第二章 直角三角形的边角关系（复习讲义）数学鲁教版五四制九年级上册

第二章 直角三角形的边角关系（复习讲义） 1. 理解锐角三角函数的概念 · 掌握正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义，能根据直角三角形边长正确写出三角函数值. · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能快速计算或推导. 2. 掌握解直角三角形的方法 · 利用勾股定理、三角函数关系（如sin²A + cos²A = 1）或边角关系，已知两边或一边一角时，求解其他未知边或角. 3. 应用三角函数解决实际问题 · 能将实际问题转化为直角三角形问题，如测量高度、坡度、方位角等，并运用三角函数求解. ●一、锐角三角函数 1、正切、正弦、余弦 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A. 正弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 余弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． 3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= ●二、30°、45°、60°的三角函数值 1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. ●三、用计算器求锐角三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. ●四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． 3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. ●五、三角函数的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . ●六、利用三角函数测高 1、测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器 ——简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 2、测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）. 3、测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）. ◆测量物体高度的方法可利用全等三角形、相似三角形和三角函数等有关知识测高. 题型一 求角的正弦值 【例1】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可． 【详解】解：由勾股定理，得 ABBC， ∴sinA， 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【变式1-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理求出的长，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-2】（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用，在中利用勾股定理及正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 故答案为：． 题型二 由正弦值求边长 【例2】（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 【变式2-1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若 ，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC； （2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝8，结合CD的长度，即可得出BC的长． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AB＝10，sinB， ∴， ∴AD＝6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝（2）2﹣62＝16， ∴CD＝4， ∴tanC； （2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴由勾股定理得BD＝8， 由（1）得CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝12． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系． 题型三 求角的余弦值 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理；先由勾股定理求出，再由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【详解】解： ，， ， 故选A． 【变式3-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设，求出及，然后可得出的值． 【详解】解：如图： ∵， ∴可以假设，， ∴ ∴， 故选：B． 题型四 由角的余弦值求边长 【例4】（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用余弦求边长，根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式求解即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，推出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型五 求角的正切值 【例5】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，求角的正切值等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据，设，则，利用勾股定理可得，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A． 【分析】根据正切函数的定义求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC， ∴tanB． 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义． 【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴AC∥DE ∴∠A=∠EDB ∴△ACB∽△DEB（AA） ∵， ∴ 又∵AB=3，BC=1 ∴，， ∵Rt△BDE ∴ ∵BC=1 ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点． 题型六 由正切值求边长 【例6】（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型七 由定义判断多结论 【例7】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【变式7-2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 题型八 特殊锐角三角函数的计算 【例8】（2025·云南玉溪·二模）计算：． 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握运算顺序和法则． 首先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，求立方根，然后计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： ． 【变式8-1】（2025·云南昆明·三模）计算：． 【答案】6 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数次幂、二次根式等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先根据有理数乘方、零次幂、负整数次幂、二次根式、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【变式8-2】（2024秋•西岗区期末）计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 【答案】（1）21； （2）． 【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【详解】解：（1）原式＝31+2 1 ＝21； （2）原式＝1 ． 【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 题型九 由特殊锐角三角函数值求角度 【例9】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， 故选：． 【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查学生对特殊的三角函数值以及三角形的内角和的掌握，由，，且，知，；接下来由特殊的三角函数值得出，，至此利用三角形内角和定理即可得出答案，关键是求出与的值． 【详解】解：，，且， ，， ，， ，， ． 故选：C． 【变式9-2】 （2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和平方根的非负性，特殊角三角函数值，三角形内角和定理等．根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分均为零．结合三角函数可求出和的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：由题意得：，， ，， 在锐角范围内，，， ． 故选A． 题型十 利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状 【例10】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式10-1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式10-2】 （23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 题型十一 已知角度比较三角函数值的大小 【例11】 （24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 【变式11-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 【变式11-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】 ， ， ，， ，， ， 故选：D． 题型十二 由三角函数值判断锐角的取值范围 【例12】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解： 是锐角，且， ， 故选：A． 【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 题型十三 由同角三角函数求值 【例13】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 【变式13-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式13-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十四 互余两角三角函数的关系 【例14】 （2024·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答． 【详解】∵在Rt△ABC,∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴sin2A+sin2B=1，sinB>0， ∵sinA=， ∴sinB==. 故选C. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键. 【变式14-1】（20224·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据：若，则cosα=sinβ. 【详解】由锐角三角函数性质可知：sin(90°－α)= cosα＝ 故选B 【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，利用已知条件对角进行分解是解题关键． 【变式8-2】（2024全国·九年级专题练习）已知，都是锐角，且，，则________． 【答案】 【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，， ∴锐角. 故答案为：. 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出的值． 题型十五 锐角三角函数与网格问题 【例15】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 【变式15-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查网格中的三角函数值，作，勾股定理，求出的长，再利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：作， 由网格特点和勾股定理，得：，， ∴； 故选D． 【变式15-2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：，， 的面积 ， ， ∴， ∴， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 题型十六 解直角三角形 【例16】（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 根据正弦的定义可得，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图： ∵， ， 又∵，， ∴， 解得：，（负值已经舍去）． 故选：A． 【变式16-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 【变式16-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求：(1)的长；(2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 题型十七 解非直角三角形 【例17】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式17-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式17-2】（23-24九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 题型十八 利用解直角三角形求图形的面积 【例18】已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（     ） A． B．24 C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，利用三角函数求出BC边上的高，再计算面积即可. 【详解】根据题意作△ABC如图所示，过A作AD⊥BC于D， ∵在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=6， ∴sin∠B=， ∴AD=， ∴S△ABC= 故选D. 【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值的应用，熟记特殊角度的三角函数值是关键. 【变式18-1】如图，，，AC＝10，则的面积是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】A 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D， ∵sinC＝ ， ∴AD＝AC•sinC＝6， ∴由勾股定理可知：BC＝8， ∵cosB＝ ， ∴∠B＝45°， ∴BD＝AD＝6， ∴BC＝14， ∴△ABC的面积为BC•AD＝×6×14＝42． 故选A． 【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度. 【变式18-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 题型十九 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 【例19】（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式19-1】（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是小明参观海口中心时的示意图，当走到点A时观测到海口中心顶端B点的仰角是，沿直线靠近海口中心至点D时，测得顶点B的仰角是．已知海口中心的高度是，则小明靠近海口中心的距离的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，在中，， ， 在 中，， ， ∴， ∴小明靠近海口中心的距离的长度是， 故选：A． 【变式19-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 【答案】25米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点，由题意，得四边形是矩形，，，则米．在中，，所以， （米），设米，则米．在中，，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点． 则四边形是矩形，，，米，米， （米）， 在中，， ， 在中，（米）， 设米， 在中，，即， 解得， 则（米）， 楼的高度为25米． 题型二十 解直角三角形的应用---方位角问题 【例20】（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段练习）如图，某货船以28海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．14海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，得：，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即货船在航行中离小岛C的最短距离是海里． 故选：B． 【变式20-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 【变式20-2】（2025·安徽合肥·二模）我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 【答案】点B，C之间的距离为海里 【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键； 作于点D，根据题意可得，，然后在中，可得，最后在中，根据三角函数即可求解； 【详解】作于点D，如图： ， 由题意知，，， 在中，，， ∴（海里）， 在中，， ， ∴（海里）， 答：点，之间的距离为海里； 题型二十一 解直角三角形的应用---坡度问题 【例20】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据矩形的性质得到，得到（米），求得米，得到米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 【变式20-1】（2025·内蒙古包头·三模）如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原自动扶梯的坡角，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了的长度且的长度为米，则自动扶梯的高度为 ．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质用a表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解∶在中，设米， ， (米) 米， (米)． 在中， ， ， 解得∶． 经检验：是原方程的解． 故答案为：米． 【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．延长交延长线于D点，作于M，求出（米），（米），在中，，（米），（米），即可得到． 【详解】解：延长交延长线于D点，作于M， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米）． 题型二十二 解直角三角形的应用---其它问题 【例22】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，根据题意，得到，利用三角函数得到，，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，由题意，可知：，， ∴， ∴，， ∴， 故选C． 【变式22-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰的高， ， 在中，， 又， ， 故选： A． 【变式22-2】（2025·湖北·模拟预测）为了提高地下车库出入口车辆的通行效率，车牌识别系统被广泛应用．如图1是生活中某一地下车库，出口为斜坡，图2是其侧面示意图．为斜坡，坡角为，车牌识别设备的摄像头在立柱的点D处，可识别的最大范围与立柱的夹角为，立柱的高度为，且立柱垂直于车库地面，点D，B，C均在同一直线上，则有效识别区域点F到点B的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：） 【答案】4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先过点F作于点H，得，则，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点F作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 则， ∴， 解得， 即， ∴， ∴有效识别区域点F到点B的距离约为． 故答案为：4 题型二十三 由三角函数测物高 【例23】（2025·河南驻马店·三模）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 【变式23-1】（2025·山西晋城·三模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构.小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点C，于点B，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架的高度．（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】15.7米 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质、仰角俯角、坡度等解直角三角形的应用等知识，过点作于点，由于点，于点，如图所示，则四边形为矩形，由坡度问题、俯角仰角解直角三角形即可得到答案．读懂题意，数形结合，构造直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，由于点，于点，如图所示： 则四边形为矩形， ，， 斜坡的坡度为，且米， ， 当米时，则米， 设米， 在中，，，则， 即， ， ， 在中，，则， ， 解得， 答：信号钢支架的高度约为15.7米． 【变式23-2】（23-24九年级下·吉林·阶段练习）城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神．某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下： 【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪．其中测高仪（如图②）为正方形木板，在顶点处用细线挂一个铅锤． 【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点，与“摇橹人”最高点在同一条直线上．通过测量得到，，，． 【步骤四】计算“摇橹人”高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．先证明，然后根据正切函数的定义，列式计算的长，最后根据求得答案． 【详解】根据题意可知,， ， 在中，，， ， ． 答：“摇橹人”的高度约为． 题型二十四 用计算器求锐角的三角函数值 【例24】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据算式结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由图可知，的正切值是， ∴的度数为． 故选A． 【变式24-1】（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为， ∴最接近的整数是2， 故选：C． 【变式24-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握正切定义，根据，，，得出，然后用计算器计算即可． 【详解】解：由，得， 故按键顺序为， 故选：A． 题型二十五 锐角三角函数的综合运用 【例25】（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在中，，将绕点A旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上． (1)求证：平分． (2)若，，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理和解直角三角形； （1）根据旋转的性质和等腰三角形的三线合一得到，即可得到结论； （2）先根据勾股定理求出长，根据三线合一得到，然后过点作的垂线，垂足为点，根据的面积求出长，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：在中，，， ∴， 由（1）可知， 即， ∵，， ∴， 过点作的垂线，垂足为点． ∵， 解得， 在中，， ∴． 【变式25-1】（2025·河南焦作·三模）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． (1)求k的值； (2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数的解析式，正切的定义． （1）先根据正切的定义求得，则，进而得，即可求出k的值； （2）根据反比例函数解析式求出，进而得，，设，分两种情况：当在右侧时；当在左侧时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴， 把代入得； （2） 解：把代入得， ∴， ∴，， 设， 当在右侧时，， 解得； 当在左侧时， ， 解得． ∴点的坐标为或． 【变式5-2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即． 基础巩固通关测 1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 4．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为θ，那么tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】由锐角的正切定义，即可解决问题． 【详解】解：如图，过A作AH⊥x轴于H， ∵A（5，12）， ∴AH＝12，OH＝5， ∵∠AOH＝θ， ∴tanθ， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数定义． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：由旋转可得， 在中，，， ∴（米）． 故选：A． 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴斜面的坡度为， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 【答案】 【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键． 11．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，某高速公路建设中需要测量一条江的宽度，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和，若飞机离地面的高度为100米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（已知，，结果用四舍五入法精确到个位）．    【答案】89 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义求出，，进而求解． 【详解】解：由题意可得：，， 则在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴米； 故答案为：89． 12．（2025·广东广州·二模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，求角的余弦值等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据所给网格，得出，再由点D为的中点，得出，最后结合余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：由图得：， ，， ∴， ∴． 因为点D为的中点， 所以， 所以． ∵，． ∴ ， 所以 ． 故答案为：． 能力提升进阶练 13．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2）tan45°． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题． （2）根据特殊角的三角函数值解决此题． 【解答】解：（1）6sin30°tan60°+cos245 ． （2）tan45° ． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 15．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 16．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的和差关系即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可得，解方程并根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 17．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为E，根据已知易得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，先利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图． ， ， 又， ，． 在中，， 在中，． （2）解：过点作于点，如图． 由已知可得：， ， ， ， ． ． 18．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）随着传统能源的日益紧缺，太阳能路灯的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器（测量角的仪器）的高度为米，点在水平地面的同一直线上，在点处安置测倾器，测得电池板顶端点的仰角，在与点相距米的点处安置测倾器，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点与在一条直线上），，测得米． (1)求电池板顶端点离地面的高度； (2)求灯臂的长度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，构造直角三角形求解是解题的关键． （1）延长交于点，证明四边形，为矩形，利用特殊角证明等腰直角三角形，解答即可． （2）先解直角三角形，再证明，列比例式解答即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ， 四边形，为矩形， 米，， ， ， 米， 米， 米． 答：电池板顶端点离地面的高度为米． （2）解：四边形为矩形， 米， 在中， ， ， ， ， 米， ， ， ，即：， 米， 答：灯臂长约为米． 19．（2025·重庆·模拟预测）周末，小智和小慧去参加户外趣味闯关活动，如图是活动场地图，共有两条赛道，出发点均为A，终点在出发点A的正北方向，赛道1的任务点在出发点A的西北方向 米处，终点在任务点的北偏东方向；赛道2的任务点在出发点的北偏东方向，终点在任务点的西北方向．（参考数据： (1)求出发点A与终点C之间的距离；（结果精确到个位） (2)小智选择赛道1且以每秒2米的速度从出发点到达任务点，做任务花费2分钟，然后以原速前往终点，小慧选择赛道2且以每秒3米的速度从出发点到达任务点，做任务花费3分20秒后以原速前往终点，请你通过计算，判断谁先到达终点 ． 【答案】(1)出发点与终点C之间的距离约为473米 (2)小慧先到达终点 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是关键． （1）根据题意运用解直角三角形的计算得到米，（米），结合图形即可求解； （2）根据解直角三角形的计算得到的值，算出小慧的时间，再算出小智的时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：如答图，终点在出发点A的正北方向，连接 过点作于点， ， 由题意可知， ，， 在中,，， ∴米， 在中，（米）， （米）， 答：出发点与终点之间的距离约为473米； （2）解：小慧活动过程：如答图，过点 作于点F， ∵点在点的西北方向， ∴ ∵ ， ，点在的北偏东方向， ∴ ， ∴， 由（1）得 米， 在中，米， 在中， 米， ∴ 米， 米， ∴（米）， ∴小慧用时 （秒）， 小智活动过程：由（1）知、 米，在中， （米）， ∴， ∴小智用时 （秒）， ∵秒 秒.：小慧先到达终点， 答：小慧先到达终点． 20．（2025·江西鹰潭·二模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）根据题意，可以求解和的度数，根据，求得，即可求解； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据平分，求得，求得的度数，进而求得的长度，从而求解； 【详解】（1）解：，， ， ∵， ， ， 故； （2）解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， 平分， 而 ∴在中，， 又， ， ∴在中，，， ， ， ， ， 到的距离为； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直角三角形的边角关系（复习讲义） 1. 理解锐角三角函数的概念 · 掌握正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义，能根据直角三角形边长正确写出三角函数值. · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能快速计算或推导. 2. 掌握解直角三角形的方法 · 利用勾股定理、三角函数关系（如sin²A + cos²A = 1）或边角关系，已知两边或一边一角时，求解其他未知边或角. 3. 应用三角函数解决实际问题 · 能将实际问题转化为直角三角形问题，如测量高度、坡度、方位角等，并运用三角函数求解. ●一、锐角三角函数 1、正切、正弦、余弦 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A. 正弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 余弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即cos A＝ ＝ ＝． 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． 3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= ●二、30°、45°、60°的三角函数值 1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. ●三、用计算器求锐角三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. ●四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． 3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. ●五、三角函数的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . ●六、利用三角函数测高 1、测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器 ——简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 2、测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）. 3、测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）. ◆测量物体高度的方法可利用全等三角形、相似三角形和三角函数等有关知识测高. 题型一 求角的正弦值 【例1】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，则 ． 【变式1-2】（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ． 题型二 由正弦值求边长 【例2】（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若 ，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．5 【变式2-2】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 题型三 求角的余弦值 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 题型四 由角的余弦值求边长 【例4】（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【变式4-2】（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型五 求角的正切值 【例5】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 题型六 由正切值求边长 【例6】（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 题型七 由定义判断多结论 【例7】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八 特殊锐角三角函数的计算 【例8】（2025·云南玉溪·二模）计算：． 【变式8-1】（2025·云南昆明·三模）计算：． 【变式8-2】（2024秋•西岗区期末）计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 题型九 由特殊锐角三角函数值求角度 【例9】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】 （2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 题型十 利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状 【例10】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-1】（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-2】 （23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 题型十一 已知角度比较三角函数值的大小 【例11】 （24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十二 由三角函数值判断锐角的取值范围 【例12】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三 由同角三角函数求值 【例13】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【变式13-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式13-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 题型十四 互余两角三角函数的关系 【例14】 （2024·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 【变式14-1】（20224·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 【变式8-2】（2024全国·九年级专题练习）已知，都是锐角，且，，则________． 题型十五 锐角三角函数与网格问题 【例15】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式15-2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，、相交于点E，则的值是 ． 题型十六 解直角三角形 【例16】（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，求和的长． 【变式16-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求：(1)的长；(2)的正弦值． 题型十七 解非直角三角形 【例17】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式17-2】（23-24九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 题型十八 利用解直角三角形求图形的面积 【例18】已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（     ） A． B．24 C． D． 【变式18-1】如图，，，AC＝10，则的面积是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 【变式18-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 题型十九 解直角三角形的应用---仰角俯角问题 【例19】（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式19-1】（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是小明参观海口中心时的示意图，当走到点A时观测到海口中心顶端B点的仰角是，沿直线靠近海口中心至点D时，测得顶点B的仰角是．已知海口中心的高度是，则小明靠近海口中心的距离的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 题型二十 解直角三角形的应用---方位角问题 【例20】（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段练习）如图，某货船以28海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．14海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式20-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 【变式20-2】（2025·安徽合肥·二模）我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 题型二十一 解直角三角形的应用---坡度问题 【例20】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 【变式20-1】（2025·内蒙古包头·三模）如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原自动扶梯的坡角，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了的长度且的长度为米，则自动扶梯的高度为 ．（结果精确到米，参考数据：） 【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为6米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少米？（结果保留根号） 题型二十二 解直角三角形的应用---其它问题 【例22】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 【变式22-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式22-2】（2025·湖北·模拟预测）为了提高地下车库出入口车辆的通行效率，车牌识别系统被广泛应用．如图1是生活中某一地下车库，出口为斜坡，图2是其侧面示意图．为斜坡，坡角为，车牌识别设备的摄像头在立柱的点D处，可识别的最大范围与立柱的夹角为，立柱的高度为，且立柱垂直于车库地面，点D，B，C均在同一直线上，则有效识别区域点F到点B的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：） 题型二十三 由三角函数测物高 【例23】（2025·河南驻马店·三模）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 【变式23-1】（2025·山西晋城·三模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构.小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点C，于点B，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架的高度．（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【变式23-2】（23-24九年级下·吉林·阶段练习）城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神．某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下： 【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪．其中测高仪（如图②）为正方形木板，在顶点处用细线挂一个铅锤． 【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点，与“摇橹人”最高点在同一条直线上．通过测量得到，，，． 【步骤四】计算“摇橹人”高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】． 题型二十四 用计算器求锐角的三角函数值 【例24】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式24-1】（2025·山东淄博·一模）请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式24-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二十五 锐角三角函数的综合运用 【例25】（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在中，，将绕点A旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上． (1)求证：平分． (2)若，，求的正弦值． 【变式25-1】（2025·河南焦作·三模）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． (1)求k的值； (2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 【变式5-2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 基础巩固通关测 1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为θ，那么tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则 ． 8．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 11．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，某高速公路建设中需要测量一条江的宽度，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和，若飞机离地面的高度为100米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（已知，，结果用四舍五入法精确到个位）．    12．（2025·广东广州·二模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 能力提升进阶练 13．计算： （1）6sin30°tan60°+cos245； （2）tan45°． 14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 15．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，，求的面积． 16．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 17．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 18．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）随着传统能源的日益紧缺，太阳能路灯的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾器（测量角的仪器）的高度为米，点在水平地面的同一直线上，在点处安置测倾器，测得电池板顶端点的仰角，在与点相距米的点处安置测倾器，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点与在一条直线上），，测得米． (1)求电池板顶端点离地面的高度； (2)求灯臂的长度．（结果精确到，参考数据：） 19．（2025·重庆·模拟预测）周末，小智和小慧去参加户外趣味闯关活动，如图是活动场地图，共有两条赛道，出发点均为A，终点在出发点A的正北方向，赛道1的任务点在出发点A的西北方向 米处，终点在任务点的北偏东方向；赛道2的任务点在出发点的北偏东方向，终点在任务点的西北方向．（参考数据： (1)求出发点A与终点C之间的距离；（结果精确到个位） (2)小智选择赛道1且以每秒2米的速度从出发点到达任务点，做任务花费2分钟，然后以原速前往终点，小慧选择赛道2且以每秒3米的速度从出发点到达任务点，做任务花费3分20秒后以原速前往终点，请你通过计算，判断谁先到达终点 ． 20．（2025·江西鹰潭·二模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，，，，． (1)如图3，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$