专题1.1 一元二次方程（一课一讲•考点题型精讲）-2025-2026学年九年级数学上册考点精讲与题型精练（人教版）

专题1.1 一元二次方程（一课一讲·考点题型精讲） 4大知识点梳理+2大易错点分析+7大常考题型精练+中考真题小练 理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，能识别一元二次方程，提高学生类比、归纳、总结的能力； 掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项. 要点一、一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 【注意】 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2次的，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可． 要点二、一元二次方程的一般形式 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【注意】 　　（1）只有当时，方程才是一元二次方程； 　　（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 要点三、一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点四、一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 易错点一、忽略二次项系数≠0 错因分析：一元二次方程遗漏二次项系数不能为0的前提条件 【典例】若方程是关于的一元二次方程，则 ． 易错点二、判断二次项系数、一次项系数、常数项需考虑符号问题 错因分析：对运算符号和性质符号理解不清 【典例】把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 题型一、识别一元二次方程 1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 题型二、由一元二次方程的概念求参数的值 5．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 题型三、由一元二次方程的概念求参数的取值范围 9．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（    ） A． B． C． D．且 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 12．（24-25九年级上·山东德州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 题型四、一元二次方程的一般形式 13．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 14．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 15．（24-25九年级上·广东江门·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 题型五、由一元二次方程的解求参数/代数式的值 17．（24-25九年级上·青海西宁·期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 18．若是关于x的一元二次方程的根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 19．（2025九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 题型六、由一元二次方程的解通过降次求代数式的值 21．（2025·福建漳州·模拟预测）若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 22．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 23．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 24．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 题型七、由一元二次方程的根求另一方程的根 25．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 26．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 27．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 28．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是 ． （2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． （2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． （2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． （2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． （2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 一元二次方程（一课一讲·考点题型精讲） 4大知识点梳理+2大易错点分析+7大常考题型精练+中考真题小练 理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，能识别一元二次方程，提高学生类比、归纳、总结的能力； 掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项. 要点一、一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 【注意】 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2次的，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可． 要点二、一元二次方程的一般形式 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【注意】 　　（1）只有当时，方程才是一元二次方程； 　　（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 要点三、一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点四、一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 易错点一、忽略二次项系数≠0 错因分析：一元二次方程遗漏二次项系数不能为0的前提条件 【典例】若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 易错点二、判断二次项系数、一次项系数、常数项需考虑符号问题 错因分析：对运算符号和性质符号理解不清 【典例】把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 题型一、识别一元二次方程 1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除； 选项B：，未明确，若则方程变为一次方程，无法确定是否为二次方程，排除； 选项C：，展开为，整理得，满足整式、一元且最高次数为2，符合定义； 选项D：，含分式，非整式方程，排除； 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程含分母，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； B、方程含根号，属于无理方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； C、 ，整理方程得，方程为一元二次方程，故该选项符合题意； D、，方程中未知数最高次数为3，属于三次方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 题型二、由一元二次方程的概念求参数的值 5．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得，求出的值即可． 【详解】解：若是关于的一元二次方程，则， 解得． 故答案为：1． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 【详解】根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 题型三、由一元二次方程的概念求参数的取值范围 9．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 10．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0的整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的二次项系数不能为0． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山东德州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 题型四、一元二次方程的一般形式 13．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 14．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：B． 15．（24-25九年级上·广东江门·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是， 故答案为： ． 题型五、由一元二次方程的解求参数/代数式的值 17．（24-25九年级上·青海西宁·期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 18．若是关于x的一元二次方程的根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】把代入，得，， 【点睛】考察了根据一元二次方程的根求参数，注意代数式的正确变形是关键 19．（2025九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x代入到方程中求出关于a、b的等式． 根据题意，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ 故答案为：2025． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把代入，得，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 则． 故答案为：2025． 题型六、由一元二次方程的解通过降次求代数式的值 21．（2025·福建漳州·模拟预测）若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，完全平方公式的应用，利用方程根的性质得到，然后变形得到，然后平方求解即可． 【详解】∵是方程的实数根， ∴， ∴将方程两边除以（），得，即． 平方得， 展开后为， ∴． 故选：C． 22．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 23．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 24．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 题型七、由一元二次方程的根求另一方程的根 25．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 26．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 27．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 28．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键．把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解是， 方程可变形为， 此方程中或， 解得：． 故答案为：． （2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． （2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． （2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 【答案】6 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． （2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$