(11)与圆有关的不规则图形面积的求法-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 11 与圆有关的不规则图形面积的求法 1.直接和差法:把不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积的和与差进行计算. 2.等积法:两个等底等高的三角形的面积相等,因此可以利用图形中面积相等的部分将不规则图 形的面积转化为规则图形的面积进行计算. 3.割补法:先把不规则图形分割,再运用平移、旋转、轴对称等方法将不规则图形的面积转化为 规则图形的面积进行计算. 类型 1 直接和差法 1.如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，分别以点𝐴和点𝐶为圆心，𝐴𝐷 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公 共点.若𝐴𝐷 = 4 ，则图中阴影部分的面积为( ) A.32 − 8π B.16 √3 − 4π C.32 − 4π D.16 √3 − 8π 答案：D 【解析】 如图， 连接𝐴𝐶． ∵ 两弧有且仅有一个公共点， 方法指导 67/77 𝐴𝐷 = 4，∴ 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐷 = 8，∴ 在Rt△𝐴𝐷𝐶 中， 𝐶𝐷 = √𝐴𝐶2 − 𝐴𝐷2 = √82 − 42 = 4 √3 ， ∴ 𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 ⋅ 𝐶𝐷 = 16 √3.∵ 两个扇形均为 1 4 圆，而且它们的半径相 等，∴ 两个扇形的面积之和为 1 2 圆的面积，∴ 𝑆两个扇形 = 1 2 π ⋅ 𝐴𝐷2 = 8π ， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆两个扇形 = 16 √3 − 8π． 2.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆𝑂′ 的一个直径端点与半圆𝑂 的圆心重合，若半 圆的半径为 2，则阴影部分的面积是( ) A.4 3 π − √3 B. 4 3 π C. 2 3 π − √3 D.4 3 π − √3 4 答案：A 【解析】 如图，连接𝑂𝐴，𝑂′𝐴，过点𝐴作𝐴𝐵 ⊥ 𝑂𝑂′ 于点𝐵. ∵ 𝑂𝐴 = 𝑂𝑂′ = 𝑂′𝐴 = 2，∴ △𝐴𝑂𝑂′ 是等边三角形， ∴ ∠𝐴𝑂𝑂′ = ∠𝐴𝑂′𝑂 = 60∘ ，𝑂𝐵 = 1 2 𝑂𝑂′ = 1，∴ 𝐴𝐵 = √22 − 12 = √3 ， ∴ 𝑆弓形𝐴𝑂′ = 𝑆扇形𝑂𝐴𝑂′ − 𝑆△𝐴𝑂𝑂′ = 60π×22 360 − 2 × √3 × 1 2 = 2π 3 − √3 ， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆弓形𝐴𝑂′ + 𝑆扇形𝑂′𝐴𝑂 = 2π 3 − √3 + 60π×22 360 = 4 3 π − √3 ． 68/77 3.如图，⊙𝑂的半径为2 cm，𝐴𝐵为⊙𝑂 的弦，𝐶为𝐴𝐵 ⌢ 上一点，将𝐴𝐵 ⌢ 沿弦𝐴𝐵翻折，使点𝐶与圆 心𝑂 重合，则阴影部分的面积为______________.（结果保留π 与根号） 答案：( 𝟐 𝟑 𝝅− √𝟑)𝒄𝒎𝟐 【解析】 如图， 连接𝑂𝐴，𝑂𝐶，设𝑂𝐶交𝐴𝐵于点𝑀 .由折叠的性质，得𝑂𝐴 = 𝐴𝐶，𝐴𝐵 ⊥ 𝑂𝐶， ∴ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 = 𝐴𝐶 = 2 cm ， ∴ 𝑂𝑀 = 𝐶𝑀 = 1 2 𝑂𝐶 = 1 cm，∴△𝐴𝑂𝐶 是等边三角形， ∴ ∠𝐴𝑂𝐶 = 60∘. ∵ ∠𝐴𝑀𝑂 = 90∘ ， ∴ 𝐴𝑀 = √𝑂𝐴2 − 𝑂𝑀2 = √22 − 12 = √3(cm) ， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆扇形𝑂𝐴𝐶 − 𝑆△𝐴𝑂𝐶 = 60π×22 360 − 1 2 × 2 × √3 = ( 2 3 π − √3)(cm2) . 69/77 4.如图，将扇形𝑂𝐴𝐵沿𝑂𝐵方向平移，使点𝑂移到𝑂𝐵 的中点𝑂′处，得到扇形𝑂′𝐴′𝐵′． 若∠𝑂 = 90∘ ，𝑂𝐴 = 2 ，则阴影部分的面积为_______． 答案： 𝝅 𝟑 + √𝟑 𝟐 【解析】 如图， 设𝑂′𝐴′交𝐴𝐵 ⌢ 于点𝑇，连接𝑂𝑇 , ∴ 𝑂𝑇 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 2. ∵ 𝑂′是𝑂𝐵的中点，∴ 𝑂𝑂′ = 𝑂′𝐵 ， ∴ 𝑂𝑇 = 2𝑂𝑂′，𝑂𝑂′ = 1. ∵ ∠𝑂𝑂′𝑇 = 90∘ ， ∴ ∠𝑂′𝑇𝑂 = 30∘ ，∠𝑇𝑂𝑂′ = 60∘ ， ∴ 𝑂′𝑇 = √𝑂𝑇2 − 𝑂′𝑂2 = √3， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆扇形𝑂′𝐴′𝐵′ − (𝑆扇形𝑂𝑇𝐵 − 𝑆△𝑂𝑇𝑂′) = 90π×22 360 − ( 60π×22 360 − 1 2 × 1 × √3) = π 3 + √3 2 ． 70/77 类型 2 等积法 5.如图，已知点𝐶，𝐷是以𝐴𝐵 为直径的半圆的三等分点，弧𝐶𝐷的长为 1 3 π ，则图中阴影部分 的面积为( ) A.1 6 π B. 3 16 π C. 1 24 π D. 1 12 π + √3 4 答案：A 【解析】 如图，连接𝑂𝐶，𝑂𝐷，𝐶𝐷． ∵ 𝐶，𝐷是以𝐴𝐵 为直径的半圆的三等分点， ∴ ∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐶𝑂𝐷 = ∠𝐷𝑂𝐵 = 60∘ ，∴ 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷. ∵ 𝐶𝐷 ⌢ 的长为 1 3 π ， ∴ 60π×𝑟 180 = 1 3 π ，解得𝑟 = 1.又∵ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷， ∴ △𝑂𝐴𝐶，△𝑂𝐶𝐷 是等边三角形，∴ ∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝑂𝐶𝐷 = 60∘ ,∴ 𝑂𝐴//𝐶𝐷，∴ 𝑆△𝐴𝐶𝐷 = 𝑆△𝑂𝐶𝐷 ， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆扇形𝑂𝐶𝐷 = 60π×12 360 = 1 6 π ． 71/77 类型 3 割补法 6.如图，在边长为 6 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，以𝐵𝐶为直径画半圆，连接𝐴𝐶 , 则阴影部分的面积是( ) A.9 B.6 C.3 D.12 答案：A 【解析】 如图， 设𝐴𝐶与半圆交于点𝐸，半圆的圆心为𝑂 ，连接𝐵𝐸，𝑂𝐸. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形， ∴ ∠𝑂𝐶𝐸 = 45∘. ∵ 𝑂𝐸 = 𝑂𝐶，∴ ∠𝑂𝐸𝐶 = ∠𝑂𝐶𝐸 = 45∘ ， ∴ ∠𝐸𝑂𝐶 = 90∘ ，∴ 𝑂𝐸垂直平分𝐵𝐶，∴ 𝐵𝐸 = 𝐶𝐸 ,𝐵𝑂 = 𝑂𝐶 = 3， ∴ 弓形𝐵𝐸的面积=弓形𝐶𝐸 的面积， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆△𝐴𝐵𝐸 = 1 2 × 6 × 3 = 9 . 7.如图，半径为 5 的扇形𝑂𝐴𝐵 中，∠𝐴𝑂𝐵 = 90∘ ，𝐶是𝐴𝐵 ⌢ 上一点，𝐶𝐷 ⊥ 𝑂𝐴，𝐶𝐸 ⊥ 𝑂𝐵 ，垂 72/77 足分别为𝐷，𝐸.若𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 ，则图中阴影部分面积为( ) A.25π 16 B.25π 8 C.25π 6 D.25π 4 答案：B 【解析】 连接𝑂𝐶，如图.∵ ∠𝐴𝑂𝐵 = 90∘ ，𝐶𝐷 ⊥ 𝑂𝐴，𝐶𝐸 ⊥ 𝑂𝐵 ， ∴ ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝑂𝐷𝐶 = ∠𝑂𝐸𝐶 = 90∘ ，∴ 四边形𝑂𝐸𝐶𝐷是矩形.∵ 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸， ∴ 四边形𝑂𝐸𝐶𝐷是正方形，∴ 𝑆△𝐷𝐶𝐸 = 𝑆△𝑂𝐸𝐶 ， ∴ 𝑆阴影 = 𝑆扇形𝑂𝐶𝐵 = 45π×52 360 = 25π 8 . 73/77 专项 11 与圆有关的不规则图形面积的求法 1.直接和差法:把不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积的和与差进行计算. 2.等积法:两个等底等高的三角形的面积相等,因此可以利用图形中面积相等的部分将不规则图 形的面积转化为规则图形的面积进行计算. 3.割补法:先把不规则图形分割,再运用平移、旋转、轴对称等方法将不规则图形的面积转化为 规则图形的面积进行计算. 类型 1 直接和差法 1.如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，分别以点𝐴和点𝐶为圆心，𝐴𝐷 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公 共点.若𝐴𝐷 = 4 ，则图中阴影部分的面积为( ) A.32 − 8π B.16 √3 − 4π C.32 − 4π D.16 √3 − 8π 2.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆𝑂′ 的一个直径端点与半圆𝑂 的圆心重合，若半 圆的半径为 2，则阴影部分的面积是( ) A.4 3 π − √3 B. 4 3 π C. 2 3 π− √3 D.4 3 π − √3 4 方法指导 35/40 3.如图，⊙𝑂的半径为2 cm，𝐴𝐵为⊙𝑂 的弦，𝐶为𝐴𝐵 ⌢ 上一点，将𝐴𝐵 ⌢ 沿弦𝐴𝐵翻折，使点𝐶与圆 心𝑂 重合，则阴影部分的面积为______________.（结果保留π 与根号） 4.如图，将扇形𝑂𝐴𝐵沿𝑂𝐵方向平移，使点𝑂移到𝑂𝐵 的中点𝑂′处，得到扇形𝑂′𝐴′𝐵′． 若∠𝑂 = 90∘ ，𝑂𝐴 = 2 ，则阴影部分的面积为_______． 类型 2 等积法 5.如图，已知点𝐶，𝐷是以𝐴𝐵 为直径的半圆的三等分点，弧𝐶𝐷的长为 1 3 π ，则图中阴影部分 的面积为( ) A.1 6 π B. 3 16 π C. 1 24 π D. 1 12 π+ √3 4 36/40 类型 3 割补法 6.如图，在边长为 6 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，以𝐵𝐶为直径画半圆，连接𝐴𝐶 , 则阴影部分的面积是( ) A.9 B.6 C.3 D.12 7.如图，半径为 5 的扇形𝑂𝐴𝐵 中，∠𝐴𝑂𝐵 = 90∘ ，𝐶是𝐴𝐵 ⌢ 上一点，𝐶𝐷 ⊥ 𝑂𝐴，𝐶𝐸 ⊥ 𝑂𝐵 ，垂 足分别为𝐷，𝐸.若𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 ，则图中阴影部分面积为( ) A.25π 16 B.25π 8 C.25π 6 D.25π 4 37/40