拔尖3 有理数中的新定义问题-2025-2026学年新教材七年级数学上册练拔尖（人教版2024）

7 数上 练拔尖 拔尖 3 有理数中的新定义问题 题型 1，新定义数 1.�是不为 1 的有理数，我们把 1 1−� 称为� 的差倒数.如：4 的差倒数是 1 1−4 =− 1 3 ，−1 的差倒数是 1 1− −1 = 1 2 .已知�1 = 2，�2 是�1的差倒数，�3是�2的差倒数，⋯ 依此类推. （1）分别求出�2，�3，�4 的值； （2）计算�1 + �2 + �3 + �4 + �5 的值； （3）请求出�1 + �2 + �3 +⋯+ �2 025 的值. 题型 2，新定义运算 2 已知�，� 是有理数，且 � + 1 + � + 2 2 = 0 . （1）分别求�，� 的值. （2）借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数�，� 的新运算“#”：�#� = �2 −�� + �− 1 ，例如：3#2 = 32 − 3 × 2 + 3 − 1 = 5 . ①求�#� 的值. ②淇淇想利用计算探究这种新运算“# ”是否具有交换律（即�#�与�#�的值是否相等）？请你 根据（1）中�，� 的值进行判断. 9/41 7 数上 练拔尖 题型 3，新定义图形 3.在数轴上有�，�两点，点�表示的数为−1，点� 表示的数为�，给出如下定义：当� ≥ 0 时， 将点� 向右移动 2 个单位长度，得到点�；当� < 0 时，将点�向左移动 � 个单位长度，得到 点�.称点�为点�关于点�的“联动点”.当� = 4 时，点� 关于点�的“联动点”�在数轴上表示的数 为___；当� =− 2 时，点�关于点�的“联动点”� 在数轴上表示的数为____. 题型 4，新定义方程 4. 阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作“含有绝对值的方程”.如： � = 3 ， −2� + 1 = 2，⋯ 都是含有绝对值的方程.怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是： 把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”.例如： 解方程：�+3 � =4 . 解：当�≥0时，原方程可化为�+3�=4，解得�=1，符合题意； 当�<0时，原方程可化为�−3�=4，解得�=−2，符合题意. 所以原方程的解为�=1或�=−2 . 根据以上材料解方程：� + 2 � − 1 = 4 . 10/41 7 数上 练拔尖 题型 5，新定义模型 5.把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点� 重合，右端点与点� 重合，如图所示. （1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点� 处时，它的右端点在数轴上对应 的数为 20；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点� 处时，木棒左端点在数轴上 对应的数为 5.由此可得木棒的长为_______.我们把这个模型记为“木棒模型”； （2）已知点�表示的数为− 5 2 ，若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点� 相距 3 个单位长 度时，求木棒的右端点与点� 的距离； （3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是 你现在那么大，你还要 45 年才出生；你若是我现在这么大，我就有 123 岁了，世界级老寿星 了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄. 11/41 7 数上 练拔尖 拔尖 3 有理数中的新定义问题 题型 1，新定义数 1.�是不为 1 的有理数，我们把 1 1−� 称为� 的差倒数.如：4 的差倒数是 1 1−4 =− 1 3 ，−1 的差倒数是 1 1− −1 = 1 2 .已知�1 = 2，�2 是�1的差倒数，�3是�2的差倒数，⋯ 依此类推. （1）分别求出�2，�3，�4 的值； 解：根据题意得�2 = 1 1−2 =− 1 , �3 = 1 1− −1 = 1 2 , �4 = 1 1−12 = 2 . （2）计算�1 + �2 + �3 + �4 + �5 的值； 解：�5 = 1 1−2 =− 1 . 由（1）得 �1 + �2 + �3 + �4 + �5 = 2 + −1 + 1 2 + 2 + −1 = 2 1 2 . （3）请求出�1 + �2 + �3 +⋯+ �2 025 的值. 解：因为 2 025 ÷ 3 = 675 ， 所以�1 + �2 + �3 +⋯+ �2 025 = [2 + −1 + 1 2 ] × 675 = 1012 1 2 . 题型 2，新定义运算 2 已知�，� 是有理数，且 � + 1 + � + 2 2 = 0 . （1）分别求�，� 的值. 解：因为 � + 1 + � + 2 2 = 0 ， 所以� + 1 = 0，� + 2 = 0 ， 所以� =− 1，� =− 2 . 9/54 7 数上 练拔尖 （2）借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数�，� 的新运算“#”：�#� = �2 −�� + �− 1 ，例如：3#2 = 32 − 3 × 2 + 3 − 1 = 5 . ①求�#� 的值. 解：根据题意可得�� = −1 −2 = −1 2 − −1 × −2 + −1 − 1 = 1 − 2 − 1 − 1 =− 3 . ②淇淇想利用计算探究这种新运算“# ”是否具有交换律（即�#�与�#�的值是否相等）？请你 根据（1）中�，� 的值进行判断. 解：根据题意可得 �� = −2 −1 = −2 2 − −1 × −2 + −2 − 1 = 4 − 2 − 2 − 1 =− 1 . 因为�� ≠ �� ，所以这种新运算“# ”不具有交换律. 题型 3，新定义图形 3.在数轴上有�，�两点，点�表示的数为−1，点� 表示的数为�，给出如下定义：当� ≥ 0 时， 将点� 向右移动 2 个单位长度，得到点�；当� < 0 时，将点�向左移动 � 个单位长度，得到 点�.称点�为点�关于点�的“联动点”.当� = 4 时，点� 关于点�的“联动点”�在数轴上表示的数 为___；当� =− 2 时，点�关于点�的“联动点”� 在数轴上表示的数为____. 解析：因为当� ≥ 0 时，将点� 向右移动 2 个单位长度，得到点�，所以当� = 4 时，�表示的 数为−1+ 2 = 1 .因为当� < 0 时，将点�向左移动 � 个单位长度，得到点� ，所以当� =− 2 时，�表示的数为−1 − −2 =− 3 . 10/54 7 数上 练拔尖 题型 4，新定义方程 4. 阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作“含有绝对值的方程”.如： � = 3 ， −2� + 1 = 2，⋯ 都是含有绝对值的方程.怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是： 把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”.例如： 解方程：�+3 � =4 . 解：当�≥0时，原方程可化为�+3�=4，解得�=1，符合题意； 当�<0时，原方程可化为�−3�=4，解得�=−2，符合题意. 所以原方程的解为�=1或�=−2 . 根据以上材料解方程：� + 2 � − 1 = 4 . 解：当� ≥ 1 时，原方程可化为� + 2 � − 1 = 4 ，解得� = 2 ，符合题意； 当� < 1 时，原方程可化为� − 2 � − 1 = 4，解得� =− 2 ，符合题意. 所以原方程的解为� = 2 或� =− 2 . 题型 5，新定义模型 5.把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点� 重合，右端点与点� 重合，如图所示. （1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点� 处时，它的右端点在数轴上对应 的数为 20；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点� 处时，木棒左端点在数轴上 对应的数为 5.由此可得木棒的长为___.我们把这个模型记为“木棒模型”； （2）已知点�表示的数为− 5 2 ，若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点� 相距 3 个单位长 度时，求木棒的右端点与点� 的距离； 11/54 7 数上 练拔尖 解： 易知点�表示的数为 10.因为点�表示的数为− 5 2 ，所以当木棒的左端点在点� 右边 3 个 单位长度时，木棒的左端点表示的数为− 5 2 + 3 = 1 2 ，右端点表示的数为1 2 + 5 = 11 2 .故木棒的 右端点与点�的距离为 10 − 11 2 = 9 2 ；当木棒的左端点在点� 左边 3 个单位长度时，木棒的左 端点表示的数为− 5 2 − 3 =− 11 2 ，右端点表示的数为− 11 2 + 5 =− 1 2 .故木棒的右端点与点�的距 离为 10 − − 1 2 = 21 2 .综上所述，木棒的右端点与点�的距离为9 2 或21 2 . （3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是 你现在那么大，你还要 45 年才出生；你若是我现在这么大，我就有 123 岁了，世界级老寿星 了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄. 解： 木棒模型如图，图中点�表示的数是小宇的年龄，点� 表示的数是爷爷的年龄. 因为[123 − −45 ] ÷ 3 = 56 （岁）. 所以爷爷现在的年龄为 123 − 56 = 67 （岁）. 12/54