果下面是立着放的，上面就平着放， 【分析】通过观察图形可知，下面一层平着放 1 盒，立着放 2盒，上面一层放置时，如果下面是平着放的， 上面就立着放，如果下面是立着放的，上面就平着放，这样最多能装 6盒。据此解答。 【解答】解：如图： 3+3＝6（盒） 学科网（北京）股份有限公司 18 答：最多能装 6 盒，下面一层平着放 1 盒，立着放 2 盒，上面一层放置时，如果下面是平着放的，上面就 立着放，如果下面是立着放的，上面就平着放。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征及应用，要关键实际情况进行分析解答。