专题1.5 一元二次方程的根与系数的关系（一课一讲•考点题型讲）-2025-2026学年九年级数学上册考点讲与题型练（人教版）

专题1.5 一元二次方程的根与系数的关系 （一课一讲·考点题型精讲） 2大知识点梳理+1大易错点分析+8大常考题型精练+中考真题小练 · 掌握一元二次方程根与系数的关系； · 能利用一元二次方程根与系数的关系解决相应问题； · 通过综合应用训练拓展思维，提升分析问题和解决问题的能力. 要点一、一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根为，那么，. 【注意】一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”.它的使用条件为a≠0，Δ≥0，也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系的应用 验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； 已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形，如： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则： a）当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． b）当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 【注意】 （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 易错点一、用一元二次方程的根与系数的关系前需判断一元二次方程根的情况 错因分析：未判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系出错 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；（注意要先判断再求解） (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 题型一、由根与系数的关系求代数式的值 1．（2025·河南平顶山·三模）已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知、是方程的两个实数根，则 ． 4．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 题型二、由根与系数的关系结合代换求代数式的值 6．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 8．（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程的两个根，则 ． 9．（2025·四川成都·模拟预测）若是一元二次方程的两个根，则 ． 10．（2025·山东日照·二模）若分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 题型三、由根与系数的关系通过降次求代数式的值 11．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 12．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知是方程的两个实根，则的值是 ． 13．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为 14．（2025·四川南充·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 题型四、由方程两根满足关系求参数的值 15．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 16．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 17．（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 18．（2025·河北保定·二模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 19．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 20．已知关于x的一元二次方程x2−2x–m2＋1＝0． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都为正数，求m的取值范围； （3）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1－x2＝2，求m的值． 题型五、由方程两根满足关系求参数的取值范围 21．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ． 22．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 23．（24-25九年级上·广东深圳·期中）和是关于x的方程 的两个实根，且满足 则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 25．（2025·江西抚州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 26．（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 题型六、构造一元二次方程求代数式的值 27．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）已知实数，满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·山东德州·期末）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 31．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 题型七、根与系数关系中的新定义问题 32．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 33．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 35．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 题型八、根与系数关系中的其他综合问题 36．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 38．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）关于的一元二次方程 ①求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②若两边、的长是这个方程的两根，且斜边．问为何值时，是直角三角形． （2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． （2023·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 （2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． （2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． （2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． （2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． （2024·青海西宁·中考真题）已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ． （2023·湖北宜昌·中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ． （2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． （2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． （2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． （2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． （2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 一元二次方程的根与系数的关系 （一课一讲·考点题型精讲） 2大知识点梳理+1大易错点分析+8大常考题型精练+中考真题小练 · 掌握一元二次方程根与系数的关系； · 能利用一元二次方程根与系数的关系解决相应问题； · 通过综合应用训练拓展思维，提升分析问题和解决问题的能力. 要点一、一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根为，那么，. 【注意】一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”.它的使用条件为a≠0，Δ≥0，也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系的应用 验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； 已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形，如： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则： a）当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． b）当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 【注意】 （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 易错点一、用一元二次方程的根与系数的关系前需判断一元二次方程根的情况 错因分析：未判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系出错 【典例】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；（注意要先判断再求解） (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 题型一、由根与系数的关系求代数式的值 1．（2025·河南平顶山·三模）已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次方程根与系数的关系，直接计算两根的倒数和． 【详解】已知方程 的两根为 和 ，由根与系数的关系可得： 根的和：， 根的积：， 所求表达式为 ，通分后得： ， 将根的和与积代入： ． 故选： B． 2．（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系求出根的和与积，再将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：原方程 移项得， 依题得 、是方程的两个实数根， ，， ， 原式． 故选：． 3．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键是根据根与系数的关系得到，． 根据根与系数的关系可得出，，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：0． 4．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握以上知识及计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据分式的性质，分式的混合运算化简，再代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴， ， ∴原式， 故答案为： ． 5．（23-24九年级上·四川南充·期中）已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，可知，然后化简代入求值． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ． 题型二、由根与系数的关系结合代换求代数式的值 6．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 7．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的解，记住，是解答此题的关键． 根据题意可得，，再将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ， 故答案为：． 8．（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程的两个根，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后将变形成，然后代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个根， ， ∴， ∴ 故答案为：19． 9．（2025·四川成都·模拟预测）若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的定义可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 10．（2025·山东日照·二模）若分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了一元二次方程的解．先根据分别是关于的一元二次方程的两个根，得，即，，再利用整体代入的方法计算． 【详解】∵分别是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2026 题型三、由根与系数的关系通过降次求代数式的值 11．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知，，进而整理出，将其代入化简求值即可． 【详解】解：根据题意，是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为 【答案】100 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 14．（2025·四川南充·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，结合整体代入法计算即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴； （2）解：当时，原方程化为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型四、由方程两根满足关系求参数的值 15．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 16．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 17．（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：，是关于x的方程的两根， ， ， ， 将代入，得：， 解得， 故答案为：8． 18．（2025·河北保定·二模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根于系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设其中一个根为，另一个根为， ， 解得：， 故答案为：4． 19．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先根据，，求出，得到整数或，再验证满足的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴整数或， 当时，，方程有两等根，不合题意； 当时，，方程有两不等根，符合题意； 故答案为：． 20．（19-20八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x–m2＋1＝0． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都为正数，求m的取值范围； （3）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1－x2＝2，求m的值． 【答案】(1)详见解析;(2);(3) 【分析】(1)根据一元二次方程的判别式进行判断即可. (2)利用根与系数的关系求出范围即可. (3)将题中的等式通过根与系数的关系进行变形,解出即可. 【详解】(1)≥0,故该方程有两个实数根． (2)若两个实数根都为正数,则可知两根之和大于0,两根之积大于0 ,解得,即． (3),． ． ． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式、根与系数的关系,关键在于熟练掌握相关的基础知识. 题型五、由方程两根满足关系求参数的取值范围 21．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．据根的情况可得，根据根与系数的关系可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：根据题意，， 解得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 又∵， ∴ 解得， ∴实数m的取值范围是：． 故答案为：． 22．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； 先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围． 【详解】解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 23．（24-25九年级上·广东深圳·期中）和是关于x的方程 的两个实根，且满足 则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方根与系数的关系，解不等式组等知识，先根据根的判别式求出m的取值范围，然后根据根与系数的关系并结合可得出，，解之即可． 【详解】解：∵x的方程有两个不同的实根， ∴， ∴或， 由一元二次方程根与系数的关系， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得， ∴， 故选：B． 24．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键．根据一元二次方程有两个同正的实数根，利用一元二次方程根的判别式以及根和系数的关系，得到，，，求出m的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有两个的实数根， ， ， 两个实数根同正， ，， ， m的取值范围是是． 25．（2025·江西抚州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：记关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数， ∴， 即，， ∴， 故答案为：． 26．（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】(1) (2)的整数值有0，1，2． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； （2）由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 题型六、构造一元二次方程求代数式的值 27．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）已知实数，满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系和完全平方公式，根据题意可以把，看做一元二次方程的两个根，再根据相关知识一一判定即可；解决此题的关键是运用转化思想，把此题，转化成一元二次方程的两个根． 【详解】解：由题意得：，可看做一元二次方程的两个根， ∴化简方程为：， 根据根与系数关系可得：，， ∴，选项A错误，不符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D正确，符合题意； 故选∶D． 28．（24-25九年级上·山东德州·期末）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，由题意得是一元二次方程的两个根，即得，，进而利用完全平方公式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵实数满足，， ∴是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：． 29．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，配方法的应用，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知、关于的方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：由已知得：、是关于的方程的两根， 由韦达定理得：，， ， 又， 当时，取得最小值，最小值为：， 故选：A． 30．（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，由已知条件可得m和n是关于x的一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，代入求值即可． 【详解】解：， m和n是关于x的一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：7． 31．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查一无二次方程极与系数的关系，根据所给等式可得是一元二次方程的两根，由根与系数的关系得，，将变形为，再整体供稿计算即可． 【详解】解：∵实数 m，n满足 ， ∴m，n为一元二次方程. 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ 故答案为：20． 题型七、根与系数关系中的新定义问题 32．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 33．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 34．（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键． （1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可； （2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：解方程可得或， 由题意知，或， 解得或； （2）解：设的两根分别是， 则，，， 因为（，均为常数）为“邻根方程”， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以，满足的数量关系是． 题型八、根与系数关系中的其他综合问题 36．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 38．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）关于的一元二次方程 ①求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②若两边、的长是这个方程的两根，且斜边．问为何值时，是直角三角形． 【答案】①证明见解析；②当时，是直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． ①利用一元二次方程根的判别式即可得证； ②先一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，再根据勾股定理的逆定理可得要使是以为斜边的直角三角形，则，解方程可得的值，然后结合即可得出答案． 【详解】证明：①对于关于的一元二次方程， ∵这个方程根的判别式为， ∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②∵两边、的长是这个方程的两根， ∴， ∴ ， 要使是以为斜边的直角三角形，则， ∴， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴当时，是直角三角形． （2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． （2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． （2023·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． （2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． （2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． （2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． （2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． （2024·青海西宁·中考真题）已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，化简所求代数式，代入即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根分别为a和b， ∴， ∴ ． 故答案为：16． （2023·湖北宜昌·中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可． 【详解】解：由题意得 ， 原式． 故答案：． 【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键． （2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． （2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． （2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． （2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【详解】（1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． （2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$