第六单元 组合图形面积（解决问题讲义）数学北师大版五年级上册

第六单元 组合图形面积 1.公式法求面积： ----直接运用公式法求一些基本图形面积。 2.加减法求面积： ----加减法是解决组合图形常用的方法，当组合图形由2个或2个以上的基本图形组合而成，可以分别求出这些基本图形的面积，再把所的面积相加即可求解；当一个组合图形无法直接求出时，可以把图形补全后看做是一个完整的图形，求出其面积后，再减去补全的图形的面积即可解决。 3. 旋转法求面积： ----旋转法： ----当两个独立的图形无法直接求出各面积时，可以根据题型特点，把另一个图形绕着某点按一定方向旋转，使这2个图形合二为一成一个基本图形，再求出这个基本图形的面积即可解决。 4. 分割法求面积： ----分割法：将组合图形分割成几个基本图形，先分别求出各部分的面积，再求出它们的和。 5. 添补法求面积： ----添补法：当一个不规则的图形，根据题目的特点，添补成一个基本图形，求出这 基本图形的面积后，再减去添补的面积即可解决。 6. 等积变形法求面积： ----等积变形法：等(同)底等(同)高的两个三角形的面积相等； ----两条平行线间的距离处处相等; 底在同一条直线上并且相等(或成倍数关系)，该底所对的角的顶点是同一个点(公共顶则这两个三角形的面积相等(或成倍数关系)。 7. 转化法求面积： ----转化法：同增同减差不变。 ----若甲比乙的面积大A，则甲和乙同时加上或减去相等的面积，它们面积差不变，而图形发生了变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以让问题变得简便。 类型1 公式法求面积： 典型例题1： 一个梯形ABCD的上底AD为2厘米，组成的平行四边形ABCE中CDE的面积为10平方厘米，DE为5厘米。求梯形ABCD的面积。 思路分析： 由AD、DE可知AE= + = （厘米），即BC= 厘米。观察发现梯形的高就是三角形 的高，三角形的高= × ÷ = （厘米），就是梯形的高；梯形ABCD面积=（ + ）× ÷2= （平方厘米）。 答题区： 变式训练： 三角形BEC的面积为20平方厘米，梯形的上底为6厘米，下底为8厘米，求梯形的面积。 类型2 加减法求面积： 典型例题2： 如下图，李大爷打算在这块土地上种玉米。(单位:米) (1)算一算这块地的面积是多大? (2)每株玉米占地20平方分米，这块土地共可种植多少棵玉米? 思路分析： 此图形由 形和 形组成。所以此组合图形面积= 面积+ 面积。 答题区： 变式训练： 1. 正月十五吃元宵，猜灯谜。御景阁小区正月十五悬挂一批灯谜灯箱，这样的灯箱侧面(如图)的面积是多少平方厘米?合多少平方分米? 2. 在一块底为21米，高为11米的平行四边形地上留下一条长11米、宽1米的小路，其余面积种上草，如果每平方米草地要5.2元，这块地上种草共需多少钱? 类型3 旋转法求图形面积： 典型例题3： 如下图，是一块桃树种植试验地，平均每棵桃树占地6平方米，这块试验地共种植了多少棵桃树？ 思路分析： 要求这块地种植的桃树棵树，应先求出这块地的 ，再应用数量关系“总棵数=每棵桃树占地面积× ”求出桃树棵数。此图形为组合图形，根据图形的特点，要求它的面积，可以采用旋转法，把右边的直角三角形绕上面顶点 时针旋转 度，转化为一个边长为 米的 形，求出其面积即可。 答题区： 变式训练： 如图,在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，E正好落在直角三角形的斜边AC上。已知AE=10厘米，EC=13厘米，那么其中阴影部分的面积是多少? 类型4 分割法求面积： 典型例题4： 已知两个正方形的边长分别是6分米、4分米，求阴影三角形ABC的面积。 思路分析： 阴影三角形ABC的三条边都未知，无法直接使用公式法求解。根据题目特点，我们可以把图形进行分割：连接OC，把三角形ABC划分为3个三角形，分别为三角形AOC、三角形BOC和直角三角形AOB，再分别求出这3个三角形的面积即可。 三角形AOC的底是 分米，高是 分米，面积列式计算为 ；三角形BOC的底是 分米，高是 分米，面积列式计算为 ；直角三角形AOB的面积列式计算为 。三角形ABC的面积是 + + = （平方分米）。 答题区： 变式训练： 1.在下面梯形中，已知三角形AOD的面积是4平方厘米，且线段OC长度是OA的2倍，求梯形面积。 类型5 添补法求图形面积： 典型例题5： 下图是一块小麦地的，平均每平方米收小麦2千克，求这块地一共可收小麦多少千克？（单位：m） 思路分析： 求这块地可收小麦多少千克？应先求出这块地的 ，再运用“小麦总产量=平均每平方米小麦产量× ”即可求出。小麦的单产量已知，所以此题关键是求出这块地的面积即可。 此图形为五边形，学生很容易想到，把此图形添一个直角三角形，补为一个完整的长方形，所以此五边形的面积= 的面积- 的面积。 补全的长方形的长为 米，宽为 米，面积列式计算为 × = （平方米）；添补的直角三角形的底是 米，高是 米，面积列式计算为 × ÷2= （平方米）；所以此五边形的面积为 - = （平方米） 答题区： 变式训练： 如图,已知一个四边形的两条边的长度和三个角,那么这个四边形的面积是多少?(单位:厘米) 类型6 等积变形法求图形面积（等底等高）： 典型例题6： 如图,在一个梯形花坛ABCD中，甲、乙两块区域栽种了一些小菊花，那么甲、乙两块区域的面积相比，哪块区域面积大？（ ） A.甲的面积大 B.乙的面积大 C.一样大 D.无法比较 思路分析： 此花坛形状为梯形，对角线AC和BD相交于点E，把梯形花坛面积划分成了4个区域，要求证甲、乙两块区域的面积大小问题。题中没有告诉任何数字信息，无法直接判定甲、乙区域面积大小关系。 可以根据同底等高的条件，可以判定三角形ABC面积 ○ 三角形DBC面积，再根据等式的性质，两个三角形面积各减去白色三角形BEC面积，为三角形ABC面积-三角形BEC面积○ 三角形DBC面积-三角形BEC面积，即甲的面积○乙的面积。 答题区： 变式训练： 已知四边形ABCD是长方形，ABEF是平行四边形，梯形ADCG的面积是20平方厘米，求四边形BEFG的面积。 类型7 转化法求图形面积（差不变性质）： 典型例题7： 如图，平行四边形ABCD，三角形EAB是直角三角形，AB长80米，EB长70米，阴影部分比三角形EFH的面积大1200平方米，则HB长多少米? 思路分析： 要求HB的长度，可以借助平行四边形面积和底的关系求得，所以此题关键是求出平行四边形的面积。AB=80米，EB=70米，可以求出直角三角形EAB的面积为 × ÷ = （平方米）；怎样求出平行四边形的面积呢？关键还是抓住题目中另一个条件“阴影部分比三角形EFH的面积大1200平方米”。 利用差不变性质进行转化，阴影部分和三角形EFH各加上白色梯形ABHF。即（阴影部分面积+ ）-（三角形EFH面积+ ）=1200平方米，即 面积- 面积=1200平方米。通过它们的关系，可以求出平行四边形ABCD的面积，平行四边形ABCD面积= 面积+ 。平行四边形面积列式： ÷ = （平方米），再求出平行四边形高HB的长度即可。 答题区： 变式训练： 长方形ABCD长是10厘米，宽是6厘米，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大10平方厘米，求BE的长是多少厘米? A夯实基础 一、填空题 1.下面图中两个正方形的边长分别是6厘米，4厘米，则涂色部分三角形的面积是（ ）平方厘米。 2.下面梯形中，甲的面积是5平方分米，则乙的面积是（ ）平方分米。 3.已知一个等腰直角三角形斜边的长是10厘米，则这个直角三角形的面积是（ ）平方厘米。 二、选择题 1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，如果三角形BCE的面积是4平方厘米，则三角形CDF的面积是（ ）平方厘米。 A.3.6 B.4 C.4.2 D.无法确定 2.如图所示，已知AD=7分米，DC=3分米，如果三角形ABD的面积为21平方分米，那么三角形BDC的面积是（ ）平方分米。 A.12 B.9 C.6 D.8 3. 如图，一个长方形被两条互相垂直的线段分割成甲、乙、丙、丁四个小长方形，已知甲、乙、丁的面积分别是12，22，34，那么阴影三角形的面积是（ ）。 A.32 B.34 C.36 D.38 B培优拔高 1.已知边长分别为3和4的正方形拼在一起,连接对角线,求对角线右上方阴影部分的面积。(单位:米) 2.园艺师要设计一个长7米、宽4米的长方形花圃(如下图)，其中6平方米的三角形区域 种向日葵，剩下的区域种月季花，种月季花的面积是多少平方米? 3.两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积。(单位:厘米) C思维拓展 1.如图:∠A与∠C均为直角，AB长为5厘米,BF长为7厘米,CD长为6厘米,DE长为6厘米。求阴影部分的面积。 2. 如图,长方形ABCD中,AB=4厘米,BC=6厘米,三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米。求ED的长。 3. 一个平行四边形分成一个梯形和一个三角形两部分,它们的面积差是18.6平方厘米,下底为15厘米,高为6.2厘米,梯形的上底是多少厘米? 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析： 2 5 7 7 10 2 5 4 2 7 4 18 答题区： 2+5=7（厘米） 高：10×2÷5=4（厘米） 梯形面积：（2+7）×4÷2=18（平方厘米） 答：梯形ABCD面积是18平方厘米。 变式训练答案： 梯形的高等于三角形BEC的高：20×2÷8=5（厘米） 梯形面积：（6+8）×5÷2=35（平方厘米） 答：梯形的面积是35平方厘米。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析：平行四边 梯 平行四边形 梯形 答题区： （1）2.4×2.5+（2.4+7.6）×2÷2 =6+10 =16（平方米） =1600（平方分米） （2）1600÷20=80（棵） 答：这块地的面积是16平方米；这块土地共可种植80棵玉米。 变式训练答案： 1.用梯形面积+长方形面积 （16+24）×10÷2+60×24 =200+1440 =1640（平方厘米） =16.4（平方分米） 答：这样的灯箱侧面的面积是1640平方厘米，合16.4平方分米。 2.用平行四边形面积-长方形小路面积=种草面积 21×11-11×1=220（平方米） 220×5.2=1144（元） 答：如果每平方米草地要5.2元，这块地上种草共需1144元钱。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析：面积 这块地面积 逆 90 12 正方 答题区： 12×12=144（平方米） 144÷6=24（棵） 答： 这块试验地共种植了24棵桃树。 变式训练答案： 因为∠AEF+∠DEC=90° 所以三角形AEF绕点E逆时针旋转90°后与三角形EDC拼成了一个新的直角三角形，此直角三角形的底为AE=10厘米，高为EC=13厘米，所以阴影部分面积为10×13÷2=65（平方厘米） 答：阴影部分的面积是65平方厘米。 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：6 4 6×4÷2=12平方分米 6 4 6×4÷2=12平方分米 6×6÷2=18平方分米 12 12 18 42 答题区： 6×4÷2+6×4÷2+ 6×6÷2 =12+12+18 =42（平方分米） 答：阴影三角形ABC的面积是42平方分米。 变式训练答案： ‌ 因为：线段OC长度是OA的2倍，所以把线段OC分割为相等的2段，再与点B和D连接（如上图所示）。根据等底等高的三角形的面积相等及等式性质，得到三角形DOC与AOB的面积相等，都为4×2=8（平方厘米） 4×3+4×2×3 =12+24 =36（平方厘米） ‌答：梯形ABCD的面积是36平方厘米。 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析：面积 这块地面积 长方形 三角形 12 11 12 11 132 9 6 9 6 27 132 27 105 答题区： 12×11-9×6÷2 =132-27 =105（平方厘米） 105×2=210（千克） 答：这块地一共可以收小麦210千克。 变式训练答案： 根据题目特点，利用45°和90°的角的特点，可以想到一个等腰直角三角形。补全等腰直角三角形，得到的三角形底和高都是7厘米，补的等腰直角三角形的要为3厘米。 四边形面积=大直角三角形面积-小直角三角形面积 7×7÷2-3×3÷2 =24.5-4.5 =20（平方厘米） ‌答：这个四边形的面积是20平方厘米。 类型6 答案解析 典型例题6： 思路分析：= = = 答题区： 三角形ABC与三角形DBC等底等高，所以面积相等；再运用等式性质，两个三角形各减去重叠的三角形BEC，即S△ABC-S△BEC=S△DBC-S△BEC，即甲的面积=乙的面积，所以答案为C。 变式训练答案： 因为长方形ABCD与平行四边形ABEF等底等高，所以它们的面积相等。运用等式性质，长方形和平行四边形各减去重叠的三角形AGB的面积，剩下的面积相等，即四边形BEFG的面积为20平方厘米。 答：四边形BEFG的面积为20平方厘米。 类型7 答案解析 典型例题7： 思路分析：80 70 2 2800 梯形ABHF 梯形ABHF 平行四边形ABCD 三角形ABE 三角形ABE 1200 2800 1200 4000 答题区： 三角形EAB的面积：80×70÷2=2800（平方米） 平行四边形ABCD面积：2800+1200=4000（平方米） 高BH的长度：4000÷80=50（米） 答：HB长50米。 变式训练答案： 同时加上白色部分面积，转化为长方形ABCD面积-直角三角形CDE面积=10平方厘米 长方形ABCD面积：10×6=60（平方厘米） 三角形CDE面积：60-10=50（平方厘米） 三角形CDE的高CE的长度：50×2÷10=10（厘米） BE的长度：10-6=4（厘米） 答：BE长4厘米。 ‌ A夯实基础 一、填空题 1.答案：12 解析：直接运用公式法求解 底=4 高=6 面积=4×6÷2=12（平方厘米） 2.答案：5 解析：运用等高模型和等式性质求解 甲的面积=乙的面积=5平方厘米 3.答案： 25 解析:等腰直角三角形的斜边上的高等于斜边的一半。 10×（10÷2）÷2=25（平方厘米） ‌二、选择题 1.答案： B 解析：根据等底等高的三角形是平行四边形面积的一半求解 三角形DFC的面积和BEC的面积都等于平行四边形面积的一半，所以这两个三角形的面积相等， 都等于4平方厘米。 2.答案： B 解析：三角形ABD和BDC为等高模型，所以先求出三角形ABD的该即可解决 高：21×2÷7=6（分米） 三角形BDC面积：3×6÷2=9（平方分米） 3.答案： B 解析：运用分割法和等积变换即可求解（如下图所示） ①②③的面积分别是甲、乙、丁面积的一半 所以阴影部分面积为（12+22+34）÷2=34（平方厘米） B培优拔高 1.答案：11平方米 解析：运用减法，用总面积-白色部分面积=阴影面积 3×3+4×4-（3+4）×4÷2 =9+16-14 =11（平方米） 答：阴影部分面积是11平方米。 2.答案： 22平方米 解析：求出三角形的底及梯形上底即可 6×2÷4=3（米） （7-3+7）×4÷2 =11×2 =22（平方米） 答：种月季花的面积是22平方米。 3.答案：22平方厘米 解析：根据等式的性质，两个直角三角形面积同时减去小直角三角形面积，剩下的阴影部分和左边直角梯形面积相等。所以阴影面积转化为求直角梯形面积即可。 （3+8）×4÷2 =22（平方厘米） 答： 阴影部分的面积是22平方厘米。 C思维拓展 1.答案： 解析：如下图所示，分割为两个三角形，求出这两个三角形的面积之和即可。 6×5÷2+7×8÷2 =15+28 =43（平方厘米） ‌ 答：阴影部分的面积为43平方厘米。 2.答案： 6厘米 解析：三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米。运用差不变的性质，两个三角形同时加上梯形BCDF的面积，它们的差不变；最后转化为正方形ABCD与直角三角形BCE的面积相差6平方厘米。 长方形ABCD的面积：6×4=24（平方厘米） 三角形BCE的面积：24+6=30（平方厘米） 三角形的高CE的长度：30×2÷6=10（厘米） DE的长度：10-4=6（厘米） 答：DE的长度是6厘米。 3.答案：3厘米 解析：运用分割法，把梯形划分为平行四边形和三角形，得到梯形比原来三角形的面积大的部分就是左边平行四边形的面积，为18.6平方厘米。 梯形上底：18.6÷6.2=3（厘米） 答:梯形的上底为3厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$