第2章分式（单元测试·提升卷）数学湘教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．化简分式的结果是（    ） A．2 B． C． D． 2．清代诗人袁枚创作的诗歌《苔》“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍能绽放属于自己的美丽，若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．若分式有意义，则实数满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则分式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 8．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 9．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 10．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．计算： ． 12．化简： 的结果为 ． 13．我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 14．计算： ． 15．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 16．化简的结果为 ． 17．某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 ． 18．已知关于的分式方程． （1）当 时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，，共58分） 19．（10分）计算： (1)计算： (2)解方程： 20．（9分）化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 21．（9分）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2600元，购买品牌足球花费了1700元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花20元．求购买一个A品牌、一个品牌的足球各需多少元． 22．（9分）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 23．（10分）观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 24．（12分）下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．化简分式的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式约分方法是解决问题的关键．通过对分式的分子和分母分别提取公因式进行约分，即可得到化简结果； 【详解】解：， 故选：B． 2．清代诗人袁枚创作的诗歌《苔》“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍能绽放属于自己的美丽，若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了较小数的科学记数法．将用科学记数法表示为的形式，需满足，为小数点向右移动的位数，即可求解． 【详解】解：原数的小数点需向右移动6位得到， 因此将用科学记数法表示． 故选C． 3．若分式有意义，则实数满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义，分式有意义的条件是分母不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴ 故选：C 4．下列各式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变；需逐一分析各选项是否符合该性质． 【详解】选项A：；分子分母同时约去，则，否则分式无意义；故A一定成立； 选项B：；右边为左边的平方，显然不相等（如，时，左边为，右边为），故B错误； 选项C：；分子分母同时乘以，根据分式基本性质，若，等式成立；若，则分式无意义，因此C不正确； 选项D：；分子分母同时减去，不符合分式基本性质（如，，时，左边为，右边为），故D错误； 故选：A． 5．已知，且，则下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例性质，由已知比例式出发，利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）进行变形，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：由得，选项A错误，符合题意；选项B正确，不符合题意； 由得，则，选项C正确，选项D正确，不符合题意； 故选：A． 6．若，则分式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 7．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，所以或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， ， 方程无解， 或， 或， 或， 故选：D． 8．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了解分式方程，先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再检验根是否使分母为零． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：D． 9．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母，方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【详解】解：原方程为， 将分母变形为，原方程可改写为：， 确定最简公分母为，两边同乘，得：． 故答案选：B． 10．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相等，可建立方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为， 根据题意得：， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．化简： 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，先计算零次幂，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为： 15．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 16．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题关键，根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式 故答案为：． 17．某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用； 设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品，根据时间相同列方程即可． 【详解】解：设更新后生产线每天生产x件产品，则更新前生产线每天生产件产品， 由题意得：， 故答案为：． 18．已知关于的分式方程． （1）当 时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是 ． 【答案】 0 且 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解法和分式方程有解的条件． （1）将代入分式方程，通过解方程求出的值． （2）先解分式方程，再根据方程的解是正数且分母不为0，求出的取值范围． 【详解】解：（1）将代入分式方程，得到， 解得； （2）方程两边同乘去分母得， 解得， 因为方程的解是正数， 所以，解得， 又因为分母不能为0，即，所以，解得， 综上，的取值范围是且． 故答案为：0；且． 三、解答题（本大题共6小题，，共58分） 19．（10分）计算： (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先把分子分母因式分解，然后计算除法，即可求解； （2）先把分式方程化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得 解得 检验：当时 是原方程的解． 20．（9分）化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 【答案】，当时，原式= 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键，注意求值时代入的数值要使原式有意义． 先把除法运算变成乘法运算，然后再进行化简即可，最后代入使原式有意义的数值进行计算即可． 【详解】解：， 由分式有意义可得， 当时，原式． 21．（9分）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2600元，购买品牌足球花费了1700元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花20元．求购买一个A品牌、一个品牌的足球各需多少元． 【答案】购买一个品牌的足球需要65元，一个品牌的足球需要85元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键． 设买一个品牌的足球需元，则买一个品牌的足球需元，根据购买品牌足球的数量是购买品牌足球数量的2倍列出方程，求解即可． 【详解】解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元， 根据题意得： 解方程，得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时， 答：购买一个品牌的足球需要65元，一个品牌的足球需要85元． 22．（9分）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于的分式方程； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本，利用等量关系：科普书单价=文学书单价×，即可得出关于的分式方程； （2）设购进科普书本，则购买本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 23．（10分）观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握题目中的拆项方法是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意拆解合并之后解分式方程即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴.， 故答案为：； （2）解：分式方程可变形为. 去括号，得. 所以， 解得. 经检验，是分式方程的解. 所以分式方程的解为． 24．（12分）下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二 (2)，7 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，即可得出结果； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ， ∵， ∴， 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式·拔高通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．化简分式的结果是（    ） A．2 B． C． D． 2．清代诗人袁枚创作的诗歌《苔》“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍能绽放属于自己的美丽，若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．若分式有意义，则实数满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则分式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 8．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 9．解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 10．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．计算： ． 12．化简： 的结果为 ． 13．我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 14．计算： ． 15．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 16．化简的结果为 ． 17．某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为 ． 18．已知关于的分式方程． （1）当 时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，，共58分） 19．（10分）计算： (1)计算： (2)解方程： 20．（9分）化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 21．（9分）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2600元，购买品牌足球花费了1700元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花20元．求购买一个A品牌、一个品牌的足球各需多少元． 22．（9分）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 23．（10分）观察下列式子： ， ， ， ， ……． (1)根据上面的变形规律，若为正整数，则_________； (2)解分式方程：． 24．（12分）下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 分式·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C A A D D D B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11． 12． 13．2 14．-1 15．1 16． 17． 18．0 且 三、解答题（共6小题，共58分） 19. （10分） 【详解】（1）解： （3分） ；（5分） （2）解： 去分母得 解得（8分） 检验：当时 是原方程的解．（10分） 20．（9分） 【详解】解：，（6分） 由分式有意义可得，（8分） 当时，原式．（9分） 21．（9分） 【详解】解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元， 根据题意得：（4分） 解方程，得： 经检验，是原方程的解，且符合题意，（6分） 当时， 答：购买一个品牌的足球需要65元，一个品牌的足球需要85元．（9分） 22．（9分） 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元；（3分） ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元；（5分） ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本．（9分） 23．（10分） 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴.， 故答案为：；（5分） （2）解：分式方程可变形为. 去括号，得. 所以，（7分） 解得. 经检验，是分式方程的解. 所以分式方程的解为．（10分） 24. （12分） 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二；（4分） （2）解： （8分） ， ∵， ∴， 当时，原式．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$