拔尖5 整式加减中的创新题型-2025-2026学年新教材七年级数学上册练拔尖（人教版2024）

7 数上 练拔尖 拔尖 5 整式加减中的创新题型 题型 1，整式加减中的无关型问题 方法：若某字母取不同值时代数式的结果一样，或代数式的值与某字母的取值无关，其实质是 合并同类项后不含该字母或含该字母的项的系数为 0. 1.有这样一道题：“当 a = 2，b =− 2 时，求多项式 3a3b3 − 1 2 a2b + b − 2 2a3b3 − 1 8 a2b + 3 + a3b3 + 1 4 a2b 的值.”马虎做题时把 a = 2 错抄成 a =− 2 ，王真没抄错题，但他们做出的结果却一样，你知 道这是怎么回事吗？ 2.已知多项式 A = x2 + xy + 2x + 2，B = 2x2 − 3xy + y − 3 . （1）化简 2A − B ； （2）当 x = 2，y =− 5 时，求 2A − B 的值； （3）若 2A − B 的值与 y 的值无关，求 x 的值. 16/41 7 数上 练拔尖 题型 2，整式加减中的缺项类问题 方法：若已知整式的化简结果不含某项，而整式化简后又含有该项，那么该项的系数一定为 0. 3.是否存在数 m，使关于 x，y 的多项式 mx2 − x2 + 3x + 1 − 5x2 − 4y2 − 3x 的化简结果 中不含x2项？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 4. 已知：A = 2ab − a + 1,B =− ab + 3b − 6 . （1）当 a + b = 6,ab = 5 时，求 4B − 12A − 21 的值； （2）若多项式 A + mB 不含 ab 项，求 m 的值. 题型 3，与整式加减有关的说理题 方法：利用整式加减进行说理时，一定要先正确进行计算，再利用结果的特征进行分析. 5.已知关于 x 的多项式 3x2 − 2x + b 与x2 + bx − 1 的和不含 x 的一次项. （1）求 b 的值,并写出它们的和； （2）请你说明不论 x 取什么值,这两个多项式的和总是正数. 17/41 7 数上 练拔尖 题型 4，整式加减中的新定义题 6. 在小学，我们知道像 12，27，36，45，108，⋯ 这样的自然数能被 3 整除.一般地，如果 一个自然数所有数位上的数字之和能被 3 整除，那么这个自然数就能被 3 整除.事实上，我们 可以说明这个结论的正确性.以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 a，b ， 则通常记这个两位数为ab，于是ab = 10a + b = 9a + a + b ，显然，9a 能被 3 整除，因此， 若 a + b 能被 3 整除，那么 9a + a + b 就能被 3 整除，即ab 能被 3 整除. 根据上述材料，解答下列问题： （1）下列各数中，能被 3 整除的有______；（填序号） ①25；②225；③1 025；④2 025 . （2）设abcd是一个四位数，若 a + b + c + d 能被 3 整除，试说明这个数能被 3 整除； （3）设anan−1⋯a1a0表示任意一个 n + 1 位自然数，若an + an−1 +⋯+ a1 + a0能被 3 整除， 试说明anan−1⋯a1a0 能被 3 整除. 18/41 7 数上 练拔尖 拔尖 5 整式加减中的创新题型 题型 1，整式加减中的无关型问题 方法：若某字母取不同值时代数式的结果一样，或代数式的值与某字母的取值无关，其实质是 合并同类项后不含该字母或含该字母的项的系数为 0. 1.有这样一道题：“当 a = 2，b =− 2 时，求多项式 3a3b3 − 1 2 a2b + b − 2 2a3b3 − 1 8 a2b + 3 + a3b3 + 1 4 a2b 的值.”马虎做题时把 a = 2 错抄成 a =− 2 ，王真没抄错题，但他们做出的结果却一样，你知 道这是怎么回事吗？ 解: 原式= 3a3b3 − 1 2 a2b + b − 4a3b3 + 1 4 a2b + 3 + a3b3 + 1 4 a2b = b + 3 . 因为该多项式化简的结果中不含字母 a ，所以该多项式的值与 a 的值无关，故两人做出的结 果一样. 2.已知多项式 A = x2 + xy + 2x + 2，B = 2x2 − 3xy + y − 3 . （1）化简 2A − B ； 解: 因为 A = x2 + xy + 2x + 2，B = 2x2 − 3xy + y − 3 ， 所以 2A − B = 2 x2 + xy + 2x + 2 − 2x2 − 3xy + y − 3 = 2x2 + 2xy + 4x + 4 − 2x2 + 3xy − y + 3 = 5xy + 4x − y + 7 . （2）当 x = 2，y =− 5 时，求 2A − B 的值； 解: 当 x = 2，y =− 5 时, 2� − � = 5�� + 4� − � + 7 = 5 × 2 × −5 + 4 × 2 − −5 + 7 =− 50 + 8 + 5 + 7 =− 30 . 19/54 7 数上 练拔尖 （3）若 2A − B 的值与 y 的值无关，求 x 的值. 由（1）得 2A − B = 5xy + 4x − y + 7 . 因为 2A − B 的值与 y 的值无关，所以 5xy − y = 0，即 5x − 1 = 0 ， 所以 x = 1 5 . 题型 2，整式加减中的缺项类问题 方法：若已知整式的化简结果不含某项，而整式化简后又含有该项，那么该项的系数一定为 0. 3.是否存在数 m，使关于 x，y 的多项式 mx2 − x2 + 3x + 1 − 5x2 − 4y2 − 3x 的化简结果 中不含x2项？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 解: 存在； mx2 − x2 + 3x + 1 − 5x2 − 4y2 − 3x = mx2 − x2 + 3x + 1 − 5x2 + 4y2 + 3x = m− 6 x2 + 4y2 + 6x + 1 . 因为关于 x，y 的多项式 mx2 − x2 + 3x + 1 − 5x2 − 4y2 − 3x 的化简结果中不含x2 项， 所以 m− 6 = 0.所以 m = 6 . 4. 已知：A = 2ab − a + 1,B =− ab + 3b − 6 . （1）当 a + b = 6,ab = 5 时，求 4B − 12A − 21 的值； 解: 4B − 12A − 21 = 4 −ab + 3b − 6 − 12 2ab − a + 1 − 21 =− 4ab + 12b − 24 − 24ab + 12a − 12 − 21 =− 28ab + 12 a + b − 57 . 因为 a + b = 6,ab = 5 ，所以原式=− 28 × 5 + 12 × 6 − 57 =− 125 . 20/54 7 数上 练拔尖 （2）若多项式 A + mB 不含 ab 项，求 m 的值. 解: A + mB = 2ab − a + 1 +m −ab + 3b − 6 = (2 − m)ab − a + 1 + 3mb − 6m . 因为多项式 A + mB 不含 ab 项，所以 2 − m = 0.所以 m = 2 . 题型 3，与整式加减有关的说理题 方法：利用整式加减进行说理时，一定要先正确进行计算，再利用结果的特征进行分析. 5.已知关于 x 的多项式 3x2 − 2x + b 与x2 + bx − 1 的和不含 x 的一次项. （1）求 b 的值,并写出它们的和； 解: 依题意得 3x2 − 2x + b + (x2 + bx − 1) = 3x2 − 2x + b + x2 + bx − 1 = 4x2 + b − 2 x + b − 1 .因为它们的和不含 x 的一次项，所以 b − 2 = 0，解得 b = 2 ， 所以它们的和为 4x2 + 1 . （2）请你说明不论 x 取什么值,这两个多项式的和总是正数. 因为x2 ≥ 0，所以 4x2 ≥ 0.所以 4x2 + 1 > 0 . 所以不论 x 取什么值，这两个多项式的和总是正数. 题型 4，整式加减中的新定义题 6. 在小学，我们知道像 12，27，36，45，108，⋯ 这样的自然数能被 3 整除.一般地，如果 一个自然数所有数位上的数字之和能被 3 整除，那么这个自然数就能被 3 整除.事实上，我们 可以说明这个结论的正确性.以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 a，b ， 则通常记这个两位数为ab，于是ab = 10a + b = 9a + a + b ，显然，9a 能被 3 整除，因此， 若 a + b 能被 3 整除，那么 9a + a + b 就能被 3 整除，即ab 能被 3 整除. 根据上述材料，解答下列问题： 21/54 7 数上 练拔尖 （1）下列各数中，能被 3 整除的有______；（填序号） ①25；②225；③1 025；④2 025 . 答案：②④ （2）设abcd是一个四位数，若 a + b + c + d 能被 3 整除，试说明这个数能被 3 整除； 解: abcd = 1 000a + 100b + 10c + d = 3 333a + 33b + 3c + a + b + c + d . 因为 3 333a + 33b + 3c 能被 3 整除，且 a + b + c + d 能被 3 整除， 所以 3 333a + 33b + 3c + a + b + c + d 能被 3 整除，所以abcd 能被 3 整除. （3）设anan−1⋯a1a0表示任意一个 n + 1 位自然数，若an + an−1 +⋯+ a1 + a0能被 3 整除， 试说明anan−1⋯a1a0 能被 3 整除. 解: anan−1⋯a1a0 = an × 10n + an−1 × 10n−1 +⋯+ a1 × 10 + a0 = 10n − 1 an + 10n−1 − 1 an−1 +⋯+ 10 − 1 a1 + an + an−1 +⋯+ a1 + a0 . 因为 10n − 1 an， 10n−1 − 1 an−1,⋯ ， 10 − 1 a1 都能被 3 整除， 且an + an−1 +⋯+ a1 + a0 能被 3 整除， 所以 10n − 1 an + 10n−1 − 1 an−1 +⋯+ 10 − 1 a1 + an + an−1 +⋯+ a1 + a0 能被 3 整除，即anan−1⋯a1a0 能被 3 整除 22/54