专题1.3 一元二次方程的解法（一课一讲•考点题型精讲）-2025-2026学年九年级数学上册考点精讲与题型精练（人教版）

专题1.3 一元二次方程的解法（一课一讲·考点题型精讲） 4大知识点梳理+3大易错点分析+9大常考题型精练+中考真题小练 会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 能够灵活运用一元二次方程的解法解决问题； 提高分析问题和解决问题的能力. 要点一、直接开方法解一元二次方程 （1）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. （2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义. （3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是：. 【注意】 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 要点二、配方法解一元二次方程 （1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. （2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【注意】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． （4）配方法的应用 用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小．. 用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点三、公式法解一元二次方程 （1）一元二次方程的求根公式：一元二次方程，当时，. （2）一元二次方程根的判别式：． 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根. （3）用公式法解一元二次方程的步骤 　 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 把一元二次方程化为一般形式； 　　 　确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 求出的值； 　　　 若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 【注意】 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点四、因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法：提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【注意】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 易错点一、配方时忘记进行恒等式变形 错因分析：使用配方法解一元二次方程时，忘记进行恒等变形而出错 【典例】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 易错点二、a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号 错因分析：使用公式法解一元二次方程时，由于a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号而出错 【典例】用公式法解方程． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 易错点三、借助换元法解方程时忽略整体取值范围出错 错因分析：借助换元法解方程时，由于忽略换元整体的取值范围，而造成结果出错 【典例】已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 题型一、直接开平方法解一元二次方程 1．（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 2．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（   ） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 【答案】A 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，利用直接开方法以及完全平方的非负性，进行判断即可． 【详解】解：甲方程： 两边开平方得：或， 解得： 或 ． 因此，甲方程有两个相异的解：和． 乙方程： 由于任何实数的平方均为非负数，而右边为负数，故该方程在实数范围内无解． 综上，甲方程有两个相异的解，乙方程无解， 故选A． 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故答案为：，． 4．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是 ． 【答案】4 【分析】一元二次方程开平方求出两根，再根据三角形面积公式即可解得． 【详解】 ， 【点睛】此题考查了一元二次方程的根和直角三角形面积，解题关键是熟悉一元二次方程的解法． 题型二、配方法解一元二次方程 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将方程化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用，掌握配方法的方法是关键． 根据配方法，找出一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：， 等式变形得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， 故答案为： ． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式将方程配方成，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 8．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 题型三、配方法的应用 9．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键．首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴的最小值为， 即代数式的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 12．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3）， ， ， 当时，代数式有最大值． 题型四、根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．（2025·吉林四平·模拟预测）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的根的判别式判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键．分别计算的值，逐一进行判断即可． 【详解】解：A： ，，， ，无实数根； B： ，，， ，有两个相等实数根； C： ，，， ，无实数根； D： ，，， ，有两个不相等实数根； 故选：D． 14．（2025·河南驻马店·三模）若，则关于的一元二次方程．的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出判别式的值，进而根据根的判别式判断方程根的情况即可，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 15．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 16．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是： ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点，学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线经过第一、三、四象限，求得，，再利用根的判别式得到，即可得出结论． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 题型五、根据一元二次方程根的情况求参数 17．（24-25九年级上·广东江门·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意可得，，由此计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 18．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴． 故选：B 19．（2025·河南周口·三模）若关于的方程没有实数根，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根，计算判别式并建立不等式求解m的范围，再结合选项判断，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴ ∴， 故选：D 20．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 【答案】且 【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可求出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得：， 又， 则a的取值范围是且， 故答案为：且． 题型六、公式法解一元二次方程 21．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 22．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 23．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是将方程化为一般形式． （1）先把方程化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可． （2）通过移项化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式； （3）求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 【详解】（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 24．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 【答案】一，原方程没有化成一般形式 【分析】根据公式法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了公式法解方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：由 故 （第一步） （第二步） ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． 题型七、因式分解法解一元二次方程 25．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 26．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程的两个根为和1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，根据题意可得原方程解答即可，熟知因式分解法解一元二次方程的解是解答此题的关键． 【详解】解：关于的方程的两个根为和1， 则可得方程为， 化简得 ， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·河南周口·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤； 移项后，运用因式分解法即可求得方程的解． 【详解】解： 移项，得 或 解得：，． 28．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）用完全平方公式因式分解求出方程的根．（3）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． （1）用提公因式法因式分解求出方程的根． （2）把右边的项移到左边并化简，再用完全平方公式分解因式，即可求出方程的根． （3）用提公因式法因式分解求出方程的根． （4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． 【详解】（1）解：， 原方程可变形为：， 或． ，． （2）解： 原方程可变形为：， ． ． （3）解：， 原方程可变形为：， 或 ，． （4）解： 原方程可变形为：， ， 即． 或． ，． 题型八、换元法公式法解一元二次方程 29．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 31．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 32．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 题型九、一元二次方程的新定义问题 33．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，解一元二次方程．原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：C． 34．（2025·广东湛江·三模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 35．对于实数，定义一种运算“”：．关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据题意定义的新运算，列出关于的一元二次方程即可，解之即可得到答案. 【详解】由题意可得， 或 ． 故答案为：. 【点睛】本题考查的是一元二次方程求解的问题，实数的运算和理解定义的新运算是解题的关键. 36．（24-25九年级上·广东茂名·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． （2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． （2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． （2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． （2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． （2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． （2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A （2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． （2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． （2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， （2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． （2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． （2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． （2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 一元二次方程的解法（一课一讲·考点题型精讲） 4大知识点梳理+3大易错点分析+9大常考题型精练+中考真题小练 会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 能够灵活运用一元二次方程的解法解决问题； 提高分析问题和解决问题的能力. 要点一、直接开方法解一元二次方程 （1）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. （2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义. （3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是：. 【注意】 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 要点二、配方法解一元二次方程 （1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. （2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【注意】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． （4）配方法的应用 用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小．. 用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点三、公式法解一元二次方程 （1）一元二次方程的求根公式：一元二次方程，当时，. （2）一元二次方程根的判别式：． 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根. （3）用公式法解一元二次方程的步骤 　 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 把一元二次方程化为一般形式； 　　 　确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 求出的值； 　　　 若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 【注意】 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点四、因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法：提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【注意】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 易错点一、配方时忘记进行恒等式变形 错因分析：使用配方法解一元二次方程时，忘记进行恒等变形而出错 【典例】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 易错点二、a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号 错因分析：使用公式法解一元二次方程时，由于a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号而出错 【典例】用公式法解方程． 易错点三、借助换元法解方程时忽略整体取值范围出错 错因分析：借助换元法解方程时，由于忽略换元整体的取值范围，而造成结果出错 【典例】已知，则的值为 ． 题型一、直接开平方法解一元二次方程 1．（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（   ） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方程的解为 ． 4．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是 ． 题型二、配方法解一元二次方程 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）将方程化成的形式是 ． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 8．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 题型三、配方法的应用 9．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 12．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 题型四、根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．（2025·吉林四平·模拟预测）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·河南驻马店·三模）若，则关于的一元二次方程．的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 15．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 16．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是： ． 题型五、根据一元二次方程根的情况求参数 17．（24-25九年级上·广东江门·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 18．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 19．（2025·河南周口·三模）若关于的方程没有实数根，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D． 20．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 题型六、公式法解一元二次方程 21．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 24．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 题型七、因式分解法解一元二次方程 25．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程的两个根为和1，则 ． 27．（24-25九年级上·河南周口·期末）方程的解是 ． 28．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型八、换元法公式法解一元二次方程 29．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 31．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 32．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 题型九、一元二次方程的新定义问题 33．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 34．（2025·广东湛江·三模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 35．对于实数，定义一种运算“”：．关于的方程的解为 ． 36．（24-25九年级上·广东茂名·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． （2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． （2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 （2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 （2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． （2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 （2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． （2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． （2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． （2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． （2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． （2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： （2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． （2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． （2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． （2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$