专题1.2 一元二次方程（一课一练•培优分层练）-2025-2026学年九年级数学上册考点讲与题型练（人教版）

专题1.2 一元二次方程（一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. ：是一元一次方程，不符合条件； B. ：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是一元二次方程； C. ：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件； D. ：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件； 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 3．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知是方程的根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查方程根的概念及代数式的整体代入思想． 已知是方程的根，可将代入方程得到等式，再通过整体代入法求解目标代数式的值． 【详解】解：由题意，，得， ∴， 故选D． 7．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，由题意可得，将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一次项系数的定义是解决此题的关键．找出一元二次方程的一次项系数即可． 【详解】解：方程的一次项系数是． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 11．（24-25九年级下·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 13．（24-25九年级上·广西河池·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键．根据一元二次方程的定义得出答案即可； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：； 故答案为：． 14．（2025·广东深圳·三模）已知一元二次方程有一个根为4，则m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程，得到关于m的方程，即可求出m的值． 【详解】解：一元二次方程有一个根为4， ， 解得， 故答案为：2． 15．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 把代入方程，求得，再把整体代入计算即可． 【详解】解∶把代入方程，得 ， ∴， ∴． 故答案为∶2027 16．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程中得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入， 得， ∴， ∵． 18．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 19．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 20．已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，以及代数式的求值。熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 通过将已知解代入方程，得到关于a与b的等式，进而求解代数式的值。 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故选：D. 3．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程的根，因此．将代数式中的用该等式替换，即可化简求值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义， 熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键． 将代入方程中，再两边同时除以即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025， ∴， ∴，即， ∴是方程的实数根． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的解是指使得方程两边相等的未知数的值，理解并灵活的运用一元二次方程的解的概念是解题的关键；根据一元二次方程的解的定义逐项分析即可． 【详解】解：①当时，， 故本选项符合题意； ②且， 时，，当时，， 方程的两个根为， ，， 故本选项符合题意； ③方程存在两个根，， 或4， 方程的两个根为，， 故本选项符合题意； ④ 是方程的一个根， ，即， 或， 故本选项不符合题意； 综上所述，一定正确的是①②③， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 7．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为： 8．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长， 当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意； 当时， ∴， ， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入即可求解． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 10．关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是 ． （2）关于x的方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解为方程成立的未知数的值以及整体思想成为解题的关键． （1）由方程的解可得或，然后求解即可； （2）由方程的解可得或，然后求解即可； 【详解】解：（1）方程的解是， 在方程中，或，解得：． ∴方程的根为． 故答案为：． （2）方程的解是， 在方程中，或，解得． ∴方程的根为． 故答案为：． 三、解答题 31．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 32．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，完全平方公式的变形，把m代入方程变形得，然后利用计算即可解题． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，且， ， ， ，即， ，即． ． 33．（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将a代入方程再将方程变换得到，，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，， ∴ ． 34．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求的周长． 【答案】21或24 【分析】利用一元二次方程的解先求解m的值，再按照两种情况分类讨论即可． 本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，一元二次方程的解的含义，遇到等腰三角形要注意分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：把代入中， 得， 解得． 因为m和6恰好是等腰三角形的两边长， ①当腰长为6，底为9 时，三边长为6、6、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为； ②当腰长为9，底为6 时，三边长为6、9、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为． 综上所述，的周长为21或24． 35．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 一元二次方程（一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 6．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知是方程的根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．8 7．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 二、填空题 9．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）方程的一次项系数是 ． 10．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 11．（24-25九年级下·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 13．（24-25九年级上·广西河池·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 14．（2025·广东深圳·三模）已知一元二次方程有一个根为4，则m为 ． 15．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 18．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 19．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 20．已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 3．（24-25九年级上·全国·期中）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 6．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 7．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ． 9．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 10．关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是 ． （2）关于x的方程的根是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知实数是的根，求的值． 12．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求的周长． 15．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$