(9)与圆的性质有关的辅助线作法-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 9 与圆的性质有关的辅助线作法 类型 1 连半径 1.根据圆中半径相等，连半径可构造等腰三角形. 2.连半径构造圆心角，可根据圆心角、弧、弦之间的关系求解. 1.如图，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷在⊙𝑂 上，且𝐴𝐶 ⌢ = 𝐵𝐷 ⌢ ，若∠𝐵𝑂𝐷 = 84∘ ，则∠𝐴𝐶𝑂 的度数为( ) A.42∘ B.44∘ C.46∘ D.48∘ 2.如图，四边形𝐴𝐵𝐷𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐵𝐴𝐶 = 60∘ ，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶 ，连接𝑂𝐵，𝑂𝐶 . （1）求证：四边形𝑂𝐵𝐷𝐶 是菱形. （2）若∠𝐴𝐵𝑂 = 15∘ ，𝑂𝐵 = 2，求𝐴𝐶 的长. 方法指导 28/40 类型 2 作垂直 在圆中，求弦长、半径或弦心距（圆心到弦的距离）时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径 构造直角三角形，利用勾股定理求解.在弦长、半径、弦心距三个量中，知二求一.如图，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝑂𝐶2 + 𝐴𝐶2 = 𝑂𝐴2 . 3.如图，点𝐶 是半圆𝑂上一点，𝐴𝐵 = 6，将半圆𝑂沿弦𝐵𝐶 所在的直线折叠，若𝐵𝐶 ⌢ 恰好过圆心𝑂， 则𝐵𝐶 的长是( ) A.3 √3 B. 3 2 C.3 D.3 √3 2 4.如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点𝑂，桥下水面宽度𝐴𝐵为18 m，过点𝑂作半径𝑂𝐶 ⊥ 𝐴𝐵于 点𝐷，𝐶𝐷 = 3 m . （1）求该圆弧形拱桥的半径. （2）现有一艘宽6 m，船舱顶部高出水面2 m 的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形）， 该货船能顺利通过吗？ 方法指导 29/40 类型 3 连圆上两点 当圆中出现直径或90∘ 的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的一端点，利用直径所对的圆 周角等于90∘ 或90∘ 的圆周角所对的弦为直径进行解题，如图 1，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ；如图 2，𝐴𝐵 是直径. 5.如图，𝐴𝐵是⊙𝑂 的直径，∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐵，𝐴𝐷 = 2，𝐴𝐶 = 4，则⊙𝑂 的半径为( ) A.2 √3 B.3 √2 C.2 √5 D.√5 6.如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,𝐵𝐶,𝐴𝐶分别交⊙𝑂于点𝐷,𝐸,连接𝐷𝐸 . （1）求证：𝐵𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐷𝐶 . （2）若𝐷𝐸 = √5,𝐴𝐵 = 5,求𝐴𝐸 的长. 方法指导 30/40 类型 4 构造圆内接四边形 7.用破损量角器按如图方式测量∠𝐴𝐵𝐶的度数，让∠𝐴𝐵𝐶 的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分 别经过圆弧上的𝐴，𝐶两点.若点𝐴，𝐶对应的刻度分别为55∘ ，135∘ ， 则∠𝐴𝐵𝐶 的度数为______. 8.如图,在⊙𝑂中,弦𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷于点𝐸,连接𝐴𝐵,𝐶𝐷,𝐵𝐶,𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝐷 . （1）求证：∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐶𝑂𝐷 = 180∘ . （2）若𝐴𝐵 = 8,𝐶𝐷 = 6,求⊙𝑂 的直径. 模型指导 31/40 类型 5 定弦定角，构造隐圆 9.如图，𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 内一点，满足∠𝐴𝐸𝐵 = 90∘ ，连接𝐶𝐸，若𝐴𝐵 = 2，则𝐶𝐸 长的最小 值为________． 32/40 null