(10)证明圆的切线的两种方法-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 10 证明圆的切线的两种方法 类型 1 直线与圆有公共点 直线过圆上某一点时，通常“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90∘ 的角，如借助角度转换证垂直，利用勾股定理的逆定理证垂直，利用全等证垂直等. 1.如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，如果圆上的点𝐷 恰使∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐵，求证：直线𝐶𝐷与⊙𝑂 相切. 2.如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，过点𝐶作射线𝐶𝐷 ，使∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐵𝐶.求证：𝐶𝐷与⊙𝑂 相切. 方法指导 33/40 3.如图，𝐴𝐵为半圆𝑂 的直径，𝐶为半圆上一点，𝐷为𝐴𝐶的中点，过点𝐶作半圆𝑂 的切线交𝑂𝐷的 延长线于点𝐸，交𝐴𝐵的延长线于点𝐹 ，连接𝐸𝐴 . （1）求证：𝐸𝐴是半圆𝑂 的切线. （2）若𝐶𝐸 = 3，𝐶𝐹 = 2，求半圆𝑂 的半径. 类型 2 不确定直线与圆是否有公共点 直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径的 常用方法是利用角平分线上的点到角两边的距离相等. 4.如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶 = 90∘ ，𝐵𝐷是角平分线，以点𝐷 为圆心，𝐷𝐴长为半径作⊙𝐷. 求证：𝐵𝐶是⊙𝐷 的切线. 方法指导 34/40 专项10证明圆的切线的两种方法 类型1直线与圆有公共点 方法指导 直线过圆上某一点时，通常“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90° 的角，如借助角度转换证垂直，利用勾股定理的逆定理证垂直，利用全等证垂直等 1.如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B,求证：直线CD与⊙O相切. 证明：如图，连接0D. B OA=OD,∠A=∠0DA· AB为⊙0的直径，∠ADB=90°， ·∠A+∠B=90°. ∠ADC=∠B,÷∠0DA+∠ADC=90°， 即∠CD0=90°，4CD⊥0D. :OD是⊙O的半径，：直线CD与⊙0相切. 63/77 2.如图，△ABC内接于⊙O,过点C作射线CD,使∠ACD=∠ABC.求证：CD与⊙0相切. A B D C 证明：如图， A B D N C 延长DC,设为CN.延长CO交⊙O于点M,连接BM, ∠MBC=90°，÷∠M+∠BCM=90°. ∠A=∠M,∠A+∠BCM=90°. ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∠ACD+∠ACB+∠BCN=180°，∠ACD=∠ABC, &∠A=∠BCN,&∠BCN+∠BCM=90°， 即∠0CN=90°，40C⊥CD. ~0C是⊙0的半径，CD与⊙0相切. 64/77 3.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，D为AC的中点，过点C作半圆O的切线交OD的 延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接EA, E B (1)求证：EA是半圆0的切线， 证明：如图， E B 连接0C,则0C=OA,4∠0AC=∠0CA, ￥D为AC的中点，OD⊥AC, OD垂直平分AC,AE=CE, ·∠EAC=∠ECA. :EF与⊙O相切于点C,∴EF⊥OC, ·∠OAE=∠0AC+∠EAC=∠OCA+∠ECA=∠OCE=90°. ~OA是⊙O的半径，且EA⊥OA, ÷EA是半圆O的切线. 65/77 (2)若CE=3,CF=2,求半圆0的半径， 解：CE=3,CF=2,EC,EA均与半圆O相切， :.AE=CE=3,EF=CE+CF=3+2=5, :AF=VEF2-AE2=V52-32=4. :SAAEF=S△AOE+SAFOE=AE·0A+EF·0C, 且SAAEF=;AE·AF=}×3×4=6, ÷号×30A+号×50A=6,0A=, 3 2 半圆0的半径为号 类型2不确定直线与圆是否有公共点 方法指寻 直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”证明垂线段的长等于半径的 常用方法是利用角平分线上的点到角两边的距离相等. 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA长为半径作⊙D. 求证：BC是⊙D的切线 D 证明：如图，过点D作DE⊥BC于点E∠BAD=90°，BD平分∠ABC,·AD=DE, DE是⊙D的半径.又：DE⊥BC,÷BC是⊙D的切线。 D 66/77