第2章 特殊三角形（单元测试·基础卷）数学浙教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第2章 特殊三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．未来将是一个可以预见的AI时代，AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的角平分线，∠CAD＝18°，则∠ABE的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．60° 4．若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm 5．如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 7．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 8．如图是我国汉代赵爽给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若AE＝3，AD＝5，则小正方形EFGH的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论． ①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果EC＝2AE，AC＝6，则DE＝ 　 　 ． 12．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm． 13．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　 　 ，那么 　 　 ”． 14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝ 　 　 ． 15．能使两个直角三角形全等的条件有 　 　 ． ①一条直角边及其对角对应相等； ②斜边和一条直角边对应相等； ③斜边和一锐角对应相等； ④两个锐角对应相等． 16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°． （1）当PO＝AO时，AP＝　 　 ． （2）当△PAB是直角三角形时，AP的长为　 　 ． 三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．如图，在下列10×8正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A′B′C′D′，并求出四边形A′B′C′D′的面积． 18．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长． 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AC的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC． （1）求证：△AOB是等腰三角形； （2）若∠BAD＝18°，求∠AEF的度数． 22．如图，在△ABC中，∠B是锐角，AD⊥BC于点D，且∠B＝2∠C，AB＝3.5，BD＝1，求DC的长． 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 证明：如图1，在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE． ∵AD⊥BC，DE＝DB， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE，（依据1） ∴∠B＝∠AEB．（依据2） ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝2∠C． 又∵∠AEB＝∠EAC+∠C， ∴∠EAC+∠C＝2∠C， ∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE，（依据3） ∴AE＝CE＝AB， ∴DC＝DE+CE＝BD+AB＝1+3.5＝4.5． （1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2“，“依据3“分别指的是什么？ 依据1：　 　 ． 依据2：　 　 ． 依据3：　 　 ． （2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 证明：如图2，延长DB到点E，使BE＝AB，连接AE．…… 请根据小亮的思路写出完整的解题步骤． 23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE． （1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．（不必证明） 24．请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第2章 特殊三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．未来将是一个可以预见的AI时代，AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A不是轴对称图形，B，C，D是轴对称图形， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握求其定义是解题的关键． 2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 【考点】勾股定理 【分析】设两条直角边分别为a，b，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：设两条直角边分别为a，b， 根据题意得，， 解得，ab＝60， ∴这个直角三角形的面积是ab＝30， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的角平分线，∠CAD＝18°，则∠ABE的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．60° 【考点】等腰三角形的性质 【分析】由等腰三角形的性质推出AD平分∠BAC，∠ABC＝∠C，得到∠BAC＝36°，由三角形内角和定理求出∠ABC＝72°，由角平分线定义求出∠ABE∠ABC＝36°． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD平分∠BAC，∠ABC＝∠C， ∴∠BAC＝2∠CAD＝2×18°＝36°， ∴∠ABC（180°﹣36°）＝72°， ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC＝36°． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线定义，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形“三线合一”的性质． 4．若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为4cm时；当等腰三角形的底边长为4cm时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4cm时， ∵等腰三角形的周长为18cm， ∴此等腰三角形的底边长＝18﹣4﹣4＝10（cm）， ∵4+4＝8＜10， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的底边长为4cm时， ∵等腰三角形的周长为18cm， ∴此等腰三角形的腰长7（cm）， ∵4+7＝11＞7， ∴能组成三角形； 综上所述：此等腰三角形的底边长是4cm， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【考点】等腰三角形的判定与性质 【分析】根据CD平分∠ACB，BE⊥CD，证出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， ∵BE⊥CD， ∴∠BDC＝∠EDC＝90°， ∵CD＝CD， ∴△BDC≌△EDC（ASA）， ∴BC＝CE＝4，BD＝DE， 又∵∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE， ∵AC＝6，BC＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝2， ∴BE＝AE＝2， ∴BDBE＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键． 6．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质 【分析】①由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，MN是AB的中垂线知AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°，所以∠DBC＝36°①正确． ②由①和∠ABC＝72°，可得∠ABD＝36，所以∠ABD＝∠CBD，所以线段BD是△ACB的角平分线，三角形的角平分线是线段，不是射线，②错误． ③由①知，DA＝BD，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，③正确． ④由①知∠AMD＝90°，而△BCD为锐角三角形，所以④错误． 【解答】解：由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°， ∵MN是AB的中垂线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠DBC＝36°， ∴∠C＝∠CDB＝72°， ∴△CDB是等腰三角形， ∴①正确， 又∵∠ABC＝72°， ∴∠ABD＝36°， ∴线段BD是△ACB的角平分线， ∵三角形的角平分线是线段， ∴②错误， 由AD＝BD，AB＝AC知，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC， ∴③正确， ∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形， ∴④错误， ∴正确的为：①③． 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握． 7．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 【考点】直角三角形的性质 【分析】根据直角三角形的性质逐项判定可求解． 【解答】解：A．∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°， ∵∠BAP＝∠B， ∴∠CAP＝∠C， ∴AP＝PC， 只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误； B．∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠CAP＝90°， ∵∠BAP＝∠C， ∴∠C+∠CAP＝90°， ∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°， 即AP⊥BC，故正确； C．∵AP⊥BC，PB＝PC， ∴AP垂直平分BC， 而∠BAC不一定等于90°，故错误； D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误， 故选：B． 【点评】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 8．如图是我国汉代赵爽给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若AE＝3，AD＝5，则小正方形EFGH的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】勾股定理的证明 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵∠AED＝90°，AD＝5，AE＝3， ∴DE4， ∵4个直角三角形全等， ∴AF＝DE＝4， ∴EF＝AF﹣AE＝1， ∴小正方形EFGH的面积是1， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】等腰三角形的判定 【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案． 【解答】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，共2个点； ②第2个点是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，共2个点； ③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点 ∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴答案应该是2+2+3﹣2＝5个点 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论． ①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，故④正确． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A；故②正确； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF， 故①正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOFAE•OMAF•ODOD•（AE+AF）mn；故④正确； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确． 故选：D． 【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果EC＝2AE，AC＝6，则DE＝ 　4　 ． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质 【分析】根据已知易得：CE＝4，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DEC是等腰三角形，即可解答． 【解答】解：∵EC＝2AE，AC＝6， ∴CEAC＝4， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴ED＝EC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　13　 cm． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 13．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　两个角是等角的余角　 ，那么 　这两个角相等　 ”． 【考点】命题与定理 【分析】根据命题的定义，写成如果，那么的形式即可． 【解答】解：命题：等角的余角相等，可以写作：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等． 【点评】本题考查本题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝ 　6°　 ． 【考点】直角三角形的性质 【分析】利用三角形内角和定理，三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝42°， ∴∠A＝90°﹣42°＝48°， 由翻折变换的性质可知∠A＝∠CA′D＝48°， ∵∠CA′D＝∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB＝6°， 故答案为：6°． 【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质，属于中考常考题型． 15．能使两个直角三角形全等的条件有 　①②③　 ． ①一条直角边及其对角对应相等； ②斜边和一条直角边对应相等； ③斜边和一锐角对应相等； ④两个锐角对应相等． 【考点】直角三角形全等的判定 【分析】根据直角三角形全等的判定定理解答即可． 【解答】解：∵所有的直角都相等， ∴①一条直角边及其对角对应相等，符合角角边定理，正确； ②斜边和一条直角边对应相等，符合HL，正确； ③斜边和一锐角对应相等，符合角角边定理，正确； ④两个锐角对应相等，缺少边元素，无法判定，错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°． （1）当PO＝AO时，AP＝　或1　 ． （2）当△PAB是直角三角形时，AP的长为　或或1　 ． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】（1）根据题意证明△BOP为等边三角形，进而可得AP； （2）分三种情况讨论：①当∠APB＝90°，点P在CO的延长线上时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO＝BO，易得△BOP为等边三角形，得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；②当∠ABP＝90°，点P在CO的延长线上时，由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；③当∠APB＝90°，点P在CO上时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论． 【解答】解：（1）如图1.1，当PO＝AO时， ∵AO＝BO， ∴PO＝BO， ∴∠APB＝90°， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BOP＝60°， ∴△BOP为等边三角形， ∵AB＝BC＝2， ∴BPAB＝1， ∴APBP； 如图1.2，当PO＝AO时， ∵∠AOC＝60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP＝AOAB＝1， 故答案为：或1； （2）由（1）知：当∠APB＝90°时，AP； 如图2，当∠ABP＝90°时， ∵∠AOC＝∠BOP＝60°， ∴∠BPO＝30°， ∴BPOB， 在直角三角形ABP中， AP； 如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°， ∴PO＝AO， ∵∠AOC＝60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP＝AO＝1， 综上所述：当△PAB是直角三角形时，AP的长为或或1． 故答案为：或或1． 【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，运用分类讨论，数形结合思想是解答此题的关键． 三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．如图，在下列10×8正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A′B′C′D′，并求出四边形A′B′C′D′的面积． 【考点】作图﹣轴对称变换 【分析】根据轴对称的性质作图即可；利用割补法计算即可． 【解答】解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求． 四边形A′B′C′D′的面积为2． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 18．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，证明∠EAC＝90°，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EF⊥BD， ∴∠AEF+∠AED＝90°， ∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠C+∠AED＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC； （2）解：∵∠EAC＝90°， ∴AE2+AC2＝CE2， ∵CE＝CD+DE＝DE+8， ∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC， ∴AD6， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2， ∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2， 解得：DE＝4.5． 【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长． 【考点】等腰三角形的判定与性质 【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到BE，再由AB＝AC可证明△ABC是等边三角形，最后可得答案． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°， ∴∠F＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠F＝30°， ∴∠BDE＝30°， ∵BD＝4， ∴， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BE+EC＝8， 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 【考点】直角三角形的性质 【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可； （2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AC的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC． （1）求证：△AOB是等腰三角形； （2）若∠BAD＝18°，求∠AEF的度数． 【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 【分析】（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD是BC的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得OB＝OC＝OA，即可解答； （2）先根据垂直定义可得：∠AFE＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得AD平分∠BAC，从而可得∠EAF＝36°，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB， ∴△AOB是等腰三角形； （2）解：∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝2∠BAD＝36°， ∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝54°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，∠B是锐角，AD⊥BC于点D，且∠B＝2∠C，AB＝3.5，BD＝1，求DC的长． 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 证明：如图1，在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE． ∵AD⊥BC，DE＝DB， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE，（依据1） ∴∠B＝∠AEB．（依据2） ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝2∠C． 又∵∠AEB＝∠EAC+∠C， ∴∠EAC+∠C＝2∠C， ∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE，（依据3） ∴AE＝CE＝AB， ∴DC＝DE+CE＝BD+AB＝1+3.5＝4.5． （1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2“，“依据3“分别指的是什么？ 依据1：　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等　 ． 依据2：　等边对等角　 ． 依据3：　等角对等边　 ． （2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 证明：如图2，延长DB到点E，使BE＝AB，连接AE．…… 请根据小亮的思路写出完整的解题步骤． 【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠EAB，再利用三角形的外角性质可得∠ABD＝2∠E，从而可得∠E＝∠C，然后根据等角对等边可得AE＝AC，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得ED＝DC＝4.5，即可解答． 【解答】解：（1）依据1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 依据2：等边对等角； 依据3：等角对等边； 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 等边对等角； 等角对等边； （2）∵EB＝AB＝3.5， ∴∠E＝∠EAB， ∵∠ABD是△ABE的一个外角， ∴∠ABD＝∠E+∠EAB＝2∠E， ∵∠ABD＝2∠C， ∴∠E＝∠C， ∴AE＝AC， ∵AD⊥BC， ∴ED＝DC＝EB+BD＝3+1.5＝4.5， ∴DC的长为4.5． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE． （1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．（不必证明） 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可； （2）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可； （3）根据（1）（2）的结论猜出即可． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝45°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣30°＝60°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠DAC）＝60°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣60°＝15°， 答：∠EDC的度数是15°． （2）解：与（1）类似：∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝90°α， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°α+30°＝120°α， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝α﹣30°， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠DAC）＝105°α， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（120°α）﹣（105°α）＝15°， 答：∠EDC的度数是15°． （3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC∠BAD． 【点评】本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律． 24．请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【考点】勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定 【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论； （2）根据（1）的思路一样可以解决问题； （3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题． 【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2； （2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立． 证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE ∴△AFD≌△ABD， ∴AF＝AB，FD＝DB， ∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD， 又∵AB＝AC， ∴AF＝AC， ∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°， ∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB， ∴∠FAE＝∠EAC， 又∵AE＝AE， ∴△AFE≌△ACE， ∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135° ∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°， ∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2， 即DE2＝BD2+EC2； 解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT． ∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠TBC＝∠TBD＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DAT＝∠DAE， ∵AD＝AD， ∴△DAT≌△DAE（SAS）， ∴DT＝DE， ∵DT2＝DB2+EC2， ∴DE2＝BD2+EC2； （3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB， 可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA． ∴AD＝DF，EF＝BE． ∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°． 若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE， ∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°． 【点评】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第2章 特殊三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A A B B A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．4 12．13 13．两个角是等角的余角；这两个角相等 14．6° 15．①②③ 16．或1，或或1 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分） 解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求． （3分） 四边形A′B′C′D′的面积为2．（3分） 18．（6分） （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EF⊥BD， ∴∠AEF+∠AED＝90°， ∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠C+∠AED＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC；（3分） （2）解：∵∠EAC＝90°， ∴AE2+AC2＝CE2， ∵CE＝CD+DE＝DE+8， ∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC， ∴AD6， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2， ∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2， 解得：DE＝4.5．（3分） 19．（8分） （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°， ∴∠F＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形；（4分） （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠F＝30°， ∴∠BDE＝30°， ∵BD＝4， ∴， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BE+EC＝8，（4分） 20．（8分） （1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；（4分） （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE．（4分） 21．（10分） （1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB， ∴△AOB是等腰三角形；（5分） （2）解：∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝2∠BAD＝36°， ∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝54°．（5分） 22．（10分） 解：（1）依据1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 依据2：等边对等角； 依据3：等角对等边； 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 等边对等角； 等角对等边；（4分） （2）∵EB＝AB＝3.5， ∴∠E＝∠EAB， ∵∠ABD是△ABE的一个外角， ∴∠ABD＝∠E+∠EAB＝2∠E， ∵∠ABD＝2∠C， ∴∠E＝∠C， ∴AE＝AC， ∵AD⊥BC， ∴ED＝DC＝EB+BD＝3+1.5＝4.5， ∴DC的长为4.5．（6分） 23．（12分） （1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝45°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣30°＝60°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠DAC）＝60°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣60°＝15°， 答：∠EDC的度数是15°．（4分） （2）解：与（1）类似：∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝90°α， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°α+30°＝120°α， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝α﹣30°， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠DAC）＝105°α， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（120°α）﹣（105°α）＝15°， 答：∠EDC的度数是15°．（4分） （3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC∠BAD．（4分） 24．（12分） 解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2分） （2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立． 证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE ∴△AFD≌△ABD， ∴AF＝AB，FD＝DB， ∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD， 又∵AB＝AC， ∴AF＝AC， ∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°， ∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB， ∴∠FAE＝∠EAC， 又∵AE＝AE， ∴△AFE≌△ACE， ∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135° ∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°， ∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2， 即DE2＝BD2+EC2；（4分） 解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT． ∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠TBC＝∠TBD＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DAT＝∠DAE， ∵AD＝AD， ∴△DAT≌△DAE（SAS）， ∴DT＝DE， ∵DT2＝DB2+EC2， ∴DE2＝BD2+EC2； （3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB， 可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA． ∴AD＝DF，EF＝BE． ∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°． 若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE， ∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．（6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第2章 特殊三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．未来将是一个可以预见的AI时代，AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的角平分线，∠CAD＝18°，则∠ABE的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．60° 4．若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm 5．如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 7．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 8．如图是我国汉代赵爽给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若AE＝3，AD＝5，则小正方形EFGH的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论． ①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果EC＝2AE，AC＝6，则DE＝ 　 　 ． 12．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm． 13．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　 　 ，那么 　 　 ”． 14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝ 　 　 ． 15．能使两个直角三角形全等的条件有 　 　 ． ①一条直角边及其对角对应相等； ②斜边和一条直角边对应相等； ③斜边和一锐角对应相等； ④两个锐角对应相等． 16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°． （1）当PO＝AO时，AP＝　 　 ． （2）当△PAB是直角三角形时，AP的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．如图，在下列10×8正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A′B′C′D′，并求出四边形A′B′C′D′的面积． 18．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长． 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AC的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC． （1）求证：△AOB是等腰三角形； （2）若∠BAD＝18°，求∠AEF的度数． 22．如图，在△ABC中，∠B是锐角，AD⊥BC于点D，且∠B＝2∠C，AB＝3.5，BD＝1，求DC的长． 小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 证明：如图1，在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE． ∵AD⊥BC，DE＝DB， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE，（依据1） ∴∠B＝∠AEB．（依据2） ∵∠B＝2∠C， ∴∠AEB＝2∠C． 又∵∠AEB＝∠EAC+∠C， ∴∠EAC+∠C＝2∠C， ∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE，（依据3） ∴AE＝CE＝AB， ∴DC＝DE+CE＝BD+AB＝1+3.5＝4.5． （1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2“，“依据3“分别指的是什么？ 依据1：　 　 ． 依据2：　 　 ． 依据3：　 　 ． （2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法： 证明：如图2，延长DB到点E，使BE＝AB，连接AE．…… 请根据小亮的思路写出完整的解题步骤． 23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE． （1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．（不必证明） 24．请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$